线性代数53.ppt

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1、线性代数线性代数53533.P-1(A1A2)P=(P-1A1P)(P-1A2P).4.若若A与与B相似相似,则则Am与与Bm相似相似(m为正整数为正整数).2.P-1(k1A1+k2A2)P=k1P-1A1P+k2P-1A2P.其中其中k1,k2是任意常数是任意常数.由于矩阵由于矩阵A与与B相似相似,则存在可逆矩阵则存在可逆矩阵P,使使P-1AP=B,亦即亦即 A=PBP-1,所以所以,Am=(PBP-1)m=PBP-1PBP-1 PBP-1=PBmP-1.进一步有进一步有,若若(A)=a0E+a1A+amAm,则则 (A)=a0PP-1+a1PBP-1+amPBmP-1 =P(a0E+a1

2、B+amBm)P-1=P(B)P-1.即即相似矩阵的多项式相似矩阵的多项式,有相同的相似变换矩阵有相同的相似变换矩阵.Am=P mP-1;(A)=P()P-1.特别当矩阵特别当矩阵A与对角阵与对角阵=diag(1,2,n)相似时相似时,则则而对于对角阵而对于对角阵,有有 k=()=利用上述结论可以很方便地计算矩阵利用上述结论可以很方便地计算矩阵A的多项式的多项式(A).结论结论:若若f()为矩阵为矩阵A的特征多项式的特征多项式,则矩阵则矩阵A的多的多项式项式 f(A)=O.此结论的一般性证明较困难此结论的一般性证明较困难,但当矩阵但当矩阵A与对角阵与对角阵 相似时很容易证明相似时很容易证明.即

3、即=POP-1=O.f(A)=Pf()P-1=二、利用相似变换将方阵对角化二、利用相似变换将方阵对角化 n阶方阵阶方阵A是否与对角阵是否与对角阵=diag(1,2,n)相似相似,则我们需要解决如下两个问题则我们需要解决如下两个问题:1.方阵方阵A满足什么条件与满足什么条件与对角阵对角阵 相似相似;2.如何求如何求方阵方阵A与与对角阵对角阵 相似相似的相似变换矩阵的相似变换矩阵P.以下定理及其证明过程回答了以上两个问题以下定理及其证明过程回答了以上两个问题.定理定理4:n阶矩阵阶矩阵A与对角矩阵与对角矩阵 相似相似(即即A能相似对能相似对角化角化)的充分必要条件是的充分必要条件是A有有n个线性无

4、关的特征向量个线性无关的特征向量.证明证明:假设存在可逆阵假设存在可逆阵P,使使P-1AP=为对角阵为对角阵,把把P用其列向量表示为用其列向量表示为P=(p1,p2,pn).由由P-1AP=,得得AP=P,A(p1,p2,pn)=(p1,p2,pn)(Ap1,Ap2,Apn)=(1 p1,2 p2,n pn),所以所以,因而有因而有,Api=i pi (i=1,2,n).可见可见,i 是是A的特征值的特征值,而而P 的列向量的列向量pi 就是就是A的对的对应于特征值应于特征值 i 的特征向量的特征向量.再由再由P的可逆性知的可逆性知,p1,p2,pn线性无关线性无关.反之反之,由于由于A恰好有

5、恰好有n个特征值个特征值 1,2,n,并可并可对应地求得对应地求得n个个线性无关的线性无关的特征向量特征向量p1,p2,pn,这这n个特征向量即可构成个特征向量即可构成可逆可逆矩阵矩阵P=(p1,p2,pn),使使AP=(Ap1,Ap2,Apn)=(1 p1,2 p2,n pn)即即=P.=(p1,p2,pn)因此有因此有,P-1AP=,即即矩阵矩阵A与对角矩阵与对角矩阵 相似相似.命题得证命题得证.推论推论:如果如果n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相等的特征值个互不相等的特征值,则则A与对角阵相似与对角阵相似.说明说明:如果如果A的特征方程有重根的特征方程有重根,此时不一定有此时不一定有n个线性

6、无关的特征向量个线性无关的特征向量,从而矩阵从而矩阵A不一定能对角化不一定能对角化.但如果能找到但如果能找到n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,则则A还是能对还是能对角化角化.例例1:判断下列实矩阵能否化为对角阵判断下列实矩阵能否化为对角阵:解解:|A E|=(2)2(+7)=0 得得A的特征值的特征值:1=2=2,3=7.将将 1=2=2代入代入(A E)x=0,得得 解之得基础解系解之得基础解系:将将 3=7代入代入(A E)x=0,得得解之得基础解系解之得基础解系:A有有3个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量,因而因而A可对角化可对角化.|B E|=(+1)3=0 得得B的特

7、征值的特征值:1=2=3=1.将将 1=2=3=1 代入代入(B E)x=0,得得故故B不能对角化不能对角化.解之得基础解系解之得基础解系:角角化化,求出可逆矩阵求出可逆矩阵P,使使P-1AP=为对角阵为对角阵.例例2:设设A=A能否对角化能否对角化?若能对若能对解解:|A E|=(1)2(+2)=0 得得A的特征值的特征值:1=2=1,3=2.将将 1=2=1代入代入(A E)x=0,得得解之得基础解系解之得基础解系:将将 3=2代入代入(A E)x=0,得得解之得基础解系解之得基础解系:令令则有则有注意注意:若令若令矩阵矩阵P的列向量和对角矩阵中特征值的位置要相的列向量和对角矩阵中特征值的

8、位置要相互对应互对应.则有则有例例3 3:设设A=当当a为何值时为何值时,矩阵矩阵A能对角化能对角化?解解:|A E|=(1)2(+1).得得矩阵矩阵A的特征值的特征值 1=1,2=3=1.对应单根对应单根 1=1,恰好可求得一个线性无关的特恰好可求得一个线性无关的特征向量征向量,从而从而矩阵矩阵A能对角化得充分必要条件时对应重能对角化得充分必要条件时对应重根根 2=3=1有两个线性无关的特征向量有两个线性无关的特征向量,即方程组即方程组 (A E)x=0的解空间的维数为的解空间的维数为2,所以所以R(A E)=1.AE=由于由于 因此因此,当当a=1时矩阵时矩阵A能对角化能对角化.三、小三、

9、小 结结 1.相似矩阵相似矩阵 相似是矩阵之间的一种关系相似是矩阵之间的一种关系,它具有很多良好的它具有很多良好的性质性质,除了课堂内介绍的以外除了课堂内介绍的以外,还有还有:(1)若若A与与B相似相似,则则det(A)=det(B);(2)若若A与与B相似相似,f(x)为多项式为多项式,则则f(A)与与f(B)相似相似;(3)若若A与与B相似相似,且且A可逆可逆,则则B也可逆也可逆,且且A-1与与B-1相似相似.2.相似变换与相似变换矩阵相似变换与相似变换矩阵 相似变换相似变换是对方阵进行的一种运算是对方阵进行的一种运算,它把它把A变成变成P-1AP,可逆矩阵可逆矩阵P称为进行这一变换的称为

10、进行这一变换的相似变换矩阵相似变换矩阵.这种变换的重要意义在于这种变换的重要意义在于简化对矩阵的各种运算简化对矩阵的各种运算,其方法是先通过相似变换其方法是先通过相似变换,将矩阵变成对角矩阵将矩阵变成对角矩阵,再对再对对角矩阵进行运算对角矩阵进行运算,从而将比较复杂的矩阵的运算转从而将比较复杂的矩阵的运算转化为比较简单的对角矩阵的运算化为比较简单的对角矩阵的运算.思考题思考题 判断下列两矩阵判断下列两矩阵A,B是否相似是否相似.思考题解答思考题解答|A E|=(n )()n-1=0,得得A的特征值的特征值:1=n,2=n=0.当当 2=n=0时时,R(A E)=R(A)=1,故故(A E)x=

11、0的基础解系有的基础解系有n-1个向量个向量.而当而当 1=n时时,|A 1E|=0,故故(A 1E)x=0有非零解有非零解.显然显然,也有也有B的特征值的特征值:1=n,2=n=0.当当 2=n=0时时,R(B E)=R(B)=1,故故(B E)x=0的基础解系有的基础解系有n-1个向量个向量.因此因此,A存在存在n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.P1-1AP1=而当而当 1=n时时,|B 1E|=0,故故(B 1E)x=0有非零解有非零解.从而从而,A,B都可对角化都可对角化,且存在可逆矩阵且存在可逆矩阵P1,P2,使使=P2-1BP2.因此因此,B也存在也存在n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.所以所以,矩阵矩阵A,B相似相似.结束语结束语谢谢大家聆听！谢谢大家聆听！17