数学必修四知识点.ppt

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1、三角函数总复习任意角的概念任意角的概念任意角的概念任意角的概念角的度量方法角的度量方法角的度量方法角的度量方法（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）（角度制与弧度制）弧长公式与弧长公式与弧长公式与弧长公式与扇形面积公式扇形面积公式扇形面积公式扇形面积公式任意角的任意角的任意角的任意角的三角函数三角函数三角函数三角函数同角公式同角公式同角公式同角公式诱导公式诱导公式诱导公式诱导公式两角和与差的三角两角和与差的三角两角和与差的三角两角和与差的三角函数函数函数函数二倍角的三角二倍角的三角二倍角的三角二倍角的三角函数函数函数函数三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变形三角函数式的恒等变

2、形三角函数式的恒等变形（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）（化简、求值、证明）三角函数的三角函数的三角函数的三角函数的图形和性质图形和性质图形和性质图形和性质正弦型函数的图象正弦型函数的图象正弦型函数的图象正弦型函数的图象已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角已知三角函数值，求角知识网络结构1.1.角的概念的推广角的概念的推广（1）正角，负角和零角正角，负角和零角.用旋转的观点定义角，并规定了旋转的正方向，就出现了正角，负角和零角，这样角的大小就不再限于00到3600的范围.（3）终边相同的角，具有共同的绐边和终边的角叫终边相同的角，所有与角终边相

3、同的角（包含角在内）的集合为.（4）角在“到”范围内，指.（2）象限角和轴线角.象限角的前提是角的顶点与直角坐标系中的坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，这样当角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角，若角的终边与坐标轴重合，这个角不属于任一象限，这时也称该角为轴线角.一、基本概念：一、基本概念：一、基本概念：一、基本概念：一、任意角的三角函数1、角的概念的推广、角的概念的推广正角正角负角负角oxy的终边的终边零角零角二、象限角：注注：如果角的终边在坐标轴上，则该角不是象限角。三、所有与角终边相同的角，连同角在内，构成集合：（角度制）（弧度制）例1、求在到（）范围内，与下列各角终边相同的

4、角原点原点x轴的非负半轴轴的非负半轴一、在直角坐标系内讨论角，角的顶点与重合，角的始边与重合。逆时针旋转为正，顺时针旋转为负。角的终边（除端点外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。1 1、终边相同的角与相等角的区别、终边相同的角与相等角的区别终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。终边相同的角不一定相等，相等的角终边一定相同。2 2、象限角、象间角与区间角的区别、象限角、象间角与区间角的区别3 3、角的终边落在、角的终边落在“射线上射线上”、“直线上直线上”及及“互相垂直的两条直线上互相垂直的两条直线上”的一般表示式的一般表示式三、终边相同的角(1)与与 角角终边相同的角的集合终边

5、相同的角的集合:1.几类特殊角的表示方法几类特殊角的表示方法|=2k+,kZ.(2)象限角、象限界角象限角、象限界角(轴线角轴线角)象限角象限角第一象限角第一象限角:(2k 2k+,k Z)2 第二象限角第二象限角:(2k+2k+,k Z)2 第三象限角第三象限角:(2k+2k+,k Z)23 第四象限角第四象限角:2 (2k+2k+2,k Z 或或 2k-2k,k Z)23 一、角的基本概念一、角的基本概念轴线角轴线角x 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360(2k)(k Z);x 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+180(2k+)(k Z);y 轴的非负半轴轴的非负半轴:=k 360

6、+90(2k+)(k Z);2 y 轴的非正半轴轴的非正半轴:=k 360+270(2k+)或或 =k 360-90(2k-)(k Z);23 2 x 轴轴:=k 180(k)(k Z);y 轴轴:=k 180+90(k+)(k Z);2 坐标轴坐标轴:=k 90()(k Z).2k 例2、（1）、终边落在x轴上的角度集合：（2）、终边落在y轴上的角度集合：（3）、终边落在象限平分线上的角度集合：典型例题典型例题 各各各各个个个个象象象象限限限限的的的的半半半半角角角角范范范范围围围围可可可可以以以以用用用用下下下下图图图图记记记记忆忆忆忆，图图图图中中中中的的的的、分分分分别别别别指第一、二

7、、三、四象限角的半角范围；指第一、二、三、四象限角的半角范围；指第一、二、三、四象限角的半角范围；指第一、二、三、四象限角的半角范围；例例1.1.若若是第三象限的角，问是第三象限的角，问/2/2是哪个象限的角是哪个象限的角?2?2是哪个象限的角是哪个象限的角?C点评点评:本题先由本题先由所在象限确定所在象限确定/2所在象限所在象限,再再/2的余弦符号确定结论的余弦符号确定结论.例例1 求经过1小时20分钟时钟的分针所转过的角度：解：分针所转过的角度例例2已知a是第二象限角，判断下列各角是第几象限角（1）（2）评析：评析：在解选择题或填空题时，如求角所在象限，也可以不讨论k的几种情况，如图所示利

8、用图形来判断.四、什么是1弧度的角？长度等于半径长的弧所对的圆心角。OABrr2rOABr（3）角度与弧度的换算.只要记住，就可以方便地进行换算.应熟记一些特殊角的度数和弧度数.在书写时注意不要同时混用角度制和弧度制（4）弧长公式和扇形面积公式.度弧度02、角度与弧度的互化角度与弧度的互化特殊角的角度数与弧度数的对应表特殊角的角度数与弧度数的对应表 略解：解：例3已知角和满足求角的范围.解：例例4 4、已知扇形的周长为定值100，问扇形的半径和圆心角分别为多少时扇形面积最大？最大值是多少？扇形面积最大值为625.例例7.7.已已知知一一扇扇形形中中心心角角是是，所所在在圆圆的的半半径径是是R.

9、R.若若6060，R R10cm10cm，求求扇扇形形的的弧弧长长及及该该弧弧所所在在的的弓形面积弓形面积.若扇形的周长是一定值若扇形的周长是一定值C C(C C0)0)，当，当为多少弧度时，该扇形的面积有最大值为多少弧度时，该扇形的面积有最大值?并求出这一最大值并求出这一最大值?指指指指导导导导:扇扇扇扇形形形形的的的的弧弧弧弧长长长长和和和和面面面面积积积积计计计计算算算算公公公公式式式式都都都都有有有有角角角角度度度度制制制制和和和和弧弧弧弧度度度度制制制制两两两两种种种种给给给给出出出出的的的的方方方方式式式式，但但但但其其其其中中中中用用用用弧弧弧弧度度度度制制制制给给给给出出出出的

10、的的的形形形形式式式式不不不不仅易记，而且好用仅易记，而且好用仅易记，而且好用仅易记，而且好用.在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度在使用时，先要将问题中涉及到的角度换算为弧度.解：（解：（1）设弧长为）设弧长为l，弓形面积为，弓形面积为S弓弓。（2）扇形周长扇形周长C=2R+l=2R+正弦线：正弦线：正弦线：正弦线：余弦线：余弦线：余弦线：余弦线：正切线：正切线：正切线：正切线：（2 2）当角）当角）当角）当角 的终边在的终边在的终边在的终边在x x轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角轴上时，正

11、弦线，正切线变成一个点；当角轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角轴上时，正弦线，正切线变成一个点；当角 的终边在的终边在的终边在的终边在y y轴上时，余弦线变成一个轴上时，余弦线变成一个轴上时，余弦线变成一个轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在。点，正切线不存在。点，正切线不存在。点，正切线不存在。2.2.正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线正弦线、余弦线、正切线x xy yOOP PT TMMA A有向线段有向线段有向线段有向线段MPMP有向线段有向线段有向线段有向线段OMOM有向线段有向线段有向线段有向线段ATAT注意：（1）圆心在原点，半径为单位长的圆叫

12、单位圆.在平面直角坐标系中引进正弦线、余弦线和正切线 三角函数三角函数三角函数线三角函数线正弦函数正弦函数余弦函数余弦函数正切函数正切函数正弦线正弦线MP 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象yx xO-1PMA(1,0)Tsin=MPcos=OMtan=AT注意：三角函数线注意：三角函数线是有向线段！是有向线段！余弦线余弦线OM正切线正切线AT P POOMM P POOMM P POOMM P POOMMMPMPMPMP为角为角为角为角 的正弦线的正弦线的正弦线的正弦线,OMOM为角为角为角为角 的余弦线的余弦线的余弦线的余弦线为第二象限角时为第二象限角时 为第一象限角时为第一象限角时

13、 为第三象限角时为第三象限角时 为第四象限角时为第四象限角时 10）函数）函数y=lg sinx+的定义域是（的定义域是（A）（A）x|2kx2k+(kZ)（B）x|2kx2k+(kZ)（C）x|2kx2k+(kZ)（D）x|2kx2k+(kZ)三角函数线的应用三角函数线的应用一、三角式的证明一、三角式的证明2、已知：角为锐角，试证：1、已知：角为锐角，试证：（1）4、在半径为r的圆中，扇形的周长等于半圆的弧长，那么扇形圆心角是多少？扇形的的面积是多少？答：圆心角为-2，面积是5、用单位圆证明siantan.(000,0)y=Asin(x+)(A0,0)的图象的对称中心和对称轴方程的图象的对称

14、中心和对称轴方程2 2、函数、函数、函数、函数 的图象（的图象（的图象（的图象（A0,0 )A0,0 )第一种变换第一种变换第一种变换第一种变换:图象向左图象向左图象向左图象向左()()或或或或向右向右向右向右()()平移平移平移平移 个单位个单位个单位个单位 横坐标伸长横坐标伸长横坐标伸长横坐标伸长()()或缩短或缩短或缩短或缩短()()到原来的到原来的到原来的到原来的 倍倍倍倍 纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变纵坐标不变纵坐标伸长纵坐标伸长纵坐标伸长纵坐标伸长(A1)(A1)或缩短或缩短或缩短或缩短(0A1)(0A1)(A1)或缩短或缩短或缩短或缩短(0A1)(0A1)到原来的到原来的到原来

15、的到原来的A A倍倍倍倍 横坐标不变横坐标不变横坐标不变横坐标不变5 5、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：、对于较复杂的解析式，先将其化为此形式：并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性并会求相应的定义域、值域、周期、单调区间、对称中心、对称轴；会判断奇偶性例例3、不通过求值，比较、不通过求值，比较tan1350与与tan1380的大小

16、。的大小。解：900135013802700又y=tanx在x（900，2700）上是增函数tan13500,|0,(A0,0)0)的图象求其解析式的一般方法：的图象求其解析式的一般方法：的图象求其解析式的一般方法：的图象求其解析式的一般方法：6、已知下图是函数、已知下图是函数 的图象的图象(1)求求 的值；的值；(2)求函数图象的对称轴方程求函数图象的对称轴方程.O x2112y（2）函数图象的对称轴方程为即即设函数设函数（1 1）求）求 ；（2 2）求函数）求函数 的单调递增区间；的单调递增区间；（3 3）画出函数）画出函数 在区间在区间00，上的图象上的图象.图象的一条对称轴是直线图象的

17、一条对称轴是直线例例3 解析解析:（1 1）图象的一条对称轴图象的一条对称轴,是是Oyx（2 2）函数函数 的单调递增区间为的单调递增区间为x xy yo o-1-11 1x0,x0,（3 3）5)函数(A0,0)的一个周期内的图象如图，则有()(A)(B)(C)(D)yx03-3yx02-2-4如图：根据函数如图：根据函数如图：根据函数如图：根据函数 y=A sin(y=A sin(x+x+)(A0,(A0,0)0)图象求它的解析式图象求它的解析式图象求它的解析式图象求它的解析式yx0-44如图：根据函数如图：根据函数y=A sin(y=A sin(x+x+)(A0,(A0,0)0)图象图象

18、求它的解析式求它的解析式yx02-2如图：根据函数如图：根据函数y=A sin(y=A sin(x+x+)(A0,(A0,0)0)图象求它的解析式图象求它的解析式yx012如图：根据函数如图：根据函数y=2 sin(y=2 sin(x+x+)(0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式yx012如图：根据函数如图：根据函数y=2 sin(y=2 sin(x+x+)(0)0)图象图象求它的解析式求它的解析式yx根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据正弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且包括锐角有且只有一个，而且包括锐角4.11 已知三角

19、函数值求角已知三角函数值求角 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反正弦，记作的反正弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的正弦值为表示一个角，角的正弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角练习：练习：（1）表示什么意思？表示什么意思？表示表示 上正弦值等于上正弦值等于 的那个角，即角的那个角，即角 ，故故（2）若）若，则，则x=（3）若）若，则，则x=4.11 已知三角函数值求角已知三角函数值求角的意义：的意义：首先首先 表示一个角，角的余弦值为表示一个角，角

20、的余弦值为a ，即，即角的范围是角的范围是 根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：根据余弦函数的图象和性质寻找区间使其满足：使符合条件的使符合条件的 的角的角x有且只有一个，而且包括锐角有且只有一个，而且包括锐角yx 在闭区间在闭区间 上，符合条件上，符合条件 的角的角x，叫做，叫做实数实数 a 的反余弦，记作的反余弦，记作 ，即，即 ，其中，其中 ，且且 4、已知三角函数值求角、已知三角函数值求角y=sinx,的反函数y=arcsinx,y=cosx,的反函数y=arccosx,y=tanx,的反函数y=arctanx,已知角已知角x()的三角函数值求的三角函数值求x的步骤的步骤先确定x

21、是第几象限角若x的三角函数值为正的，求出对应的锐角；若x的三角函数值为负的，求出与其绝对值对应的锐角根据x是第几象限角，求出x若x为第二象限角，即得x=；若x为第三象限角，即得x=；若x为第四象限角，即得x=若，则在上面的基础上加上相应函数的周期的整数倍。反三角函数反三角函数已知三角函数值求角已知三角函数值求角x（仅限于0，2）的解题步骤：1、如果函数值为正数，则求出对应的锐角x0；如果函数值为负数，则求出与其绝对值相对应的锐角x0；2、由函数值的符号决定角x可能的象限角；3、根据角x的可能的象限角得出0，2内对应的角：如果x是第二象限角，那么可以表示为x0如果x是第三象限角，那么可以表示为x

22、0如果x是第四象限角，那么可以表示为2x0说明说明说明说明:三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视三角函数值求角，关键在于角所属范围，这点不容忽视.(1)(1)(1)(1)判断角的象限判断角的象限判断角的象限判断角的象限；(2)(2)(2)(2)求对应锐角；求对应锐角；求对应锐角；求对应锐角；如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角如果函数值为正数，则先求出对应的锐角x x1 1；如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的

23、锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角如果函数值为负数，则先求出与其绝对值对应的锐角x x1 1.(3)(3)(3)(3)求出求出求出求出(0(0(0(0，2 2 2 2)内对应的角内对应的角内对应的角内对应的角；如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为如果它是第二象限角，那么可表示为x x1 1；如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为如果它是第三或第四象限角，则可表示为x x1 1 或或或或x x1 12 2.

24、(4)(4)(4)(4)求出一般解求出一般解求出一般解求出一般解 利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律利用终边相同的角有相同的三角函数值这一规律写出结果写出结果.（三）已知三角函数值求角（三）已知三角函数值求角”的基本步骤的基本步骤1、基本步骤、基本步骤2 2、表示角的一种方法、表示角的一种方法、表示角的一种方法、表示角的一种方法反三角函数法反三角函数法反三角函数法反三角函数法1 1 1 1、反正弦：、反正弦：、反正弦：、反正弦：这时这时sin(arcsina)=a 2 2 2 2、反余弦：、反余弦：、反

25、余弦：、反余弦：这时这时cos(arccosa)=a 这时这时tan(arctana)=a 3 3 3 3、反正切：、反正切：、反正切：、反正切：三、两角和与差的三角函数1 1、预备知识：两点间距离公式、预备知识：两点间距离公式xyo2 2、两角和与差的三角函数、两角和与差的三角函数注：公式的逆用注：公式的逆用 及变形及变形的应用的应用公式变形公式变形3 3、倍角公式、倍角公式二、知识点二、知识点（一）（一）两角和与差两角和与差公式公式（二）倍（二）倍角角公式公式公式 =1-cos2 2cos2=1+cos2 1+cos2=2cos2 1-cos2=2sin2tan+tan=tan(+)(1-

26、tantan)tan-tan=tan(-)(1+tantan)注意1、公式的变形如：注意2、公式成立的条件（使等式两边都有意义）.C：S：C2：S2：T2：T：3、倍角公式、倍角公式注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别注：正弦与余弦的倍角公式的逆用实质上就是降幂的过程。特别返回和角公式的一个重要变形和角公式的一个重要变形其其 它它 公公 式式(1)1、半角公式2、万能公式十二、两角和与差的正弦、余弦、正切：注意：、的变形式变形式变形式变形式以及运用和差公式时要会拼角拼角拼角拼角如：要要要要熟熟熟熟悉悉悉悉公公公公式式式式逆逆逆逆用用用用！十三、一个化同角同函数名的常用方法：

27、如：例7、求的值十四、二倍角公式：降降幂幂（扩扩角角）公公式式升升幂幂（缩缩角角）公公式式和差化积公式：和差化积公式：积化和差公式：积化和差公式：例例4化简：化简：解法1：从“角”入手，“复角”化为“单角”，利用“升幂公式”。例例4化简：化简：解法2：从“幂”入手，利用“降幂公式”。例例4化简：化简：解法3：从“名”入手，“异名化同名”。例例4化简：化简：解法4：从“形”入手，利用“配方法”。三角解题常规三角解题常规宏宏观观思思路路分析差异分析差异寻找联系寻找联系促进转化促进转化指角的、函数的、运算的差异指角的、函数的、运算的差异利用有关公式，建立差异间关系利用有关公式，建立差异间关系活用公式

28、，差异转化，矛盾统一活用公式，差异转化，矛盾统一微微观观直直觉觉1、以变角为主线，注意配凑和转化；、以变角为主线，注意配凑和转化；2、见切割，想化弦；个别情况弦化切；、见切割，想化弦；个别情况弦化切；3、见和差，想化积；见乘积，化和差；、见和差，想化积；见乘积，化和差；4、见分式，想通分，使分母最简；、见分式，想通分，使分母最简；5、见平方想降幂，见、见平方想降幂，见“1cos”想升幂；想升幂；6、见、见sin2，想拆成，想拆成2sincos；7、见、见sincos或或9、见、见coscoscos，先运用，先运用sin+sin=pcos+cos=q8、见、见a sin+b cos，想化为，想化

29、为 的形式的形式若不行，则化和差若不行，则化和差10、见、见cos+cos(+)+cos(+2 )，想乘想乘 想两边平方或和差化积想两边平方或和差化积总结：多种名称想切化弦；遇高次就降次消元；asinA+bcosA提系数转换；多角凑和差倍半可算；难的问题隐含要显现；任意变元可试特值算；求值问题缩角是关键；字母问题讨论想优先；非特殊角问题想特角算；周期问题化三个一再算；适时联想联想是关键！【解题回顾】【解题回顾】找出非特殊角和特殊角之间的关系找出非特殊角和特殊角之间的关系,这种技巧在化简求值中经常用到，并且这种技巧在化简求值中经常用到，并且三角式变形有规律即坚持三角式变形有规律即坚持“四化四化”

30、：多角同角化多角同角化异名同名化异名同名化切割弦化切割弦化特值特角互化特值特角互化公式体系的推导：公式体系的推导：首先利用两点间的距离公式推导首先利用两点间的距离公式推导 ，然后利用换元及等价转化等思想方法，以然后利用换元及等价转化等思想方法，以 为中心推导公式体系。为中心推导公式体系。sin+cos=1二【述评】二【述评】1 1、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变、变为主线，抓好训练。变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换（恒等）、三角函数名的变换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。

31、换（诱导公式）、三角函数次数的变换（升、降幂公式）、三角函数表达式的变换（综合）等比比皆是。在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中在训练中，强化变化意识是关键。但题目不可以太难。较特殊技巧的题目不做。立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。常见问题的解法，把课本中的习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律。2 2、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）、基本解题规律：观察差异（角或函数或运算）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧）分析综合（由因导果

32、或执果索因）分析综合（由因导果或执果索因）实现转化。实现转化。1、值域与最值问题利用有界性化二次函数型运用合一变换换元十七、求值域问题求值域问题求值域问题求值域问题：主要是将式子化成同角度同函数名同角度同函数名同角度同函数名同角度同函数名的形式，再利用正弦函数与余弦函数的有界性有界性有界性有界性求解。例10、求函数的值域有时还要运用到的关系2、对称性问题3、奇偶性与周期性问题注意绝对值的影响化为单一三角函数4、单调性与单调区间复后函数单调性注意负号的处理5、图像变换问题相位变换、周期变换、振幅变换求函数解析式例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最小正周期；函数的最小正周期；函数的单增区间；

33、函数的单增区间；解：解：应用：化同一个角同一个函数应用：化同一个角同一个函数例例4:已知函数已知函数 求：求：函数的最大值函数的最大值 及相应的及相应的x的值；的值；函数的图象可以由函数函数的图象可以由函数 的图象经过怎的图象经过怎 样的变换得到。样的变换得到。解：解：图象向左平移图象向左平移 个单位个单位图象向上平移图象向上平移2个单位个单位 应用：化同一个角同一个函数应用：化同一个角同一个函数例例5：已知：已知解：解：应用：化简求值应用：化简求值例1化简：解:原式=练习题练习题例2 (1)已知求证：(2)已知求(1)证明：化简得：(2)已知求解:解：应用：化简求值应用：化简求值例例5.5.

34、已知已知2、解:由两边平方得:2由两边平方得:2由2+2得:即所以由2 2得:练习 已知求解:例15.（06陕西理17）已知函数f(x)sin(2x)2sin2(x)(xR)（1）求函数f(x)的最小正周期；（2）求使函数f(x)取最大值的x的集合解：f(x)sin(2x)1cos2(x)sin(2x)cos(2x)12sin(2x)1函数f(x)的最小正周期T.使函数f(x)取最大值的x的集合为x|x=k ,k Z 2、已知函数、已知函数f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a(aR,a常数常数)。（1）求函数）求函数f(x)的最小正周期；的最小正周期；（2）若）若x-,时，时

35、，f(x)的最大值为的最大值为1，求，求a的值。的值。解：（解：（1）f(x)=sin(x+)+sin(x-)+cosx+a =sinx+cosx+a =2sin(x+)+a f(x)最小正周期最小正周期T=2（2）x -,x+-,f(x)大大=2+a a=-1例例3、求函数、求函数 的值域的值域.解：解：又-1sinx1原函数的值域为：变题：已知函数变题：已知函数 （a为常为常数，且数，且a0），求该函数的最小值），求该函数的最小值.当当-2 0时，时，当当 -2时，时，3、函数、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（

36、2）若）若g(a)=，求，求a及此时及此时f(x)的最大值。的最大值。解：（解：（1）f(x)=2(cosx-)2-2-2a-1 -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=-2-a-1当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a当当 -1 即即a0函数函数y=-acos2x-asin2x+2a+bx0,，若函数的值域为，若函数的值域为-5,1，求常数，求常数a,b的值。的值。解：解：3a+b=1 a=2 b=-5 b=-53、函数、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)=，

37、求，求a及此时及此时f(x)的最大值。的最大值。解：（解：（1）f(x)=2(cosx-)2-2-2a-1 -1cosx1 当当-1 1即即-2a2时时 f(x)小小=-2-a-1当当 1 即即a2时时 f(x)小小=f(1)=1-4a当当 -1 即即a-2时时 f(x)小小=f(-1)=1（2）a=-1 此时此时 f(x)=2(cosx+)2+f(x)大大=53、函数、函数f(x)=1-2a-2acosx-2sin2x的最小值为的最小值为g(a)(aR)：（1）求）求g(a)；（2）若）若g(a)=，求，求a及此时及此时f(x)的最大值。的最大值。例12.（2006年天津文9）已知函数f(x

38、)asinxbcosx（a，b为常数，a0，xR）在x处取得最小值，则函数yf(x)的对称中心坐标是_解：由(ab)化简得ab所以f(x)asin(x)，a0从而f(x)asinx，其对称中心坐标为(k，0)，kZ.平平 面面 向向 量量 复复 习习向量的三种表示向量的三种表示表示表示运算运算向量加向量加法与减法法与减法向量的相关概念向量的相关概念实数与实数与向量向量 的积的积三三 角角 形形 法法 则则平行四边形法则平行四边形法则向量平行、向量平行、垂直的条件垂直的条件平面向量平面向量的基本定理的基本定理平平面面向向量量向量的数量积向量的数量积向量的应用向量的应用几何表示 :有向线段有向线段

39、向量的表示字母表示 坐标表示 :(x，y)若若 A(x1,y1),B(x2,y2)则则 AB=(x2 x1,y2 y1)返回返回1.向量的概念:2.向量的表示:3.零向量:4.单位向量:5.平行向量:6.相等向量:7.共线向量:既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量1.有向线段有向线段 2.字母字母 3.有向线段起点和终点字母有向线段起点和终点字母长度为零的向量长度为零的向量(零向量与任意向量都平行零向量与任意向量都平行长度为长度为1个单位的向量个单位的向量1.方向相同或相反的非零向量方向相同或相反的非零向量2.零向量与任一向量平行零向量与任一向量平行长度相等且方向相同的向量长度相等且方向相

40、同的向量平行向量就是共线向量平行向量就是共线向量向量的模（长度）向量的模（长度）1.设设 a a=(x ,y),则则2.若表示向量若表示向量 a a 的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别的起点和终点的坐标分别 为为为为A A A A(x1,y1)、B(x2,y2)，则，则返回返回例例1 1：思考下列问题：思考下列问题：1 1、下列命题正确的是、下列命题正确的是（1 1）共线向量都相等）共线向量都相等 （2 2）单位向量都相等）单位向量都相等（3 3）平行向量不一定是共线向量）平行向量不一定是共线向量（4 4）零向量与任一向量平行）零向量与任一向量平行四、例题一、第

41、一层次知识回顾：一、第一层次知识回顾：1.向量的加法运算OAB三角形法则OABC平行四边形法则坐标运算设：则 “首尾相接首尾连”2.向量的减法运算向量的减法运算1）减法法则减法法则：OAB2）坐标运算坐标运算 设：则 设 则 思考：思考：若 非零向量 ，则它们的模相等且方向相同。同样 若：“同始点尾尾相接,指向被减向量”一、第一层次知识回顾：一、第一层次知识回顾：1.向量的加法运算向量的加法运算ABCAB+BC=三角形法则三角形法则OABCOA+OB=平行四边形法则平行四边形法则坐标运算坐标运算:则则a +b=重要结论：重要结论：AB+BC+CA=0设设 a=(x1,y1),b=(x2,y2)

42、(x1+x2,y1+y2)AC OC实数实数 与向量与向量 a a 的积的积定义：定义：坐标运算：坐标运算：其实质就是向量的伸长或缩短！其实质就是向量的伸长或缩短！a a是一个是一个是一个是一个向量向量向量向量.它的长度它的长度它的长度它的长度|a a|=|=|a a|；它的方向它的方向它的方向它的方向(1)(1)当当当当00时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向相同；方向相同；方向相同；方向相同；(2)(2)当当当当 0 0时时时时,a a 的方向的方向的方向的方向与与与与a a方向相反方向相反方向相反方向相反.若若a a=(x,y),则则 a=a=(x,y)=(x,y

43、)返回返回平面向量的数量积平面向量的数量积（1）a与与b的夹角的夹角：（2）向量夹角的范围）向量夹角的范围：（3）向量垂直）向量垂直：00，1800ab共同的起点共同的起点aOABbOABOABOABOAB（4）两个非零向量的数量积：）两个非零向量的数量积：规定：规定：零向量与任一向量的数量积为0a b=|a|b|cos几何意义：几何意义：数量积a b 等于a 的长度|a|与b 在a 的方向上的投影|b|cos的乘积。AabBB1OBAbB1aOBb(B1)AaO若若 a=(x1,y1),b=(x2,y2)则则a b=x1 x2+y1 y25、数量积的运算律：、数量积的运算律：交换律：交换律：

44、对数乘的结合律：对数乘的结合律：分配律：分配律：注意：注意：数量积不满足结合律数量积不满足结合律返回返回3.平面向量的数量积的性质平面向量的数量积的性质 (1)ab ab0(2)ab|a|b|(a与与b同向取正，反向取负同向取正，反向取负)(3)aa|a|2 或或|a|aa(4)(5)|ab|a|b|4.平面向量的数量积的坐标表示平面向量的数量积的坐标表示 (1)设设a(x1，y1)，b(x2，y2)，则则abx1x2+y1y2，|a|2x21+y21，|a|x21+y21，ab x1x2+y1y20 (2)(3)设设a起点起点(x1，y1),终点终点(x2，y2)则则5、重要定理和公式：、重

45、要定理和公式：设设则则设两点设两点则则设设则则设非零向量设非零向量则则二、平面向量之间关系向量平行向量平行(共线共线)条件的两种形式条件的两种形式:向量垂直条件的两种形式向量垂直条件的两种形式:（3）两个向量相等的条件是两个向量的）两个向量相等的条件是两个向量的坐标相等坐标相等.即即:那么那么 3、平面向量的坐标运算、平面向量的坐标运算知识回忆知识回忆（1）e1、e2不共线，不共线，a=1e1+2e2 (存在一对实数存在一对实数1，2)(1，2唯一的唯一的)。（2）a=xi+yj (x,y)为为a的直角坐标，的直角坐标，a=(x,y)（3）若若a=(x1,y1)b=(x2,y2)，则则ab=(

46、x1x2,y1y2)A(x1,y1)B(x2,y2)AB=(x2-x1,y2-y1)若若a=(x,y)则则a=(x,y)a=(x1,y1)b=(x2,y2)(b0)ab x1y2-x2y1=0知知识识回回忆忆典典例例分分析析例例5例例6回目录例题解这个方程组得k=-(1/3),=-(1/3),即当k=-(1/3)时，ka+b与a-3b平行，这时ka+b=-a/3+b.因为=-(1/3)0,所以-a/3+b与a-3b反向。在本例中，也可以根据向量平行充分条件的坐标 形式，从(k-3)(-4)-10(2k+2)=0,先解出 k=-(1/3)，然后再求。注注注注例例2 设设a，b是两个不共线向量。是

47、两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2bA、B、D共线则共线则k=_(kR)解：解：BD=BC+CD=a+b+a-2b=2a-b 2a+kb=(2a-b)=2a-b 2=2 =-1 k=-k=-1 k=-1知知识识回回忆忆典典例例分分析析例例2例例3例例42、实数与向量的积、实数与向量的积典例分析典例分析-例例2本页结束回目录1与平面几何的结合：与平面几何的结合：ABDCABDC四边形四边形ABCD是菱形是菱形四边形四边形ABCD是矩形是矩形ABCOABCDMABCOM外心外心重心重心重心重心第一层次例题分析第一层次例题分析类型四：三角形中的向量问题类型四：三角形中的向量问题重要结论：重要结论：重要结论：重要结论：ABCO第一层次例题分析第一层次例题分析类型四：三角形中的向量问题类型四：三角形中的向量问题练习练习练习练习1 1：判断正误，并简述理由。(）(）(）(）(）(）平平 面面 向向 量量 复复 习习2.设设AB=2(a+5b)，BC=2a+8b，CD=3(a b)，求证：求证：A、B、D 三点共线。三点共线。分析分析要证要证A、B、D三点共线，可证三点共线，可证AB=BD关键是找到解：解：BD=BC+CD=2a+8b+3(a b)=a+5bAB=2 BD且且AB与与BD有公共点有公共点B A、B、D 三点共线三点共线AB BD