2022年高中及高等数学公式大全.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学常用公式及常用结论1. 元素与集合的关系xAxC A ,xC AxA .2. 德摩根公式C UABC AC B C UABC AC B . 3. 包含关系ABAABBABC BC AAC BC ABR4. 容斥原理card A B cardA cardB card A B card A B C cardA cardB cardC card A B card A B card B C card C A card A B C . 5集合 a a 2 , , a n 的子集个数共有 2 n 个；真子集有 2 n 1 个；非空

2、子集有 2 n 1 个；非空的真子集有 2 n 2 个. 6. 二次函数的解析式的三种形式1 一般式 f x ax 2bx c a 0 ; 2 顶点式 f x a x h 2k a 0 ; 3 零点式 f x a x x 1 x x 2 a 0 . 7.解连不等式 N f M 常有以下转化形式N f x M f x M f N 0| f x M N | M N f x N02 2 M f x 1 1. f N M N8. 方程 f x 0 在 k 1k 2 上有且只有一个实根 , 与 f k 1 f k 2 0 不等价 , 前者是后者的一个必要而 不 是 充 分 条 件 . 特 别 地 , 方

3、 程 ax 2bx c 0 a 0 有 且 只 有 一 个 实 根 在 k 1k 2 内 , 等 价 于f k 1 f k 2 0 , 或 f k 1 0 且 k 1 b k 1 k 2, 或 f k 2 0 且 k 1 k 2 bk 2 . 2 a 2 2 2 a9. 闭区间上的二次函数的最值二次函数 f x ax 2bx c a 0 在闭区间 p, q 上的最值只能在 x b处及区间的两端点处取2 a得,详细如下：1 当 a0 时,如 x b p , q,就 f x min f b, f x max max f , f q ；2 a 2 ax bp , q,f x max max f p

4、, f q ,f x min min f , f q . 2 a2 当 a0 （1）fxfxa,就fx的周期 T=a；（2）fxfxa0,或fxaf1fx0,x或f x a1 0, f x 或1f x f2 f xa ,f x 0,1 , 就fx 的周期 T=2a；23fx1f1a fx0,就fx的周期 T=3a；x4fx 1x 2fx 1x 1fx2且f a 1 f x 1f x21,0|x 1x2|2 , 就1ffx 2T=4a；5f x f x a f x2 a f x3 f x4 f x f x a f x2 a f x3 a f x4 a , 就f x 的周期 T=5a；6fxafx

5、fxa ,就fx的周期 T=6a. 30. 分数指数幂名师归纳总结 1amn1（a0,m nN ,且n1）. 第 4 页,共 39 页nm a2am1（a0,m nN ,且n1）. nman31根式的性质- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1） n ana . 学习必备欢迎下载（2）当 n 为奇数时,nana；00. 当 n 为偶数时,nan|a aaa a32有理指数幂的运算性质1 arasarsa0, , r sQ. 2 arsarsa0, , r sQ . r3 abr a bra0,b0,rQ . 注： 如 a0,p 是一个无理数,就 数指数幂

6、都适用 . 33. 指数式与对数式的互化式ap表示一个确定的实数上述有理指数幂的运算性质,对于无理logaNbabN a0,a1,N0.34. 对数的换底公式logaNlogmN aa0, 且a01,m0, 且m1 ,N0. n1,N0. logamba, 且a1,m n0, 且m1 ,推论loga mbnnlogm35对数的四就运算法就如 a0,a 1,M0,N0,就名师归纳总结 ,1 log aMNlogaMlogaN ; a. 0,且2 logMlog aMlogaN; a Nn M3 loganlogaM nR . 36. 设函数fx logmax2bxc a0, 记b24ac. 如f

7、x的定义域为 R , 就第 5 页,共 39 页0; 如fx的值域为 R , 就a0,且0 . 对于a0的情形 , 需要单独检验 . 37.对数换底不等式及其推广如a0,b0,x0,x1, 就函数ylogaxbxa 1当 ab时 , 在0,1和1 a,上ylogaxbx 为增函数 . a2 当 ab时, 在0,1和1 a,上ylogaxbx 为减函数 . ax推论 :设nm1,p0,a0,且a1,就（1） logm pnplogmn .（2）logamlog anloga2m2n.38.平均增长率的问题假如原先产值的基础数为N,平均增长率为p ,就对于时间x 的总产值 y ,有yN1p39.

8、数列的同项公式与前n 项的和的关系a ns 1,s nnn12 数列 a n的前 n 项的和为s na 1a2a . s n1,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载40. 等差数列的通项公式a na 1n1 ddna 1d nN*；其前 n 项和公式为s nn a 1anna 1n n1dd n 22212；d n . a 12N*41. 等比数列的通项公式ana qn1a 1qnnq其前 n 项的和公式为s na 11qn ,q1qand a 1b q0的通项公式为1qna q11. 或s na 1a q q q1na q1a n14

9、2. 等比差数列an:bn1 , d q1d q1；anbqndb qn1q1其前 n 项和公式为s nnbn n1 ,q1qn q1. bd1qnd1qq1143.分期付款 按揭贷款 每次仍款xab1bn元 贷款 a 元, n 次仍清 ,每期利率为 b . 1bn144常见三角不等式（1）如x0,2,就 sinxxxtanx . 2. 2 如xx0,2,就 1sincosx3 | sin| cosx| 1. 45. 同角三角函数的基本关系式名师归纳总结 sin22 cos1, tan=sin, tancot1. 第 6 页,共 39 页cos46. 正弦、余弦的诱导公式- - - - - -

10、 -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载nsinn 1 sin,n 为偶数 nb .n1s ,n 为奇数 2 12con 为偶数 cosn 12cos,n 为奇数 n12 12sin,47. 和角与差角公式sinsincoscossin; coscoscossinsin; tantantan. 1tantan , a b 的象限打算 , tansinsinsin2sin2 平方正弦公式 ; coscos2 cossin2. asinbcos=a2b2 sin 帮助角所在象限由点a48. 二倍角公式sin 2sincos. cos 2cos2sin22cos211

11、2sin2. tan 212 tan2. tan49. 三倍角公式sin 33sin4sin34sinsin3sin3. cos34cos33cos4coscos3cos3tan 33tantan3tantan3 tan3. 1 3tan250. 三角函数的周期公式名师归纳总结 期T函数ysinx,x R 及函数ycosx,xRA, ,为常数,且A 0, 0 的周2；函数ytanx,xk2,kZ A, ,为常数, 且 A 0, 0 的周期 T. 51. 正弦定理abBcC2R. sin A sin52. 余弦定理sina22 b2 cc22bccosA ; b2a22cacosB ; c2a2

12、b22abcos C . 53. 面积定理（1）S1ah a1bh b1ch （h a、h b、h c分别表示 a、 b、c 边上的高） . 222（2）S1absinC1bcsinA1casinB . 222第 7 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3 S OAB 1| OA254. 三角形内角和定理| |OB|2学习必备欢迎下载OA OB2. 在 ABC中,有ABCCAB. C2A2B2 C22AB . 255.简洁的三角方程的通解sinxaxk 1 arcsin ka kZ,|a| 1cosxax2karccos a kZ,|a|

13、 1. tanxaxkarctan a kZ aR . 特殊地 , 有ksin sin k 1 k Z . co s cos 2 k k Z . tan tan k k Z . 56. 最简洁的三角不等式及其解集sin x a a | 1 x 2 k arcsin a ,2 k arcsin a , k Z . sin x a | a | 1 x 2 k arcsin a ,2 k arcsin a , k Z . cos x a | a | 1 x 2 k arccos ,2 k arccos , k Z . cos x a | a | 1 x 2 k arccos ,2 k 2 arcco

14、s , k Z . tan x a a R x k arctan , a k , k Z . 2tan x a a R x k , k arctan a , k Z . 257. 实数与向量的积的运算律设 、 为实数,那么1 结合律： a= a; 2 第一安排律： + a= a+ a;3 其次安排律： a+b= a+ b. 58. 向量的数量积的运算律：1 a b= b a （交换律） ; a b= a （b）; 2 （a） b= （a b）=3 （a+b）c= a c +b c.59. 平面对量基本定理假如 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一

15、对实数 1、 2,使得 a= 1e1+ 2e2不共线的向量 e1、e2叫做表示这一平面内全部向量的一组 基底 60向量平行的坐标表示设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,且 b0,就 abb0x y 2x y 10.53. a 与 b 的数量积 或内积 ab=| a| b|cos 61. a b 的几何意义数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos 的乘积62. 平面对量的坐标运算名师归纳总结 1 设 a=x y 1, b=x 2,y2,就 a+b=x 1x 2,y 1y 2. y 1. 第 8 页,共 39 页2 设 a=x y 1, b=x 2

16、,y2,就 a-b=x 1x 2,y 1y 2. 3 设 Ax 1,y 1,B x2,y 2, 就ABOBOAx 2x y 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4 设 a= , ,R ,就a=x,学习必备欢迎下载y . 5 设 a=x 1,y 1, b=x 2,y2,就 a b=x x 2y y2. 63. 两向量的夹角 公式cos2 x 1x x 1 2y y 1 22 y 2 a=x 1,y 1, b=x 2,y2. 2 y 12 x 264. 平面两点间的距离公式dA B=|AB|AB AB2Ax 1,y 1, B x 2,y2. x 2x 12

17、y 2y 165. 向量的平行与垂直设 a=x 1,y 1, b=x 2,y 2,且 b0,就0. A| bb= a x y2x y 10. aba0ab=0x x2y y 266. 线段的定比分公式G设P x y 1,P 2x2,y 2,P x y 是线段P P 的分点 ,是实数,且PP 1PP ,就 2xx 1x 2OPOP 1OP 21yy 1y211OPtOP 11t OP （t11） . 67. 三角形的重心坐标公式 ABC 三 个 顶 点 的 坐 标 分 别 为Ax ,y 、1 1Bx ,y 22 、Cx ,y , 就 ABC 的 重 心 的 坐 标 是 3 3x 1 x 2 x

18、3 y 1,368. 点的平移公式y2y3 . 3xxhxxhOPOP PP . yykyyk注: 图形 F 上的任意一点Px ,y 在平移后图形 F 上的对应点为 P x,y,且 PP 的坐标为 , h k . 69. “ 按向量平移” 的几个结论名师归纳总结 y（ 1）点P x y 按向量 a= , 平移后得到点P x h yk . 2 函 数yf x 的 图 象 C 按 向 量a= , 平 移 后 得 到 图 象 C , 就 C 的 函 数 解 析 式 为f xhk . y3 图象 C 按向量a= , 平移后得到图象C , 如 C 的解析式yf x , 就 C 的函数解析式为f xhk

19、. 4 曲线 C :f , 0按向量 a= , h k 平移后得到图象 C , 就 C 的方程为f xh yk0. 5 向量 m= , x y 按向量 a= , h k 平移后得到的向量仍旧为m= , x y . 70.三角形五“ 心” 向量形式的充要条件设 O 为ABC所在平面上一点,角A B C 所对边长分别为a b c ,就（1） O为ABC的外心OA2OB2OC2. （2） O为ABC 的重心OAOBOC0. （3） O为ABC 的垂心OA OBOB OCOC OA . 第 9 页,共 39 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4） O为AB

20、C 的内心aOA学习必备欢迎下载bOBcOC0. （5） O为 ABC的 A的旁心 aOA bOB cOC . 71. 常用不等式：（1）a b R a 2b 22 ab 当且仅当 ab 时取“=” 号 （2）a b R a bab 当且仅当 ab 时取“=” 号 2（3）a 3b 3c 33 abc a 0, b 0, c 0.（4）柯西不等式a2b2c2d2acbd2 , , , , a b c dR .0,假如 a 与ax2bxc 同号,（5）ababab.72. 极值定理已知x,y都是正数,就有（1）如积 xy是定值 p ,就当xy时和xy有最小值2p；（2）如和xy是定值 s ,就当xy时积 xy有最大值1 s . 4推广 已知x,yR,就有xy 2