三章最佳逼近.ppt

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1、三章最佳逼近 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1 最佳逼近问题最佳逼近问题一、函数的逼近方法一、函数的逼近方法关于函数的关于函数的n次多项式逼近方法，已知有下面的几种：次多项式逼近方法，已知有下面的几种：1.Taylor展式：展式：如果如果误差为误差为2.插值多项式插值多项式 同为同为n 次多项式，哪一个逼近效果更好呢？这时次多项式，哪一个逼近效果更好呢？这时可以建立一个度量标准来进行度量。在所建立的度量可以建立一个度量标准来进行度量。在所建立的度量

2、标准之下，就可以给出最佳的标准之下，就可以给出最佳的n 次逼近多项式。次逼近多项式。除了用多项式来逼近一个函数除了用多项式来逼近一个函数f(x),也可以用其它也可以用其它具有某种的特征的函数来逼近具有某种的特征的函数来逼近f(x)，并求出其最佳逼并求出其最佳逼近。近。3.最佳逼近问题最佳逼近问题 给定函数空间给定函数空间X 中的一个子集合中的一个子集合 ，寻求，寻求X 中的中的函数函数f(x)在在 中关于某个度量标准下的最佳逼近元中关于某个度量标准下的最佳逼近元p(x),称作最佳逼近问题。称作最佳逼近问题。X 本章我们主要考虑连续函数本章我们主要考虑连续函数空间空间X=Ca,b上的最佳逼近问上

3、的最佳逼近问题，这时的子集合题，这时的子集合 可以取为可以取为由具有某种共同特征的函数组由具有某种共同特征的函数组成，例如三角函数、指数函数、成，例如三角函数、指数函数、分式有理函数、多项数函数等。分式有理函数、多项数函数等。同时，还需要给出连续函数同时，还需要给出连续函数空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。空间上的一个度量标准，下面通过内积给出平方范数。二、连续函数的平方范数二、连续函数的平方范数 已知所有连续函数构成的集合已知所有连续函数构成的集合Ca,b是一个线性是一个线性空间，对于空间，对于Ca,b中的任意函数中的任意函数 、，定义，定义实数实数可以证明此实数满足性质：可以

4、证明此实数满足性质：这时，称这时，称 为为 与与 的内积。的内积。（1），当且仅当，当且仅当 ，；（2）（3）为函数为函数 的平方范数，的平方范数，且满足以下性质：且满足以下性质：给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标给出了函数的范数，便给出了函数的一个度量标准，在此度量标准之下，就可以找出准，在此度量标准之下，就可以找出 在不同函数在不同函数类中的最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的类中的最佳逼近。下面就来考虑这一最佳逼近问题的解决。解决。并称并称（3.1）2 函数的最佳平方逼近函数的最佳平方逼近一、公式的推导一、公式的推导 对对于连续函数空间于连续函数空间 Ca,b 中的元素中的元

5、素f(x)及其子空间及其子空间所谓所谓 f(x)在在 中的最佳中的最佳平方平方逼近，就是存在逼近，就是存在使得对于一切使得对于一切都有：都有：不等式不等式说明，所求的说明，所求的满足等式：满足等式：而而(3.2)是由系数是由系数 唯一确定的，因此，只要我唯一确定的，因此，只要我们求出了满足们求出了满足(3.2)的的 ，就可以求出，就可以求出f(x)最佳平方逼近最佳平方逼近。令令(3.3)则则这时等式这时等式(3.4)意味着意味着(3.5)也就是说，求出满足等式也就是说，求出满足等式(3.4)的的 ，等价于求出，等价于求出满足等式满足等式(3.5)的的 。由由(3.5)可知可知 是是n+1元函数

6、元函数(3.3)的最小值点。的最小值点。而而n+1元函数元函数在区间在区间 上具有一阶连续导函数，因此根据上具有一阶连续导函数，因此根据极值原理，在最小值点极值原理，在最小值点 处：处：而而于是于是即即利用内积利用内积可以得到可以得到这是一个含有这是一个含有n+1个变量的方程组，具体形式为：个变量的方程组，具体形式为：再写成再写成矩阵形式为矩阵形式为这是关于这是关于n+1个变量个变量 的线性方程组，并称的线性方程组，并称其为其为法方程组法方程组，或者，或者正规方程组正规方程组。解此方程组，就可以得到解此方程组，就可以得到 ，也就得到，也就得到 了了f(x)的最佳平方逼近：的最佳平方逼近：二、误

7、差估计二、误差估计最佳平方逼近的误差为最佳平方逼近的误差为由由可得可得对于对于于是，最佳平方逼近于是，最佳平方逼近的误差为的误差为如果如果(3.6)则称则称(3.6)为为 f(x)的在的在a,b上的上的最佳平方逼近最佳平方逼近n次多次多项式。项式。*求连续函数最佳平方逼近的步骤求连续函数最佳平方逼近的步骤*1.给定给定a,b上的连续函数上的连续函数f(x),及子空间及子空间2.利用内积利用内积给出法方程组给出法方程组3.求出法方程组的解求出法方程组的解 ,得到最佳平方逼近得到最佳平方逼近4.求出误差求出误差 例例3.1.求求 在在 上的最佳平方逼近上的最佳平方逼近一次多项式，并估计误差。一次多

8、项式，并估计误差。直接套用公式：直接套用公式：解：设解：设 令基函数为令基函数为 则需要求解的方程组为：则需要求解的方程组为：这时由这时由 得到得到于是得到法方程组于是得到法方程组 解之得解之得 最佳平方逼近一次多项式为最佳平方逼近一次多项式为 关于误差，由误差估计式关于误差，由误差估计式得到得到 所求的所求的 应该使下式达极小：应该使下式达极小：由由 关于最佳平方逼近，也可以根据极值原理直接计算关于最佳平方逼近，也可以根据极值原理直接计算这时，对于最佳平方逼近一次多项式这时，对于最佳平方逼近一次多项式整理得到整理得到计算积分后，得法方程组计算积分后，得法方程组 解之得解之得 从而得到最佳平方

9、逼近一次多项式从而得到最佳平方逼近一次多项式 三、正交基函数的选择三、正交基函数的选择 如果我们选择子空间如果我们选择子空间 正交，即正交，即 则法方程则法方程 简化为简化为 即即 容易求得容易求得 并得到最佳平方逼近并得到最佳平方逼近在区间在区间-1，1上两两正交，试求上两两正交，试求 在这个在这个区间上的最佳平方逼近二次多项式，并给出误差估计。区间上的最佳平方逼近二次多项式，并给出误差估计。例例3.2.已知已知根据基函数的正交性，得到根据基函数的正交性，得到解：以解：以 作为基函数，设作为基函数，设从而求得从而求得误差为误差为本节小结本节小结1.何为连续函数最佳平方逼近多项式？何为连续函数

10、最佳平方逼近多项式？Ca,b2.如何计算连续函数的最佳平方如何计算连续函数的最佳平方 逼近逼近n次多项式？次多项式？3.如何估计最佳平方如何估计最佳平方 逼近逼近n次多项式的误差次多项式的误差？4.练习：试求函数练习：试求函数 在区间在区间1,3上的最佳平方上的最佳平方逼近一次多项式并估计误差。逼近一次多项式并估计误差。5.作业：作业：page 79 3-1，3-2，3-33 3 数据拟合的最小二乘法数据拟合的最小二乘法 当我们得到的实验数据是准确值时，可以用代当我们得到的实验数据是准确值时，可以用代数插值的方法，求出原函数的近似表达式。数插值的方法，求出原函数的近似表达式。经常由观察或测试可

11、得到经常由观察或测试可得到 的一组离散数据：的一组离散数据：但是，这组离散数据由观察或测试得到，往往但是，这组离散数据由观察或测试得到，往往并非完全精确，这时如果用插值的方法来逼近，效果并非完全精确，这时如果用插值的方法来逼近，效果就不会太好。就不会太好。这时可以考虑用最小二乘法进行数据拟合，给出这时可以考虑用最小二乘法进行数据拟合，给出逼近曲线。其特点是：所求的逼近曲线不一定经过这逼近曲线。其特点是：所求的逼近曲线不一定经过这些离散点，但却尽可能的靠近原曲线。些离散点，但却尽可能的靠近原曲线。Curve01.m Curve01.m最小二乘法拟合曲线最小二乘法拟合曲线三次样条函数插值曲线三次样

12、条函数插值曲线LagrangeLagrange插值曲线插值曲线一、一、数据拟合最小二乘法的思想数据拟合最小二乘法的思想已知离散数据：已知离散数据：假设我们要拟合的函数为假设我们要拟合的函数为 ，将，将 带入则得带入则得函数值函数值 ，由于，由于 的不准确性，在每一个的不准确性，在每一个点都会产生一个误差：点都会产生一个误差：我们希望所求的我们希望所求的f(x),f(x),使得其在每一个使得其在每一个 处所产生处所产生的误差的误差 达最小。达最小。但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差但这样分别考虑太困难，所以我们应考虑整体误差应该使应该使整体达最小。整体达最小。通过这种度量标准求得通过这

13、种度量标准求得拟合曲线拟合曲线y=f(x)的方法，的方法，就称作就称作曲线拟合的最小二乘法曲线拟合的最小二乘法。按照以上思想来求出按照以上思想来求出f(x)f(x)的拟合曲线，首先需要的拟合曲线，首先需要确定出确定出f(x)f(x)所属的函数类，然后进一步求出具体函数，所属的函数类，然后进一步求出具体函数，具体按照以下步骤进行。具体按照以下步骤进行。二、二、最小二乘法拟合曲线的步骤最小二乘法拟合曲线的步骤 第二步：第二步：根据图示，确定曲线所属的函数类型，例根据图示，确定曲线所属的函数类型，例 如多项式函数类、三角函数类、指数函数如多项式函数类、三角函数类、指数函数 类、对数函数类等。假设所确

14、定的函数类类、对数函数类等。假设所确定的函数类 的基函数为的基函数为第一步：第一步：根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点根据如下已知点的坐标，在坐标系里描点则所求的函数可以表示为：则所求的函数可以表示为：只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。只要确定了系数，就可以求出拟合曲线。第三步：第三步：其整体误差其整体误差所求的解应该使的上式达到极小，由极值原所求的解应该使的上式达到极小，由极值原理应有：理应有：令：令：这样由这样由及及求得求得整理为整理为令令则有则有这样就给出了求解这样就给出了求解 方程组：方程组：同样称其为法方程组。求解法方程组，求得解同样称其为法方程组。求解法方程组，求得解便得到最小

15、二乘拟合曲线便得到最小二乘拟合曲线为了便于求解，我们再对法方程组的写出作一分析。为了便于求解，我们再对法方程组的写出作一分析。得到法方程组第得到法方程组第 j 行的元素为：行的元素为：由由于是法方程组的系数矩阵为：于是法方程组的系数矩阵为：令右端第二个矩阵为：令右端第二个矩阵为：则系数矩阵可以表示为：则系数矩阵可以表示为：再看法方程组的右端项：再看法方程组的右端项：由由得到得到最后可以将法方程组表示为：最后可以将法方程组表示为：其中其中这样会更快的写出法方程组来。这样会更快的写出法方程组来。如果所求得最小二乘拟合函数为如果所求得最小二乘拟合函数为n n次多项式，则：次多项式，则：这时：这时：误

16、差：误差：三、三、数值例子数值例子 例例3.3 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 x 1 2 3 4 6 7 8 y 2 3 6 7 5 3 2解解 step1:描点描点 1 2 3 4 5 6 7 8 7 6 5 4 3 2 1*step2:从图形可以看出拟从图形可以看出拟合曲线近似的为一条抛合曲线近似的为一条抛物线：物线：step3:根据基函数给出法根据基函数给出法方程组方程组由由得到得到即即又又求得求得法方程组为：法方程组为：解得：解得：求得拟合二次多项式函数求得拟合二次多项式函数误差为：误差为：先计算出拟合函数值：先计算出拟合函数值：X:1 2 3

17、4 6 7 8 P:1.7272 4.0001 5.5002 6.2275 5.3637 3.7726 1.4087得到：得到：或者：或者：解：在坐标轴描点解：在坐标轴描点例例3.4 根据如下离散数据拟合曲线并估计误差根据如下离散数据拟合曲线并估计误差 xi-3-2 -1 0 1 2 3 yi 42 3 0-1 -2 -5从离散点的图形上从离散点的图形上看不出原函数属于看不出原函数属于哪一类型，一般多哪一类型，一般多采用多项式拟合，采用多项式拟合，在此我们用二次多在此我们用二次多项式拟合。项式拟合。根据如下离散数据给出法方程组根据如下离散数据给出法方程组 xi-3-2 -1 0 1 2 3 y

18、i 42 3 0-1 -2 -5这时这时求得求得得到法方程组得到法方程组所求二次拟合曲线为所求二次拟合曲线为 拟合曲线的平方偏差为拟合曲线的平方偏差为由由解得：解得：拟合曲线在实际中有广泛应用，特别在实验、统拟合曲线在实际中有广泛应用，特别在实验、统计等方面是如此。通常，由一组试验或观测取得数据，计等方面是如此。通常，由一组试验或观测取得数据，这些数据先在平面上标出，然后确定拟合曲线的类型。这些数据先在平面上标出，然后确定拟合曲线的类型。例如，电阻与导线的长度呈线性关系，如何确定例如，电阻与导线的长度呈线性关系，如何确定具体的线性表示式，可通过对不同长度的导线测试电具体的线性表示式，可通过对不

19、同长度的导线测试电阻所得数据作拟合曲线而得。阻所得数据作拟合曲线而得。对于具体问题，拟合曲线的类型往往是已知的，对于具体问题，拟合曲线的类型往往是已知的，所对应的公式也叫做所对应的公式也叫做经验公式，经验公式，只需取定曲线的具只需取定曲线的具体参数即可体参数即可。下面给出一个已知经验公式，如何确定其中参数下面给出一个已知经验公式，如何确定其中参数的例子。的例子。例例3.5 对如下数据作形如对如下数据作形如 的拟合曲线的拟合曲线 xi12345678 yi15.320.527.436.6 49.165.6 87.8 117.6 解解 ：由于函数集合由于函数集合 不成为线性不成为线性空间，因此直接

20、作拟合曲线是困难的。空间，因此直接作拟合曲线是困难的。在函数在函数 两端分别取对数得到两端分别取对数得到令令则则这时，需要将原函数表进行转换如下这时，需要将原函数表进行转换如下 xi12345678 yi15.320.527.436.6 49.165.6 87.8 117.6 xi12345678 zi2.723.023.313.60 3.894.18 4.484.77对对 作线性拟合曲线，取作线性拟合曲线，取得正则方程组得正则方程组解得解得 于是有于是有拟合曲线为：拟合曲线为：练练 习习 三三3-1 利用利用Legendre多项式多项式 求函数求函数 在在 上的最佳均方逼近，并估计误差。上的

21、最佳均方逼近，并估计误差。3-2 求求 上权函数为上权函数为 的正交多项的正交多项 式前四项式前四项 。3-3 求求 ，使，使 达到极小。达到极小。3-4 利用利用Legendre多项式多项式 在在0,1与与 -1,1上的最佳平方逼近三次式，并比较有何上的最佳平方逼近三次式，并比较有何 异同。异同。3-5 证明证明 是是 上上 的正交函数系。的正交函数系。3-6 给给出数据表出数据表使分别作出线性、二次曲线拟合，并给出最佳平方使分别作出线性、二次曲线拟合，并给出最佳平方误差。误差。-1.00-0.500.000.250.751.000.22000.80002.00002.5003.8004.2003-7 用最小乘法求一个形如用最小乘法求一个形如 的经验公式，的经验公式，使与下列数据拟合，并计算均方误差。使与下列数据拟合，并计算均方误差。192531334419.0 32.2 49.0 73.3 97.83-8 对下列数据对下列数据求形如求形如 的拟合曲线的拟合曲线 3-9 用最小二乘法解方程组用最小二乘法解方程组 1234516.4 27.2 44.5 73.5120.4