2022年高考数学公式及知识点总结4.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高考前数学学问点总结一. 备考内容：学问点总结二. 复习过程：高考接近,对以下问题你是否有清晰的熟识？1. 对于集合,肯定要抓住集合的代表元素,及元素的“ 确定性、互异性、无序性”lg；,A、B、C如：集合Ax ylgx,By ylgx,C , | x y yx中元素各表示什么？2. 进行集合的交、并、补运算时,不要遗忘集合本身和空集 留意借助于数轴和文氏图解集合问题；的特别情形；空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集；3. 留意以下性质：（ ）集合a 1,a2, ,a n的全部子集的个数是2n；ABB；CUB（ ）如ABABA,（3）德

2、摩根定律：UACUB,CUABCUACUABC4. 你会用补集思想解决问题吗？（排除法、间接法）5. 可以判定真假的语句叫做命题,规律连接词有“ 或” ,“ 且” 和“ 非”.如pq 为真,当且仅当p、 均为真如pq 为真,当且仅当p、 至少有一个为真如p 为真,当且仅当p 为假6. 命题的四种形式及其相互关系是什么？（互为逆否关系的命题是等价命题；）原命题与逆否命题同真、同假；逆命题与否命题同真同假；7. 对映射的概念明白吗？映射f：A B,是否留意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯独性,哪几种对应能构成映射？B 中有元素无原象； ）（一对一,多对一,答应8. 函数的三要素是什么？

3、如何比较两个函数是否相同？（定义域、对应法就、值域）9. 求函数的定义域有哪些常见类型？10. 如何求复合函数的定义域？如：函数f x 的定义域是a,b,ba0,就函数Fxf x fx的定义域是 _；（答：a,a）11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗？12. 反函数存在的条件是什么？（一一对应函数）求反函数的步骤把握了吗？（反解 x；互换 x、 y；注明定义域）13. 反函数的性质有哪些？互为反函数的图象关于直线 y x 对称；储存了原先函数的单调性、奇函数性；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - -

4、- - - 设yfx的定义域为A,值域为C,aA,bC,就fa = bf1 af1f a f1 a,f f1 f a b14. 如何用定义证明函数的单调性？（取值、作差、判正负）如何判定复合函数的单调性？（yf u ,u ,就yf 为增函数,否就f 为减函数；）（外层）（内层）当内、外层函数单调性相同时f 如：求ylog 1x22x的单调区间2（设uux22x,由u20就0x2且log 1,x1u1,如图：2u O 1 2 x 当x0,1 时,u,又log1u,y2当x1,2 时,u,又log1u,y2 ）15. 如何利用导数判定函数的单调性？在区间 a,b 内,如总有 f 0 就 f x 为

5、增函数；（在个别点上导数等于零,不影响函数的单调性）,反之也对,如 f 0 呢？3如：已知 a 0,函数 f x x ax 在 1,上是单调增函数,就 a 的最大值是（）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 （令 f x 3 x 2 a 3 x ax a03 3就 x a 或 x a3 3由已知 f x 在 1, 上为增函数,就 a 1,即 a 33a 的最大值为 3）16. 函数 fx 具有奇偶性的必要（非充分）条件是什么？（fx 定义域关于原点对称）名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 如fxf x 总成立f x

6、 为奇函数函数图象关于原点对称如fxf x 总成立f x 为偶函数函数图象关于y 轴对称留意如下结论：（1）在公共定义域内：两个奇函数的乘积是偶函数；两个偶函数的乘积是偶函数；一个偶函数与奇函数的 乘积是奇函数；（ ）如fx是奇函数且定义域中有原点,就f00；17. 你熟识周期函数的定义吗？（如存在实数T（T0）,在定义域内总有f xTf x ,就f x 为周期函数, T 是一个周期；）如：如f xaf x ,就（答：f x 是周期函数,T2 a 为f x 的一个周期）又如：如f x 图象有两条对称轴xa,xb即f axf ax,f bx f bx就f x 是周期函数,2ab为一个周期如：18

7、. 你把握常用的图象变换了吗？名师归纳总结 f x 与fx的图象关于y轴 对称a 第 3 页,共 30 页f x 与f x 的图象关于x 轴 对称f x 与fx的图象关于 原点 对称f x 与f1 的图象关于 直线yx对称f x 与f2 ax的图象关于 直线xa对称f x 与f 2ax 的图象关于点a,0 对称将yf x 图象左移a a0 个单位yf x右移个单位yf xa a a0 上移b b0 个单位yf xa b下移 b b 0 个单位留意如下“ 翻折” 变换：yf xa bf x f x f x f| |- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19.

8、 你娴熟把握常用函数的图象和性质了吗？k0 y=b O Oa,bx x=a （ ）一次函数：y kx b k 0k k（ ）反比例函数：y k 0 推广为 y b k 0 是中心 O a,b x x a的双曲线；2 b 24 ac b 2（ ）二次函数 y ax bx c a 0 a x 图象为抛物线2 a 4 a顶点坐标为 b,4 ac b 2,对称轴 x b2 a 4 a 2 a2开口方向：a 0,向上,函数 y min 4 ac b4 a2a 0,向下,y max 4 ac b4 a应用：“ 三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的关系二次方程2 2ax bx c 0,0 时,两根

9、 x 1、x 2 为二次函数 y ax bx c 的图象与 x 轴的两个交点,也是二次不等式 ax 2bx c 0 0 解集的端点值；求闭区间 m, n上的最值；求区间定（动） ,对称轴动（定）的最值问题；一元二次方程根的分布问题；（ ）指数函数：yaxa0,a1y=axa1 （ ）对数函数ylogax a0,a1由图象记性质！（留意底数的限定！ ）y 0a1 1 O 1 x 0a1 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - k（ ）“ 对勾函数”y x k 0x利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区分是什么？y

10、kO kx 20. 你在基本运算上常显现错误吗？指数运算：a01a0 ,ap1a0 0,Nb0apmmn1ma0 N Mannam a0 ,ana对数运算：logaMNlogaMlogalogaMlogaMlogaN,loganM1logaMNn对数恒等式： alogaxxlogcblogambnnloga对数换底公式：logablogcam21. 如何解抽象函数问题？（赋值法、结构变换法）如：（ ）x R,f x 满意 f x y f x f y ,证明 f x 为奇函数；（先令 x y 0 f 0 再令 y x, ）（ ）x R,f x 满意 f xy f x f y ,证明 f x 是偶

11、函数；（先令 x y t f t t f tt f t f t f t f t f t f t ）（ ）证明单调性：f x 2 f x 2 x 1 x 2 22. 把握求函数值域的常用方法了吗？（二次函数法（配方法） ,反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等；）如求以下函数的最值：名师归纳总结 （ ）y2x34134x第 5 页,共 30 页2x（ ）yx3（ ）x3,y2x2x3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）yx49x2设x3cos,0,（ ）y 4 x 9,x 0,1 x23. 你记得弧度的定义吗？能写出圆心角

12、为 ,半径为 R 的弧长公式和扇形面积公式吗？（lR,S扇1lR1R2）22R 1 弧度O R 24. 熟记三角函数的定义,单位圆中三角函数线的定义sinMP,cosOM,tanATy B S T P 如：如80,就sin,cosM A x O ,tan的大小次序是名师归纳总结 又如：求函数y1）2cos22x的定义域和值域；第 6 页,共 30 页sinx0（12cos2x1sin x2,如图：2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 52 k x 2 k k Z,0 y 1 24 425. 你能快速画出正弦、余弦、正切函数的图象吗？并由图象写出单调区间、

13、对称点、对称轴吗？sinx1,cos x1y ytgxx 2O 20,kZ对称点为k2,名师归纳总结 ysin 的增区间为2 k2,2 k2kkZkZ第 7 页,共 30 页减区间为2 k2,2k3kZ2图象的对称点为k,0,对称轴为x2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ycos 的增区间为2k,2kkZ减区间为 2 k,2 k 2 k Z图象的对称点为 k,0,对称轴为 x k k Z2y tan 的增区间为 k,k k Z2 226. 正弦型函数 y = Asin x + 的图象和性质要熟记；或y A cos x（ ）振幅 | A |,周期 T 2

14、| |如 f x 0 A,就 x x 0 为对称轴；如 f x 0 0,就 x 0,0 为对称点,反之也对；（ ）五点作图：令 x 依次为 0, ,3,2,求出 x 与 ,依点2 2（x, y）作图象；（ ）依据图象求解析式；（求 A、 、 值） x 1 0如图列出x22）解条件组求、 值正切型函数yAtanx,T| |27. 在三角函数中求一个角时要留意两个方面先求出某一个三角函数值,再判定角的范畴；如：cos x62,x,3,求 值；22（x3,7x65,x65,x1326341228. 在解含有正、余弦函数的问题时,你留意（到）运用函数的有界性了吗？如：函数ysinxsin| |的值域是

15、（x0 时,y2sinx2,2,x0时,y0,y2,229. 娴熟把握三角函数图象变换了吗？（平移变换、伸缩变换）平移公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - （ ）点 （ , ）ah,k P （x,y）,就xxh平移至yyk（2）曲线 f x,y 0 沿向量 a h,k 平移后的方程为 f x h,y k 0如：函数 y 2 sin 2 x 1 的图象经过怎样的变换才能得到 y sin x 的4图象？（y 2 sin 2 x 1 横坐标伸长到原先的 2 倍 y 2 sin 2 1 x 14 2 4左平移 个单位2

16、sin x 1 4 y 2 sin x 1 上平移 1 个单位 y 2 sin x4纵坐标缩短到原先的 1 倍2 y sin x）30. 娴熟把握同角三角函数关系和诱导公式了吗？如：1 sin 2cos 2sec 2tan 2tancot cossec tan4sin cos 0 称为 1 的代换；2“k” 化为 的三角函数“ 奇变,偶不变,符号看象限” ,2“ 奇” 、“ 偶” 指 k 取奇、偶数；9 7如： cos tan sin 214 6又如：函数 y sin tan,就 y 的值为cos cotA. 正值或负值 B. 负值 C. 非负值 D. 正值sin（ycos sincoscos

17、 sincos 22 cossin 11 0,0）sin31. 娴熟把握两角和、差、倍、降幂公式 及其逆向应用了吗？懂得公式之间的联系：名师归纳总结 sinsincoscossin令sin22sincos第 9 页,共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - coscoscossinsin令cos2cos2sin2tantantan,tan22 cos1112sin21tantantan22tanb2sin2 coscos 2211tan2sin2cos22asinbcosa2basincos2sin4sin3cos2sin应用以上公式对三角函数式化

18、简；尽可能求值；）详细方法：3（化简要求：项数最少、函数种类最少,分母中不含三角函数,能求值,（ ）角的变换：如,222 （2）名的变换：化弦或化切（3）次数的变换：升、降幂公式（4）形的变换：统一函数形式,留意运用代数运算；名师归纳总结 如：已知sincos1,tan2,求tan2的值；11）第 10 页,共 30 页1cos 23（由已知得：sincoscos1,tan12sin22sin2又 tan2 3tan2tan1tantan1213 22tantan83232. 正、余弦定理的各种表达形式你仍记得吗？如何实现边、角转化,而解斜三角形？余弦定理： a2b2c22bccosAcosA

19、b2c2a22bc（应用：已知两边一夹角求第三边；已知三边求角；）正弦定理：aAbBcC2 Ra2RsinAb2RsinBsinsinsinc2RsinCS1absinC2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC,ABCsinABsinC,sinA2BcosC11a2如ABC中,2sin2A2Bcos2C1（ ）求角C；（2）如a2b2c2,求cos2 Acos2B的值；2（ ）由已知式得：1cosAB22 cosC又ABC,22 cosCcos C10cosC1或cosC1（舍）2又0C,C3（ ）由正弦定理及a2b21c2得：22sin2A2sin

20、2Bsin2Csin23341cos2 A1cos2B34cos 2 A cos 2 B 3）433. 用反三角函数表示角时要留意角的范畴；反正弦：arcsin x2,2,x1,1反余弦：arccosx0,x1,1反正切：arctanx2,2,xR34. 不等式的性质有哪些？（ ）ab,c0acbcc0acbca 或x（ ）ab,cdacbd（ ）ab0,cd0acbd（4）ab011,ab011abab（ ）ab0anbn,nanb（ ）| |a a0axa,| |ax35. 利用均值不等式：名师归纳总结 a22 b2 ab a,bR；ab2ab；aba2b2求最值时,你是否注第 11 页,

21、共 30 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 意到“a,bR” 且“ 等号成立” 时的条件,积ab 或和 ab 其中之一为定值？（一正、二定、三相等）留意如下结论：a222 ba2bab2 aba,bRy max24 3）ab当且仅当ab 时等号成立；a22 bc2abbcca a,bR当且仅当abc 时取等号；ab0,m0,n0,就bbm1anaaambnb如：如x0,23x4的最大值为x（设 y23 x422 12243x当且仅当3 xy4 x,又xx0,x 2 3 时,3y4 的最小值为又如：x21,就22 2）（2x22y2 2x2y1 2 2

22、,最小值为36. 不等式证明的基本方法都把握了吗？（比较法、分析法、综合法、数学归纳法等）并留意简洁放缩法的应用；如：证明111121n2232n2（111 11112213 n2232n2111111 n111223n37.212）f x a a0的一般步骤是什么？n解分式不等式g x （移项通分,分子分母因式分解,x 的系数变为1,穿轴法解得结果； ）38. 用“ 穿轴法” 解高次不等式“ 奇穿,偶切”,从最大根的右上方开头如： x1x12x230名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 30 页精选学习资料 - - - - - - - - - 39. 解含有参数的不等式要

23、留意对字母参数的争论如：对数或指数的底分a1 或0a1 争论40. 对含有两个肯定值的不等式如何去解？（找零点,分段争论,去掉肯定值符号,最终取各段的并集；）例如：解不等式 | x 3 | x 1 1（解集为 x x 1）241. 会用不等式 | | | | | a b | | | | | 证明较简洁的不等问题如：设 f x x 2 x 13,实数 满意 | x a | 1求证： f x f a 2 | | 1 2 2证明：| f a | | x x 13 a a 13 | x a x a 1 | | x a | 1 | x a x a 1 | | x a 1 | | | | 1又 | | |

24、 | | x a | 1,| | | | 1 f x f a 2 | | 2 2 | | 1（按不等号方向放缩）42. 不等式恒成立问题,常用的处理方式是什么？（可转化为最值问题,或“ ” 问题）如：a f x 恒成立 a f x 的最小值a f x 恒成立 a f x 的最大值a f x 能成立 a f x 的最小值例如：对于一切实数 x,如 x 3 x 2 a 恒成立,就 a 的取值范畴是（设 u x 3 x 2,它表示数轴上到两定点 2 和 距离之和u min 3 2 5,5 a,即 a 5或者：x 3 x 2 x 3 x 2 5,a 5）43. 等差数列的定义与性质名师归纳总结 定义：

25、an1and d为常数,ana1n1d第 13 页,共 30 页等差中项：x,A, 成等差数列2 Axy前 项和Sna1annna1n n1d22性质：an是等差数列（ ）如mnpq,就amanapaq；（ ）数列a 2n1,a2n,kanb仍为等差数列；S n,S 2nS n,S 3nS 2n 仍为等差数列；（ ）如三个数成等差数列,可设为ad, ,ad；（4）如an,bn是等差数列Sn,Tn为前n项和,就amS2m1；m2m1bT（ ）an为等差数列S nan2bn（ , 为常数,是关于n 的常数项为- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 0 的二次函数

26、）S n 的最值可求二次函数 S n an 2bn 的最值；或者求出 a n 中的正、负分界项,即：a n 0当 a 1 0,d 0,解不等式组 可得 S n 达到最大值时的 n 值；a n 1 0a n 0当 a 1 0,d 0,由 可得 S n 达到最小值时的 n 值；a n 1 0如：等差数列 a n,S n 18,a n a n 1 a n 2 3,S 3 1,就 n（由 a n a n 1 a n 2 3 3 a n 1 3,a n 1 1又 S 3 a 1 a 33 3 a 2 1,a 2 12 31S n a 1 a n n a 2 a n 1n 3 1 n182 2 2n 27

27、）44. 等比数列的定义与性质定义：a n 1q（ 为常数,q q 0）,a n a q n 1a n等比中项：x、G、 成等比数列 G 2 xy,或 G xyna 1 q 1 前 项和：S n a 1 1 q n（要留意 .） q 1 1 q性质：an 是等比数列（ ）如 m n p q,就 a ma n a pa q（ ）S n,S 2 n S n,S 3 n S 2 n 仍为等比数列45.由 S n 求 a n 时应留意什么？（n 1 时,a 1 S 1,n 2 时,a n S n S n 1）46. 你熟识求数列通项公式的常用方法吗？例如：（1）求差（商）法名师归纳总结 如：an满意1

28、a11a2 11an22n1551第 14 页,共 30 页2222nn1时,1a 1215,a1n2142解： 21时,1a 11a2an1n2222n12得：1an22nan2n1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - an141n1 2nn2练习名师归纳总结 数列an满意SnSn15an1,a14,求an第 15 页,共 30 页3（留意到an1Sn1Sn代入得：Sn14Sn又S 14,Sn是等比数列,Sn4nn2时,a nS nS n1 3n 41（2）叠乘法例如：数列an中,a 13,an1nn1,求anan解：a2a3 an112 nn1,an1

29、a1a2an23a1n又a13,an3 n（3）等差型递推公式由anan1f n ,a 1a0,求an,用迭加法n2时,a2a1f a3a2f 两边相加,得： anan1f n ana 1f f f n ana0f f f n 练习数列an,a 11,ann 31an1n2,求an（a n 1 3 n 12（4）等比型递推公式）ancan 1d c、 为常数,c0,c1,d0可转化为等比数列,设 anxc an 1xa ncan 1c1x令c1 xd,xcd1ancd1是首项为a1cd1, 为公比的等比数列 cancd1a 1cd1cn1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ana 1cd1cn1cd1（5）倒数法例如：a11,an1a2 an2,求an1 2n由已知得：a11anan211n22ana1111nan21为等差数列,11,公差为ana 111n111n1an22a n 2n 147. 你熟识求数列前n 项和的常用方法吗？例如：（1）裂项法：把数列各项拆成两项或多项之和,使之显现成对互为相反数的项；如：an是公差为d 的等差数