2022年量子力学知识点小结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 量子力学学问总结仔细、努力、坚持、反思、总结物理 111 杨涛名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学量子力学学问点小结一、绪论1. 光的粒子性是由黑体辐射、光电效应和康普顿效应（散射）三个试验最终确定的；2. 德布罗意假设是任何物质都具有波粒二象性,其德布罗意关系为Eh、和phn3. 波尔的 三个 基本假 设是 定态 条件 假设 、频率条件假设EnhEm量子化条件假设pdqnh 或pdq（n1）（索末菲等推广的量子2化条件）4. 自由粒子的波函数Aeip

2、rEt5. 戴维孙革末的电子在晶体上衍射试验证明白电子具有波动性；二、波函数及薛定谔方程（一）波函数的统计说明（物理意义）A.波函数 , r t 的统计说明 , 2d 表示 时刻在点 r 位置处单位体积内找到粒子的几率（注：d r 2 sin drd d）；B. 波函数 , , , x y z t 的统计说明 , , , 2dxdydz 表示 时刻在点（x y z）位置处单位体积没找到粒子的几率；名师归纳总结 例：已知体系处于波函数 , , x y z 所描写的状态,就在区间 , x xdx 内找到第 2 页,共 37 页粒子的概率是 , , 2dydz dx. 已知体系处于波函数 , ,所描

3、写的状态,就在球壳rrdr 内找到粒子的概率是20 , ,2sindd2 r dr ,在立体角 d内找到粒子的概率是0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学0 , ,22 r drd. （注：dsind d）（二）态叠加原理：假如1和2 是体系的可能状态,那么它们的线性叠加c 11c 22（c 1、c 2为复数）也是这个体系可能的状态；含义：当体系处于1和2的线性叠加态c 112c 22（c 1、c 2为复数）时,体系既处于1 态又处于态2,对应的概率为1c和c22. （三）概率密度（分布）函数如波函数为 ,就其概率密度函数为（ ） 2（四）

4、薛定谔方程：it22U r 2 m拉普拉斯算符2222r21222 球坐标2 xy22 z直角坐标22212cosr2rrr22sinsin问题：1. 描写粒子（如电子）运动状态的波函数对粒子（如电子）的描述是统计性的 . 2. 薛定谔方程是量子力学的一个基本假设,（五）连续性方程：不是通过严格的数学推导而来的 注：JitJ*0* 2m问题： 波函数的标准条件单值、连续、有界；（六）定态薛定谔方程：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学22U r E即：22U r E2 m2 m定态的特点：（1）粒子的几

5、率密度和几率流密度与时间无关（r2 t,）（r）eiEt2（r2）t0（2）能量具有确定的值（可由自由粒子的波函数进行验证）（3）各力学量的平均值不随时间变化定义：哈密顿算符H .22U r 2 m于是 定态薛定谔方程 可写为：HEE 被称为算符 H 的本征值,称为算符这种类型的方程称为本征值方程,的本征方程；争论定态问题,就是要求出（rt,）（或（r）和 E ,含时间的薛定谔方程的一般解,可以写成这些定态波函数的线性迭加： r,tCnnreiEntC 为常数；n（七）一维无限深势阱问题名师归纳总结 设粒子的势能：Ux,00xxaa（2）（1）第 4 页,共 37 页x0 ,在势阱外x0 x0

6、xa 在势阱内：由于Ux0,所以其定态薛定谔方程为：22d22E0xadx令k2 E（3）2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学就方程（ 2）可化为标准形式：d22k200xa（4）dx其通解为：xAsinkx（5）式中 A ,为两个待定常数,单从数学上看,E 为任何值方程（ 2）都有解,然而,依据波函数连续性要求,在势阱边界上,有00asin0（6）a0（7）由（ 5）式和（ 6）式得：A 不能为零,所以必需0 ,于是令波函数不能恒为零,而xAsinkx（8）再依据（ 7）式得a Asinka0所以ka必需满意：kann,1,23.k 只

7、能取以下值n取负数给不出新的波函数；这告知我们knn2,13,. 9 a由3 ）式可知,粒子的能量只能取以下值：Enn2222n,12 ,3 . 10 2 a将（ 9）式代入到（ 8）式中,并把势阱外的波函数也包括在内,我们就得到名师归纳总结 能量为Enn2222的波函数；xx0 ,xaan1 2,3,.（11）第 5 页,共 37 页2 a0nxAsinn0xa- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学注：n0 n0 ,0,波函数无意义（11）式中 A 可由归一化条件确定|nx|2dxa|x 2 |dxA2asin2nx dx100a知：A2x

8、0 ,xaa最终得到能量为E 的归一化波函数为：0x 2sinnx0xaaa总结：1、Ux ,0sin0xax0 ,xa1 , 2, 3 , E n2n2220x0 ,xa可得：xn ax n22 2 ma0xaa2、Ux0 ,sinxaa Enn222xa0x可得：xnxa n1 , 2 , 3 ,1ax2 8 maa2 a 3 、Ux0,sinxaa E n2 n22xa20可得：xxnx2 n1 , 2 , 3 ,2axa2 2 maaa22问题：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学粒子在一维无限

9、深势阱中运动时,如阱宽减小,就其能级间隔会增大 . （八）一维线性谐振子问题：令：一维线性谐振子的势能：Ux 112x2x2E222d2定态薛定谔方程：2dx2E22x最终可求得 一维线性谐振子 的能量与对应的波函数为：Enn1n0、2、3 .Hnx222 x与之相应的波函数为：nxNne2归一化因子Nnn .2n其中：Hn1ne2dne2为厄米多项式d2且有：Hn（）2H（n）2 nHn（）H01H12H2422小结：一维线性谐振子：名师归纳总结 能量的本征方程是：2d212x 222 xx E0,1,2,第 7 页,共 37 页22 dx2本征方程的解：E n n1Hnn2en 2n 2n

10、 .- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学22一维线性谐振子 的基态能量与对应的波函数E1 2m2e2x2E或问题： 1. 线性谐振子能量的本征方程是（x）22d21x 22 2 m dx2d212x2E. 2 dx2定义算符：线性谐振子的本征矢记作n 注：nnn 2n.2 2 xn1e2Hnx a .nn1n1a .nn n1x n1nn1n21n12dnnn1n21n1dx2如：*（x）x.（nx）dxn1x.n11nn1n21n21nn1n1n21n1n1克罗内克符号：n21nn1n,1n21n1n,121m1n11n1mn0mn对线性

11、谐振子：2m2（n1）m nmn2 m注：上述算符仅适用于线性谐振子名师归纳总结 2. 设（x n）是一维线性谐振子的波函数,就有：n1第 8 页,共 37 页（nx）p.x（nx）dx 0 *（1x）x.（nx）dxn2 m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学（*nx）x.（nx）dx 0 （*nx）p.xn（x）dxinm2三、量子力学中的力学量（一）线性算符如Q. c 1u 1c 2 u2c 1 Q. u 1c 2Q. u 2就称 Q.为线性算符, 其中u 1,u2为两个任意函数,c 1, c2是常数（复数） . （二）厄米算符假如对

12、于任意两个函数F.和,算符满意以下等式：d*F.d（*）就称 F.为厄米算符 . 注：两个厄密算符之和仍为厄密算符,算符,除非两者可以对易；但两个厄密算符之积却不肯定是厄密在量子力学中刻划力学量的算符都是线性厄米算符（三）算符的本征值和本征函数就称假如算符 F.作用在一个函数,结果等于乘上一个常数： 本征方程F. 为 F.的本征值,为属于的本征函数本征方程的物理意义：假如算符 F.表示力学量,那么当体系处于F.的本征态时,力学量有确定值,这个值就是 F.在态中的本征值；（四）常用力学量的算符表示：坐标表象下：算符与力学量的关系：量子力学中表示力学量的算 符都是厄米算符,它们的本征函 数组成完全

13、系,当体系处于波函名师归纳总结 数 nc nn描 写 的 状 态第 9 页,共 37 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学能量E : H .i222U r ixp . x动量p:p .即：p .yiyp . ziz（五）动量算符和角动量算符 1. 动量算符：动量算符的本征值方程i p p p x , y , z 1 i p x xp x e2i i本征函数：p 13 e p r重量形式 p y 1 e p y y 2 2p z 1 e i p z z22. 角动量算符. L . r . p . 角动量平方算符 2.L 与角动量 z 重量算

14、符 . L 的本征函数和本征值球谐函数 Y lm , 是角动量平方算符 2.L 与角动量 z 重量算符 . zL 共同的本征函数 . Y lm , m 1Ylm .2l1Pmcos im e,mm0,1,2, ,l.（不做记忆要求） lm .4Y lm , m 1* ,1, 2, 3,m本征值方程：L Y . 2lm , l l12Y lm , l l12和L Y . lm , m Y lm ,因此角动量平方算符2.L 与角动量 z重量算符 . L 的本征值分别为m ,其中 l 称为角量子数称 m 为磁量子数 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 37 页精选学习资料

15、- - - - - - - - - 量 子 力 学简并：对于一个本征值有一个以上的本征函数的情形称为简并简并度： 对应同一本征值的本征函数的数目称为简并度问题：l l1. 不考虑电子自旋,氢原子的第n条能级的简并度为2 n . 2. 考虑电子自旋,氢原子的第n条能级的简并度为2 2n . 3. 球谐函数Y lm , 是算符2.L和L . z的共同本征函数,相应的本征值为：12和m. （六）类氢离子问题：哈密顿算符：H . 22 Ze s 2e s e SI 2 m r 4 0H 的本征值方程：.22 m 22 Zer s 2E 2 m Zen 2 s2 na 2 Z0 ,2 4 式中 a 0

16、= 2 是氢原子第一轨该方程的解：E n m Z e2 2n 2, n 1,2,3,道波尔半径,又称 m e s波尔半径 .R nl r Y lm , R nl r 为径向函数：R nl N e na Z r0 2 Z r lF n l 1,2 l 2, 2 Z r . na 0 na 03 不做记忆要求 . N nl 2 n l . Z32 l 1 . n l 1 . a 0312 Zr基态波函数；100 = R Y 10 00 Z3 e a 0a 0（重点公式）类氢离子的能量：名师归纳总结 E n2 4m Z e s2 e sZ2n1,2,3,（注：当m用电子质量时,a=a 0）第 11

17、页,共 37 页2,22n22an- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学类氢离子的波函数：nlmR nl r Y lm , 基态波函数；100R Y 00Z31 2eZra3 a（七）算符的对易关系：定义：A B . . AB BA . . . .性质：A B . . B A . . A B . . C . A B . . A C . .A BC . . . A B C . . . B A C . . . AB C . . . A B C . . . A C B . . .A . 坐标与坐标的对易关系 X . , X . 0定义：B . 动量

18、与动量的对易关系 p . , p . 0 1 xyz yzx zxyC . 坐标与动量的对易关系 X . , p . = i , 1 xzy yxz zyxD . 角动量与角动量的对易关系 J . , J . i J . 0 其他即：J . J i J . . J . 表示轨道或自旋角动量 表示下标 x y z 之一E . 角动量平方与角动量的对易关系 J . 2, J . 0 例：J . z , J . x zxx i J . x zxy i J . yF . 角动量与动量的 对易关系 L . , p . i p . zxz i J . z 0 i J . x 1 i J . y 0 i J

19、 . zG . 角动量与坐标的对易关系 L . , X . i X . i J . y定 义 ： 对 于 算 符. F 和. G , 如 果 F G ., . 0 就 称 算 符. F 和. G 对 易 , 如 果F G ., . 0 就称算符. F 和. G 反对易（注：F G . . FG . . GF ）. . .泡利算符满意反对易关系,即 . , . . 0定理： 假如两个算符对易,就这两个算符有组成完全系的共同本征函数,该 ；问题： 1. 写出以下算符的对易关系名师归纳总结 L . x,L . yi L .L . x,p . zi p . F G ., .0,就表示它们相互对易且有一

20、组第 12 页,共 37 页x pxi. x,. y2 iz. L . x,y .i z. 2. 如力学量对应算符.F 和 . G 满意- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学共同的本征函数；（八）测不准原理对于算符.F 和. G ,设F G ., .Fik .（注： 是一个算符或一般的数）.k令F ., G .G .G就（F .）（2G .）2k2F .4（九）平均值公式已知算符. F 是线性厄米算符,它的正交归一本征函数是 nx 对应的本征值是 n,如体系处于归一化波函数 x 所描写的状态,就力学量 F 在该体系下的平均值（期望值）公式为：

21、2F c n n , 其中 c n nn n或 F * x F . x dx x F . 问题： 1. 求证：厄米算符的本征值为实数 .证明：设 F.为厄密算符,为 F.的本征值,表示所属的本征函数,即：F. 由于 ：d * F. d F. *（ F.为厄密算符）取,就有：d * F. d F. *d * * d *名师归纳总结 即是实数；第 13 页,共 37 页ii2. 求证：厄米算符的属于不同本征值的本征函数相互正交. 证明：设ii1,2, ,是厄米算符F 的本征函数,它们所属的本征值 .1,2, , 互不相等 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

22、- 量 子 力 学就有：F . k k k 1F . l l l 2且当k l 时,k l 3又.F 是厄米算符,故 k = *k,因此有 ; *F . k k *k 4用 l右乘（ 4）式两边并对整个空间积分得：*F . k l d k *k l d 5*用 k左乘（ 2）式两边并对整个空间积分得：*k F . l d l k *l d 6又k * . F l d F . k *l d 7由（ 5）（7）式可得：kl*ld0 8k*ld0. 联立（ 3）（8）可知：k证毕 . 3. 设粒子做一维运动,波函数为：名师归纳总结 0ax x0,xaa 2dx1x dx1 Asin0xaA 是任意常

23、数,求（1）归一化常数 A2（2）概率分布函数Asinaxdx10（3）概率最大位置2 Aa2 sin ax dx1（4）在a/ 2,a 内发觉粒子的概率；02 A1a1 2cos2（5） x和2 x 的平均值20a2 A1xasin2xa12a2 A0第 14 页,共 37 页a 212- - - - - - -A精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学解：（1）由归一化条件得：A 2dxa112 A2 sin x dx2a（2）概率分布函数为 ; 2=0axx0,xa2 sin a0xa（3）名师归纳总结 件： d =4 sina0axx0,xa第 15 页,共 3

24、7 页dxxcos0xa0x0,xa =2sin2x0xaa由（ 2）可知,当x0,xa 时, 0即概率最小位置,依据极值条 0xa x0或xa处不再争论2又： xaa2 cosaxxaa02222故：xa为概率最大位置,且有a 22. 2a（4）在a/ 2,a 内发觉粒子的概率axa a22 sin ax1xasin2xa1即在aa2aaa222a/ 2,a 内发觉粒子的概率是1. 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学5x x x . sin2 axaBx b =* x x . x dx =2axsin 2ax dxa0 =1x2axs

25、in2x2 a2cos2xa2aa2a0 =a 2x2 2 x x =* 2 x x x dx=2ax22 sin ax dxa0=21x3ax2sin2xa22xcos2xa3a64a4a830=a23上述积分用分部积分法求解. 参考积分公式：b2 xA sin Bx dxAx21xsin2 Bx 212cos2 Bx ba4BBa132 xsin2b2 x A2 sin Bx dxA13 x12 xsin2Bx 12xcos2 Bxa64B4 B8 Ba4. 求一维线性谐振子处在第一激发态时几率最大位置；名师归纳总结 解：由H1x x 得：2x2 22xe12x 2,于第 16 页,共 3

26、7 页一维线性谐振子处在第一激发态的波函数为：2是概率分布函数为： 2232 x e2x2 232xe2x22 x2 2xe =43x23 xe2x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学明显 x 0 满意束缚态条件,此位置概率为 0. 由极值条件 0 x 0, 1,在 x 处概率为零故不做争论 .又： 43（132x2）e2x 2（xx 22x3）x222 x e2x 2 =431 52x 224x 4e200430183e1故概率最大位置是x1Axex（伽马）函数：x0定义：5. 一维运动的粒子的状态是 0x0 0xn1x e dx ,n

27、0其中0 ,求n120x2nex 2dx ,n12（1）粒子动量的概率分布函数；性质：（2）粒子的平均动量 n1.解：由归一化条件 2dx1得：n12nn1.02 2A x e2x dx1 A202 x e2xdx122注：双阶乘运算（1）3A23 =1 2.A21 2（2）32n1.1 3 5（2 -1）推广：A43（1）该波函数在动量表象下的形式为： 0n x1 eaxdx n0ann11 2202 nx eax2dx n1an2动量的本征函数名师归纳总结 总动量：pr 13ei p r第 17 页,共 37 页 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

28、 量 子 力 学cp0p xdx1p2 =* p x dxei px43xe1 =2 =43xei p xdx3023 =22p2=2ii于是粒子动量的概率分布函数为： cp22314i p（ 2）动量的期望值为：p0i x p . id43xexdx =43xexdx =430xexdxx（1-x）e =ii430xe2xdx02 x e2x432223 =23 =i431.2.4283 =06. 体系处于c Y 1 11c Y 态中就（ B ）A.是体系角动量平方算符、角动量z 重量算符的共同本征函数B. 是体系角动量平方算符的本征函数,不是角动量 z 重量算符的本征函数C. 不是体系角动

29、量平方算符的本征函数,是角动量z 重量算符的本征函数D. 既不是体系角动量平方算符的本征函数,也不是角动量 z 重量算符的本征函数四、态和力学量的表象名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 37 页精选学习资料 - - - - - - - - - 量 子 力 学（一）态的表象已知对任意力学量 Q ,既有分立的本征值 iQ i 1,2, , , ,对应本征函数是 iu x i 1,2, , , 也有连续的本征值 q （ q 在肯定范畴内变化） ,对应的本征函数是 u q x ,当体系处于波函数（x t）所描写的状态,就该体系在 Q 表象下所描写的状态（即波函数 , x t 表示为算符 Q 的本征函数形式） . .由态叠加原理可得： , a t u n a t u q x dqn式中就a t n u n * , x t dx ;Q 的概率,a q * u q , x t dx .（,x t）在力学量 Q 表象下的描述可用列矩阵表示：a qa t a t a t ,.* a t ,* a t ,* a t ,* a t a t 由归一化条件知：.1an 2表示在 , x t 所描写的状态中测量力学量Q 所得结果为 2dq 就表示测量结果在 q 到 qdq之间的概率 . （二）算符的矩阵表示设算符.F 作用于波函数Y , 后,得出另一函数 , x t . 在坐标表