关于数学化及有效学习问题教案.ppt

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1、关于数学化及有效学习问题 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望为什么要搞数学化什么是数学化如何实现数学化数学化与有效学习的关系从从“后劲儿后劲儿”谈起谈起中国的足球没有后劲中国的足球没有后劲中国的数学也没有后劲中国的数学也没有后劲后劲光靠练是练不出来的后劲光靠练是练不出来的更需要问题驱动、想象力、独立思考、更需要问题驱动、想象力、独立思考、活动空间活动空间“双基双基”与与“后劲儿后劲儿”对对“双基双基”的几种理解：的几种理解：计算和证明计算和证明有限时间

2、内完成数学任务的数量和质量有限时间内完成数学任务的数量和质量重心在技能，其实是重心在技能，其实是“单基单基”“算算”是我们的强项是我们的强项而直观、想象、经验、抽象、计算、而直观、想象、经验、抽象、计算、演绎缺一不可演绎缺一不可 我们弱在提问题、想办法、主动探求我们弱在提问题、想办法、主动探求等方面等方面攒后劲儿就要在弥补弱项上下大功夫攒后劲儿就要在弥补弱项上下大功夫弥补弱项离不开数学化弥补弱项离不开数学化数学的后劲儿需要数学化支撑数学的后劲儿需要数学化支撑数学化是数学新课程追求的目标数学化是数学新课程追求的目标数学化从何入手？数学化从何入手？陈建功先生语：陈建功先生语：教教材材的的内内容容，

3、对对于于学学生生宜宜富富于于兴兴趣趣；枯枯燥燥无无味味的东西，决不能充作教材；的东西，决不能充作教材；成成人人所所喜喜之之推推理理或或实实用用问问题题，未未必必为为未未成成年年的的青青年年所所满满足足。吾吾人人应应该该站站在在学学生生的的立立场场；顺顺应应学学生生的的心心理理发发展展去去教教育育学学生生，才才能能满满足足他他们们的的真实感。真实感。某某些些教教材材,虽虽然然具具有有高高度度的的实实用用性性价价值值或或高高度度的的论论理理性性价价值值,假假使使学学生生不不发发生生任任何何真真实实感感,就就心心理理的的原原则则而而言言,这这些些教教材材,简简直直是是没没有有教教育育的的价价值值。.

4、后来许多学者，对把各科纯论理的展后来许多学者，对把各科纯论理的展开，颇有兴趣。数学不光是在学术上分了开，颇有兴趣。数学不光是在学术上分了科，科，更是更是 各自陷于孤立的局面各自陷于孤立的局面。然而在科学的研究当中，用数学做武器的然而在科学的研究当中，用数学做武器的时候，往往需要各科全般的知识，假如预时候，往往需要各科全般的知识，假如预先有了先有了有机的统一有机的统一，那就方便多了。综合，那就方便多了。综合的数学，不但可以避免重复，学习既省时的数学，不但可以避免重复，学习既省时间；并且可以间；并且可以使学生明白生动的数学体系使学生明白生动的数学体系。（引自（引自“二十世纪的数学教育二十世纪的数学

5、教育”1956）数学化应从下列方向入手：数学化应从下列方向入手：教材教材学生的成长水平与内在的学习需求学生的成长水平与内在的学习需求数学的现实性、真实感数学的现实性、真实感有助于学生把握数学的本质有助于学生把握数学的本质学以致用学以致用何为数学化何为数学化搜集、整理、描述信息，建立数学模型，进而搜集、整理、描述信息，建立数学模型，进而解决问题解决问题从学生已有的生活经验出发，让他们亲身经历从学生已有的生活经验出发，让他们亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程的过程在获得对数学理解的同时，在思维能力、情感在获得对数学理解的同时，在思维能力、

6、情感态度与价值观等多方面得到进步与发展。态度与价值观等多方面得到进步与发展。摘自标准摘自标准具体应包括：具体应包括：从情景问题中发现数学问题从情景问题中发现数学问题利利用用生生活活中中积积累累的的常常识识和和已已习习得得的的知知识识与方法，去寻求解决问题与方法，去寻求解决问题在在解解决决问问题题的的过过程程中中探探索索新新的的概概念念和和方方法，学习数学法，学习数学关关注注：数数学学的的概概念念和和方方法法是是从从哪哪里里来来的的？它们有什么用？可以怎么用？它们有什么用？可以怎么用？一步步地体验数学的抽象和形式化。一步步地体验数学的抽象和形式化。借助问题得滚动式集束（成串）出现，使借助问题得滚

7、动式集束（成串）出现，使学生未曾接触过的新概念、新思想、新方学生未曾接触过的新概念、新思想、新方法能够涌现法能够涌现由学生自己通过发现习得一些尚未学过的由学生自己通过发现习得一些尚未学过的数学数学这不是个一蹴而就的过程，需要花费一些这不是个一蹴而就的过程，需要花费一些功夫，但最终可能重新发现一个严格的数功夫，但最终可能重新发现一个严格的数学系统学系统弗兰登塔尔的数学化弗兰登塔尔的数学化大体是两步走大体是两步走1.把现实问题转化为数学问题（水把现实问题转化为数学问题（水平数学化）平数学化）确定情景问题中包含的数学成分确定情景问题中包含的数学成分建建立立数数学学成成分分与与已已知知的的数数学学模模

8、型型之之间的联系间的联系通通过过不不同同方方法法使使这这些些数数学学成成分分形形象象化和公式化化和公式化找出蕴含其中的关系和规则找出蕴含其中的关系和规则考考虑虑相相同同数数学学成成分分在在不不同同情情景景问问题题中的表现中的表现作出形式化的表述作出形式化的表述2.把数学问题转化为抽象的数学形把数学问题转化为抽象的数学形式（垂直数学化）式（垂直数学化）用数学公式表示关系用数学公式表示关系;对有关规则作出证明对有关规则作出证明;尝试不同数学模型的建立和使用尝试不同数学模型的建立和使用;对得出的数学模型进行调整和加工对得出的数学模型进行调整和加工;综综合合不不同同数数学学模模型型的的共共性性,形形成

9、成功功能能更更强强的新模型的新模型;用用数数学学公公式式和和语语言言精精确确表表述述得得到到的的新新概概念和新方法念和新方法;数学化数学化数数 学学 系系 统统数学问题数学问题概念、方法概念、方法解解 决决 问问 题题描描 述述现实问题现实问题实例实例13个小朋友分个小朋友分36块糖果，每人能分到几块？块糖果，每人能分到几块？学生探索出来的几个结果学生探索出来的几个结果学生的尝试可以概括为两个主学生的尝试可以概括为两个主要方法：分配的方法和比例的要方法：分配的方法和比例的方法方法 分配的方法主要是找到分配的方法主要是找到3个相等的部个相等的部分分比例的方法是比例的方法是“一次分走一次分走3块糖

10、一共块糖一共能分多少次能分多少次”这两种方法之间是紧密相关联的：这两种方法之间是紧密相关联的：分配的方法是分成了分配的方法是分成了3个相等的部分；个相等的部分；比例的方法则是每分一次，糖的总比例的方法则是每分一次，糖的总数以数以3的倍数的形式减少的倍数的形式减少启示启示学学生生在在解解决决“分分”的的问问题题时时，倾倾向向于于重重复做减法的方式复做减法的方式 原原来来的的那那个个“分分糖糖”问问题题已已经经来来到到了了严严格的除法的门口格的除法的门口虽虽然然还还需需要要一一些些提提炼炼和和转转换换工工作作，但但核核心的思想和方法已经被发现了心的思想和方法已经被发现了实例实例21128名球迷要随

11、主队参加客场比赛。每名球迷要随主队参加客场比赛。每辆大客车可以乘坐辆大客车可以乘坐36人，并且每人，并且每10辆交辆交通公司给予优惠。通公司给予优惠。学生的探索学生的探索除减法外，每除减法外，每10辆可以优惠这个信息很重要，辆可以优惠这个信息很重要，“乘乘10”自然派上用场自然派上用场36 1128 36010 768 360 10 408 360 10 48 36 1 12 更进一步更进一步36 1128 36010 768 720 20 48 36 1 12 稍微调整一下就是严格的除法稍微调整一下就是严格的除法算式了算式了36 1128 108030 48 36 1 12 学生自己得出的算

12、法已经来到学生自己得出的算法已经来到抽象的竖式除法门口抽象的竖式除法门口实例实例3阴影和角阴影和角位于位于New MexicoNew Mexico州的州的Acoma PuebloAcoma Pueblo被认为是美国最被认为是美国最古老的村庄古老的村庄.她以其美丽的陶器和建筑而闻名她以其美丽的陶器和建筑而闻名.通过对古陶的研究通过对古陶的研究,人类学家认为这个村庄至少已经人类学家认为这个村庄至少已经在这里存在在这里存在10001000年了年了!上面是这个村庄的全景图上面是这个村庄的全景图,她仍然她仍然保持着保持着100100年前的样子年前的样子.这是村庄主要街道的典型建筑.照片是早晨拍的.1.下

13、午时阴影会是什么样?这里我们画出了照片上第一个梯这里我们画出了照片上第一个梯子子.它显示出光线是平行的它显示出光线是平行的.同一天另一时刻的影子同一天另一时刻的影子归结为数学问题 Lh d Lh d 有两个办法刻划陡度 角角 高度和距离之比高度和距离之比 高度高度 距离距离 探索“陡”与和和h:d的关系h/d(h:d)角角填表角度h:d曲线2.01.51.00.5 15 30 45 60填表结果角度3045506063h:d0.611.21.72.0角度越大（光线越陡）阴影越角度越大（光线越陡）阴影越短短光线光线光线光线阴影阴影阴影阴影陡度可用不同方法测量：角度越大梯子越陡度可用不同方法测量：

14、角度越大梯子越陡，比值越大梯子越陡陡，比值越大梯子越陡 h d 思考思考从从有有趣趣的的背背景景出出发发,经经过过一一连连串串问问题题,不不知知不不觉觉已经来到抽象概念的门口已经来到抽象概念的门口.h:d.h:d就是就是tangenttangent！三三角角比比从从分分析析抽抽象象的的直直角角三三角角形形开开始始,先先讲讲sine;sine;从从“梯梯子子,陡陡度度”这这样样一一些些情情景景出出发发,首首先先遇到的就是遇到的就是tangent.tangent.是是从从现现成成的的结结果果到到抽抽象象的的系系统统,还还是是从从丰丰富富的的情情景景经经由由数数学学化化的的过过程程再再进进入入抽抽象

15、象的的系系统统，切切入入点不同点不同,面貌徊异面貌徊异.后后者者做做起起来来有有点点难难,但但无无论论如如何何,数数学学课课程程要要加加点过程点过程,加点学生感兴趣的有意义的数学加点学生感兴趣的有意义的数学.什么是有效性什么是有效性指为学习投入的时间、精力与收获之间指为学习投入的时间、精力与收获之间的关系的关系有长效和短效之分有长效和短效之分密集型、训练性、速率式的学习或教学密集型、训练性、速率式的学习或教学一般是短效的一般是短效的应注意长短结合应注意长短结合当前应更多关注长期效应当前应更多关注长期效应如何取得长效？如何取得长效？使学生有机会真正经历数学化使学生有机会真正经历数学化在过程中积淀解决问题的思路和方法在过程中积淀解决问题的思路和方法能延续学生对数学的喜欢能延续学生对数学的喜欢持续拉动他们学习数学的愿望持续拉动他们学习数学的愿望有助于数学课程目标的实现有助于数学课程目标的实现结结 论论没有数学化的数学教学很难说是有效的没有数学化的数学教学很难说是有效的没有数学化的数学教学满足不了建设创没有数学化的数学教学满足不了建设创新型社会的要求新型社会的要求堂堂搞数学化谁也做不到，孰轻孰重需堂堂搞数学化谁也做不到，孰轻孰重需探索探索围绕每个新的概念、方法寻找数学化的围绕每个新的概念、方法寻找数学化的切入点切入点发现机会可别发松发现机会可别发松谢 谢