2022年高中物理竞赛精品讲义之—程稼夫篇.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载电磁学静电学1、 静电场的性质静电场是一个保守场,也是一个有源场；F dlo高斯定理q i静电力环路积分等于零E dsE osq idvv电场强度与电势是描述同一静电场的两种方法,两者有联系b名师归纳总结 qEdrwaw bU 1QrR第 1 页,共 38 页aE drUaUb过程E drdUE dxdU dx一维情形下2、 几个对称性的电场E xdU dx（1）球对称的电场E 场源点电荷1Q匀称对电球4E r2R4Eor41Qr1Q面E r24E orQ、R0rRR41QrRE oR匀称带点球41Qr1QrR体E r24

2、E orQ、R- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 41优秀学习资料R欢迎下载oQQ332 Rr2rRQ r 3Rr1E o4Er2R13 43 RrR34E or23E or, 体电荷密度为, 球内有一半径为R 的小球例 : 一半径为R 的球体匀称带电a , 如图形空腔 , 空腔中心与与球心相距为1 求空腔中心处的电场E2 求空腔中心处的电势U解 :1 在空腔中任选一点p , E 可以看成两个匀称带电球体产生的电场强度之差 , 即Ep3E or 13E or23 Eor 1r2Eo23Eoa令ao o 2, 所以空腔中心处Ep3 Eoa这个与 p 在空腔

3、中位置无关2 求空腔中心处的电势电势也满意叠加原理Up可以看成两个匀称带电球体产生电势之差32 R2 R2 a即Uo26Eo32 R 12 a6Eo32 R06Eo假设上面球面上,有两个无限小面原s is ,运算is ,受到除了is 上电荷之处 ,球面上其它电荷对is 的静电力 ,这个静电力包含了js 上电荷对is 上电荷的作用力 . 名师归纳总结 同样js 受到除了is 上电荷以外 ,球面上其它电荷对js 上电荷的作用力,第 2 页,共 38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载这个力同样包含了 is 对 js 的作用力 . 假

4、如把这里的 s s 所受力相加 ,就 s i , s 之间的相互作用力相抵消；出于这个想法, 现在把上半球面分成无限小的面元,把每个面元上所受的静电力（除去各自小面元）相加,其和就是下半球面上的电荷对上半球面上电荷的作用力；求法 :F=fo2 R222 R22 R4Q2E oE oR 2再观看下 ,匀称带电球面上的电场强度=. 通常谈论的表面上电场强度是指什么 . 例:求匀称带电球面Q R,单位面积受到的静电力of.解:令 RRRRR过程无限缓慢名师归纳总结 得出此过程中静电力做功的表达式: oR24Q2R第 3 页,共 38 页fo42 RRQ2Q2Q22 C o2 C2 4oR82 Q11

5、1R R8Q211RE RE RR8Q2R2 E R ofo4Q4Q1222 R2 R2oE oE o或者算出foE表面E表面2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载而且可以推广到一般的面电荷在此面上电场强度E 表面1E 1E 2,求上下两半球之间的静电力. 2例:一个半径为R,带电量为 Q 的匀称带电球面解:原就上 ,这个作用力是上半球面上的电荷受到来自下半球面的电荷产生的电场强度的空间分布 ,对上半球面上各电荷作用力之和 ,由于下半球面上电荷所产生的电场强度分布 ,所以这样计较有困难 . 例:求半径为 R,带电量为 Q 的匀称带电

6、球面 ,外侧的静电场能量密度 . 解:静电场 真空 能量密度 1 E E 221 Q此题球面外侧 : E 24 E o R221 E o 1 Q2 f o2 4 E o R 2 E o推论 :假如在上述带电球体外侧无限空间中布满了相对电常数为 E 的多向同性匀称电合质 , 名师归纳总结 1E E E2fo22第 4 页,共 38 页2E E o- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载下面求张力 :它等于右半球表面所收到的静电力之和F T22 E 02Rs i nR dc o s023oE ocos2202 Rsincosd0209oE

7、R o 2 2cos 3dcos29o2 2E R4前面求出过本小题 :E,3d0此题 : 名师归纳总结 导体球放在匀强电场中,产生感应电荷的分布,令为第 5 页,共 38 页oc o s0由于要求导体内E0EE oE,EoE,3doo3oo3oEo3oE ocos- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例:一个半径为优秀学习资料欢迎下载E 中,求由于静电感应所产生的感 oR,原不带电的导体球放置于匀强电场应电荷 ,所带来的两半球之间新增的张力 . 解:预备学问 : 一个半径为 R 的匀称各向同性介 质在匀强电场中受到极化 ,求极化电荷的 分布 . 解: o

8、时,oddcosocosE,求极化介质球,由于极化电荷所产生的介质球内的电场强度例:带电圈环 :R q 匀称带电 求图中带电圈环与带电半直线之间的相互作用力. 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解:这题取下面方法: 优秀学习资料欢迎下载先求匀称带电半直线产生的电场强度,对匀称带电圈处的电荷的作用力上图中圈环上的点离半直线两端点的距离为R,环上 P 点处的电场强度,可以用帮助1 4在运算此面上某圈弧 在 P 点产生的场强大小. E41oR22R圈环受到合力在qo,均为正值时,方向向左,大小为FqEo c o s 4

9、5q41o2 RR 2241q2oR在达到静电平稳的整个空间中,假如有一个处于静电平稳的带电面,处受到的静电力,无需用整个空间中的各带电体,面,线,点,运算对其作用之和,只需先求出此面上该处的电场强度,该表面受到的静电力；E 表面1E 1E 22其缘由是,这样的运算,已经考虑了全空间电荷的作用,不必重复考虑；例：一个半径为R,带电量为Q 的匀称带点表面,求因表面带电所增加的表面张力系数；解：法一：球面上取一个小面元,半径为 r ,此面受两个力平稳：静电力,沿径向向处,大小为for2fo220此面元边界上新增表面张力的合力,径向向里,设新增表面张力系数为大小为名师归纳总结 - - - - - -

10、 -第 7 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2rsin1r优秀学习资料欢迎下载r2 rR2力平稳方程：for222 r d2RR1f R122 2o柱对称电场场源E 1orrr2RRr0U 2olnrrR无限长匀称带电直线2（）无限长匀称带电圈柱面21or2olnr（,R ）2 R RlnRrRro2o2or无限长匀称带电圈柱体21rR2olnrrRror（,R ）（2 R ）12oR23、带电荷粒子在电场中的运动例 1：一个带点粒子从一开头就在垂直于匀称带电的长直导线平面内运动,它从这导名师归纳总结 线旁飞过,最终与开头入射方向偏转小角度 ,第 8 页,共

11、38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载如图,假如当粒子飞入带电直线电场中时,它的动能为 E ,电量为 e,导线单位长度带电量为 ,离导线距离 处电场强度设为 E 2 0 r,求 =？解：此题情形, 一般入射粒子速度比较大,由于速度快,所以带电直线受到的横向冲量就比较小（时间短） ,这样产生的 角度就会如题中告知是一个小量,利用微元法处理, 当带电粒子到达位置 时相距位矢量为r ,此刻带电粒子受力大小FeE2e0 r,FyFcos2e0rcos此刻 y 方向动力方程为2e0rcosmdvydt其中 dt 可以利用 x 方向动力学

12、方程表达dtdxvx其中 dx 与 d 满意关系（如下列图几何关系）名师归纳总结 dxcosrcosrdmdtvrd第 9 页,共 38 页xcoseydvy vxcos20rd化简整理2eydvydvy20mv x0e2vy20mv x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 利用E x1mv x 2evx优秀学习资料欢迎下载vy240tgvye0vx4例 2：如下列图一很细、 很长圆柱形的电子术由速度为V的匀速运动的低速电子组成,电子在电子束中匀称分布,沿电子束轴线每单位长度包含n 个电子,每个电子的电荷量-e（e0）,质量为 m,该电子束从远处沿垂直于平

13、行板电容极板方向射向电容器,其前端（右端）于 t=0 时刻刚好达到电容器左极板,电容器两极板上多开一个小孔使电子可以不受阻碍地穿过电容器两极板 AB,加有如下列图的变化电压 V AB,电压的最大最小值分别为 v 0, v 0,周期为 T,如以 表示每个周期中电压处于最大的时间间隔,就 T 是周期中电压处于最小的时间间隔,已知 的值正好使在 V AB 变化的第一个周期内通过电容器达电容器右边的全部电子,能够在某一个时刻 t b 形成匀称分布的一段电子束；设两级间距很小,电子穿越时间,且2mV 6eV 0 ,不计电子间相互作用（1） 满意题给条件的,t 0 的值分别为？（2） 试在下图中画出 t=

14、2T 那一刻,在 0 2T 时间内通过电容器的电子在电容器的右侧空间形成电流 I, 随离开右极板距离 x 的变化曲线,并在图上标出图线特点点的横、纵坐标；取 X 正方向为电流正方向,图中 x=0 处为右极板 B 的小孔位置,横坐标单位S T ev 0m解：（1）第一个周期内通过的全部电子在通过前是一段速度为 V 的匀称电子束（孔的左侧）；通过小孔以后,分成两段速度不同的电子束；名师归纳总结 10时间内,所加电压为V ,通过小孔后速度由V 减小,设为V1,满意关系第 10 页,共 38 页2 mV12 mVeV 022 T 时间内,所加电压为V ,通过小孔后速度由V 增大,设为V2,满意关系式,

15、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1mV 21mV 2 2eV 0优秀学习资料欢迎下载22再由题中告知：的值正好在 V AB 的变化的第一个周期内通过电容器达右边的全部电子,能够在 t b 时刻形成匀称分布的一段电子束 V 此话要求在 t= t b 时刻,达到小孔右侧的这两束电子束在前端应当在某处相重达到小孔右侧的两电子束的长度相等由此可写方程名师归纳总结 V 1 T V 2第 11 页,共 38 页tbV 1tb V 2得到V 2 TV 1V 22 V 1V22 eV 04 eV 0mm2 V 1V22 eV 04 eV 0mmV26 eV 0m所以

16、V 12eV 0,V 222eV 0mmV 2tB V 2V 1t bV 2V 12 TV 2（3）由于t b2 T,观看的就是这个时刻右侧空间的电流分布,应当确定两件事情：电流在空间位置的分布电流强度的大小分布- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - bV 12 T2eV 04 s优秀学习资料欢迎下载m电子束长度V 122 T2eV 0222 sm4、静电势能、电势例 1：如下列图 N 对 e、-e 离子,等间距 a,沿直线排列（1） 设N , 试确定某个 e 的电势能W和-e 的电势能W（2） N 足够大时,W W近似取小题（ 1）的结论,求系统的电势能

17、W （3） N 足够大时,将非边缘的一对离子 在原位,试求外力做的功 A. e、-e 一起缓慢地移到无限远,其余离子仍名师归纳总结 提示ln1xxx2x3.WWW4e2第 12 页,共 38 页23ln2111.23解：（1）U24e4e0 a40e3 a.0 a2e111.0a23WeU2e2ln20 aUUWeU2e20 aln2（2）足够大的N, W1NWNW 2e2aln220（4）将一个正离子缓慢移到无限远处,余下系统电势能此时该正离子的空位相邻的一个负离子的所具有的电势能为W0 a- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载WW再

18、将该负离子移到无限远处,余下系统的电势能WW无限远处负离子移到正离子旁边,这一对正负离子的电势能W4e20 a利用动能关系,求出外力做功2 2A W W W W W W W W W e e4 0 a 4 0 a2e 2 ln 2 12 0 a例 2 如图两个点电荷位于 X 轴上,在他们形成的电场中,如取无限远处的电势为零,就 X 轴上多点的电势如图曲线所示,当 x 0 时,电势U ; 当x,电势U 0,电势为零的坐标为 x ; 电势微小值为 U 的点的坐标为 x （ 0） , 试依据图线供应的信息,确定这两个点电荷所带电的符号,电量的大小以及在 X 轴的位置；解：由图中信息可知,带正电荷的电荷

19、 Q1 在 x=0 处,由于 x x 0 处电势为 0,所以另一个点电荷必需为负（-Q2）. 它在 x0 的位置上（设距离x=0 距离为 a）利用图中 x=0 点电势为零方程：kQ 1kX0Q 2a0U ,方程 0U0,方程XOX 在x 处,合电势为 0kQ 1kQ 2aX OX 0X 在x 处,合电力等于 0kQ 12kXQ 2a20X O0联立三个方程得到名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - a2 x0,Q 1x02优秀学习资料欢迎下载2U 0x0U 0,Q 21 k2k例 3：在水平平面上有两相垂直相交的内壁光

20、滑的联通细管,管内放置两个质量均为 m,电荷量均为 q 的同号带电质点为 A、B, 初始时质点 A 至两管交点 O的距离为 d,质点 B位于交点 O处,速度相互垂直,方向如图,大小均为 u 0 kq 2md求质点运动中,它们之间的最小距离解：通常,这里应当采纳两质点的相对运动处理；设运动过程中,A,B 两质点的位置矢量为rA,rB,就相对位矢为rrBrAerr r分别写出 A、B 两质点的动力学方程,然后写出相对动力学方程：m aAkq2eri ir2名师归纳总结 m aBkq2erj j第 14 页,共 38 页r2ma Ba Akq2erj jkq2e ri ir2r2m akq2re（其

21、中 a 是 B 相对 A 的相对加速度）r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载B 在运动时所受的力只有相反向的静电力,这个静电力是个有心力,同时又是一个保守力,上述两个方程为角动量守恒,守恒量可由初始值确定；1初始时,相对于A 的运动为右图,守恒方程联系初态和相距最近状态,r , mvmmv m 2kmr m vq 2m1mdu 02 kq2m2 u 02rm2d联系消去 v m,解得 r m2解之前利用 u 0 kq mdu 2kq 2md联立解得 v m d u 0,r m 1 5dr m 4例 4：电荷匀称分布在半径为 R的

22、圆面上,电荷量的密度为,试求园面边缘的电势；解：利用 u0 k dq,其中 dq 2 r m dr（这里 m 是 r 的函数）r名师归纳总结 r2Rcosm,drsin2Rsinmm dmRrmsinm dm第 15 页,共 38 页dq2rm2 Rm d4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - u0k4R0msinm dm优秀学习资料欢迎下载k4R0mdcosmk4R0d 2mcosmcosm dm22k4R00dsinm k4R4RR2400电势和电势能例 1：当电荷连续分布时,求静电能量有两个公式Wudq,W1udqC,2试说明这两个公式的物理意义,并

23、以平行板电容为例,分别利用上述公式求出它在电容蓄电量为 Q 时的静电场；解：（1）利用Wudq运算名师归纳总结 dAE drUUQqdq12 Q1CU 2第 16 页,共 38 页dAdAdq dA dqUUdAdq UWdA Udq0c2C2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）利用W1udq运算优秀学习资料欢迎下载2WUdq iU Q ,Udq iUU Q 1Q UU1QU1CU 21Udq1UQ Q 22222导体旁移动电荷,求外力做功例 1：如图一个原先不带电电荷的同心球壳,内外半径分别为 电量为 Q a,b,球心处放一个点电荷,现在用外力把

24、此点电荷从球心移到无限远处,求外力做功等于多少？解：由于在 Q 移动过程中,导体球壳表面感应电荷变化,所产生的电场不是静电场,因此 需要另外想方法；初始时刻, Q 未移动之前, 在 Q 处,导体球壳内, 外表面的感应电荷产生的静电场有电势,其值：（另 Q=nq,然后逐个移动q 运算外力做功11 bQqdA 1dAq u0uqk adA 2dA 2q u0uqk 11 bQ2 qa. . dA ndA nqk 11Qnqab外力做功之和名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - A A kq 11Q优秀学习资料2 q欢迎下载

25、Qnq qQ.abkq1 a1nQqn n2112 kQ11b2ab其中初始吧Q=nq（分散）,移到无限远,又把nq=Q（集中） ,合起来做功为零；解法二：如图外力做功A W fW 02 Q,其中C40baba2 C-A Q 2kb-a12 kQ11a 处有一个带电量为Q 的点电荷,现在吧Q2ab2ab例 2：一块接地无限大导体平板,离板距离为沿垂直于板的方向移到无限远处,求外力做多少功？解法一：上一例的解法 解法二：；解法三：设移动 Q 过程中离板距离达到X,且移动缓慢,移动过程中外力始终等于作用在Q 上的静电力,即名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页,共 38 页精选学习资

26、料 - - - - - - - - - FkQ 22优秀学习资料欢迎下载 x所以外力做功为A Fdx1kQ 2adx12 kQad1kQ4a4x24x电场线例 1：运算在通过导风光上以 0 为圆心, R为半径的圆上的电量等于由 Q 发出的全部电量一半的条件下,求 R=. 解：一个方法是先求出导风光上相对于 0 的说明感应电荷面密度的分布,求出半径为 R的园面上电量为1时, R=. Q 和导体板上感应电荷共2这里采纳初等方法,由于导体板右侧电场强度分布是由点电荷同激发产生,或者等价的认为：导体板右侧电场分布是由点电荷Q 及其相应的电荷-Q 共同激发产生；由于右侧空间电场强度分布的非球形对称性,所

27、以运算通过导体板上半径为 R 的园面上电通量较困难,这是由于右侧的电场,已经由Q,-Q 两点电荷产生的场叠加后形成的分布；这里采纳方法是：在运算通过导体板上园面的电通量宁可不用叠加后的电场运算,而用 叠加前的由 Q 发出,由 -Q 吸取的两个球对称的电场来处理,其结果明显是相同的；以 Q 为球心, r 为半径做一个球面假设由 Q 发出的电量为N,那么具有球对称的,由Q 发出的电通量,通过圆的电通量为N2r2 1rcos42同样,由 -Q 吸取电场线,通过导体上同一个园面上的电通量必为这个值,而且通量方向相 同；写出通过圆面电通量的方程：名师归纳总结 1N2N2r2 1rcos第 19 页,共

28、38 页242- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载3对应的 R为：tg3R,R3 aq 的点电荷 A,已知导a例 2：一个半径为R的接地导体球, 球外距球心为d 处放置一个电量为体球面上0,区域的感应电荷量为1q,求02解：本系统球外有一个点电荷Q 和导体球上感应电荷共同激发产生的电场分布,或者说球外有一个由电荷q 及其相应的电荷qRqd如图1NN2r2 2 1cosRN2r2 1 1r1cos2R14r2d422coscosd几何关系：r1qRxr2qdR名师归纳总结 r2 2R2d22Rdcos00第 20 页,共 38 页co

29、sDAdRcosr2r2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosBDRcosr0R2优秀学习资料r20欢迎下载dcosRdr12dR1Rd33 R 2d2r2dr2化简整理得：cos02 R例 3：点电荷 +q 和 -q（qq）分别位于 条电力线与连线 AB成 角度,x 轴上 A.B 两点, A,B 的距离为 L,从 +q 发出的某一求：（1）求该电场线最终的场线与 x 轴间的夹角（2）求该电场线或其最终的场线与 x 轴的交点 c 的位置解：题给的那条由 q 发出的电场线将来去向何处,第一应当在 q 发出的千万条电场线中找出一条能达到 B 而未达到 B

30、 的那条电场线在 A 发出时与 AB 的夹角 0 由于点电荷发出或者接受的电通量与该电荷的电量成正比,示,q214cos0q0arctan12 qq所以在写电量时均对应的电量表名师归纳总结 （1）当0时,题给的电场线将在B 点,设这条电场线最终与AB 夹角为 第 21 页,共 38 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - q214cosq214优秀学习资料欢迎下载cos解得arccos1q q 1cos（2）当0 时,q qq4121cosq421cos44解得arccosqq1cos名师归纳总结 当0 时, c 点即为 B 点第 22 页,共 38 页如

31、图 ,r1r2 PCA中,x1r1sinsin PCB中,x2r2sinsin利用r1r2,x1sinx2sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又E,E qE q三角形中,E q优秀学习资料欢迎下载E qsinsinq1sin,另一个方程2x2qx1Lqsin所以x xq2qX 1qqL,XqLqq例 4.；两条匀称带电的无限平行直线,单位长的电荷量分别为 和 - ,相距 2a,两带电线构成的平面为Z-X平面,使 Z 轴与两线平行且距离相等,取直角坐标,试证明；20 U,圆（1）电势为 U 的等势面半径为rk2 ka1的圆柱面,其中kexp2（2）柱

32、的轴线与两带电的直线平行且共面,位置在byx 轴上,x0k21a处；k21在 X-Y平面上, 电场线的方程为x2y2a20,即圆心在 y 轴上的圆,其中 b 为常量；名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页,共 38 页精选学习资料 - - - - - - - - - 证明： 本系统是一个相对优秀学习资料欢迎下载Z 轴平面内, 电Z 轴具有肯定对称性的系统,即在任意一个垂直于场的分不相同,所以可在X-Y平面内争论40lnr2（1）写出 PX,Y点处的电势表达式,设为U UUU20lnr20lnrrr2xa 2y2,r2xa2y2U40lnxa2y2xa2 y2k2xa2y2xa2y2由于kexp20 U,整理后的xk21a 2y