2022年等腰三角形与勾股定理中考数学试题分类汇编.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 三、解答题1（ 2022 年崇左）如图,在等腰梯形ABCD 中,已知AD/BC ,AB DC,AD 2,BC4,延长 BC 到 E,使 CEAD （1）证明： BAD DCE ；（2）假如 ACBD ,求等腰梯形ABCD 的高 DF 的值E A D B F C （第 24 题）【关键词】在等腰梯形性质进行转化；【答案】（1）证明：ADBC,CDADCEBAC40,分别以又四边形 ABCD 是等腰梯形,BADCDA ,BADDCE ABDC,ADCE,BADDCE（2）ADCE,ADBC,四边形ACED是平行四边形,ACDEACBD,DEBD由（

2、 1）可知,BADDCE,DEBD所以,BDE是等腰直角三角形,即E45 ,DFFEFCCE 四边形 ABCD 是等腰梯形,而AD2,BC4,FC1CEAD2DF3（ 2022 年浙江省绍兴市）如图,在ABC中,ABAC,AB,AC 为边作两个等腰直角三角形ABD 和 ACE,使BADCAE90 （1）求DBC 的度数；（2）求证： BDCE 【关键词】等腰三角形的性质名师归纳总结 【答案】（1） ABD 是等腰直角三角形,BAD90,所以 ABD 45 ,AB AC, 所以第 1 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABC 70 ,所以

3、 CBD 70 +45 115 2AB AC, BAD CAE 90 ,AD AE, 所以 BAD CAE, 所以 BD CE2（2022 年宁波市） 如图 1,在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,点 A 的坐标为 8 0, ,直线 BC 经过点 B 8 6, ,C 0 6, ,将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 度得到四边形 OA B C ,此时直线 OA 、直线 B C 分别与直线（1）四边形 OABC 的外形是,；当90 时,BP BQ的值是BC 相交于点 P、Q（2）如图 2,当四边形 OA B C 的顶点 B 落在 y 轴正半轴时,求 BP 的值；BQ如图 3,当四边形

4、OA B C 的顶点 B 落在直线 BC 上时,求OPB 的面积（3）在四边形 OABC 旋转过程中,当 0180 时,是否存在这样的点 P 和点 Q,使BP 1 BQ ？如存在,请直接写出点 P 的坐标；如不存在,请说明理由2y y y BAB A C Q B C B（Q）B C P P CA O x A O x A O x （图 2）（图 3）C（备用图）【关键词】勾股定理【答案】解： （1）矩形（长方形） ；名师归纳总结 BP4OA B90,第 2 页,共 36 页BQ7（2）POCB OA,PCOCOPA OBCPOC,即CP6,A BOA68CP9,BPBCCP722同理B CQB

5、C O,CQB C,即CQ106,C QB C68CQ3,BQBCCQ11- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - BP7BQ22在OCP和B A P中,2 x ,解得x25OPCB PA,OCPA90,OCB A,OCPB A PAASOP 设 B PB Px ,在 RtOCP中,8x2624SOPB125675244BP1BQ （3）存在这样的点P 和点 Q ,使2点 P 的坐标是P 1936 6, ,P 27 6, 42对于第（ 3）题,我们供应如下具体解答,对同学无此要求名师归纳总结 过点 Q 画 QHOA于 H ,连结 OQ ,就 QHOCOC ,第

6、 3 页,共 36 页SPOQ1PQ OC,SPOQ1OP QH,22PQOP 设 BPx,BP1BQ ,2BQ2x ,如图 1,当点 P 在点 B 左侧时,OPPQBQBP3x ,在 RtPCO中,8x2623 2,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y y P B Bx B BAC Q Q C CP H AH O A CA O x 解得x 1136,x 23 261（不符实际,舍去） 23 26PCBCBP9,P 1936 6, 2如图 2,当点 P 在点 B 右侧时,OPPQBQBPx ,PC8x 1BQ 在 RtPCO中,8x2622 x ,解得

7、x254PCBCBP8257,44P 27 6, 4综上可知,存在点P 1936 6, ,P 27 6, ,使4BP2232022 年义乌 如图,在边长为4 的正三角形ABC 中, ADBC 于点 D,以 AD 为一边向右作正三角形ADE ；（1）求ABC 的面积 S；（2）判定 AC、DE 的位置关系,并给出证明；【关键词】正三角形【答案】解：（1）在正ABC中,AD432 3,90 ,21 1S BC AD 4 2 32 2（2） AC、DE 的位置关系：AC4 3DE在CDF中,CDE90ADE30 ,CFD180CCDE1806030ACDE4（ 2022 恩施市）恩施州自然风光无限,

8、特殊是以“ 雄、奇、秀、幽、险” 著称于世著名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名的恩施大峡谷A 和世界级自然爱护区星斗山B 位于笔直的沪渝高速大路X 同侧,AB 50km,A、 B 到直线 X 的距离分别为 10km 和 40km ,要在沪渝高速大路旁修建一服务区 P ,向 A、B 两景区运输游客 小民设计了两种方案,图（1）是方案一的示意图 （ AP与直线 X 垂直,垂足为 P ）, P 到 A 、 B 的距离之和 1S PA PB ,图（ 2）是方案二的示意图（点 A 关于直线 X 的对称点是 A ,连接 BA

9、 交直线 X 于点 P ）, P 到 A 、 B 的距离之和 S 2 PA PB （1）求 1S 、S ,并比较它们的大小；（2）请你说明 S 2 PA PB 的值为最小；（3）拟建的恩施到张家界高速大路 Y与沪渝高速大路垂直,建立如图 （3）所示的直角坐标系, B 到直线 Y 的距离为 30km ,请你在 X 旁和 Y 旁各修建一服务区 P、Q,使P、A、B 、 Q 组成的四边形的周长最小并求出这个最小值Y B 图（ 1）A X B P A X Q B A X P AO P 图（ 2）图（ 3）【关键词】勾股定理、对称、设计方案【答案】解 :图 10（1）中过 B 作 BCAP,垂足为 C,

10、就 PC 40,又 AP10, AC 30 在 Rt ABC 中, AB 50 AC 30 BC40 C50, BPCP2BC2402S140210图 10（2）中,过 B 作 BCAA 垂足为 C,就 A又 BC40 BA 40 25021041由轴对称知： PAPA S2BA 1041M, 连接 MA,MB,MA,由轴对称知MA MA S S 22如 图 10（2）,在大路上任找一点MB+MA MB+MA AB S2BA 为最小（3）过 A 作关于 X 轴的对称点A, 过 B 作关于 Y 轴的对称点B,连接 AB, 交 X 轴于点 P, 交 Y 轴于点 Q,就 P,Q即为所求名师归纳总结

11、过 A、 B分别作 X 轴、 Y 轴的平行线交于点G, 第 5 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - AB 2 100502505所求四边形的周长为50505YBBQPAXA以下是湖北孔小朋的分类：5（ 2022 年甘肃庆阳） （8 分）如图 14,在平面直角坐标系中,等腰 Rt OAB 斜边 OB 在 y 轴上,且 OB 4（1）画出OAB 绕原点 O 顺时针旋转90 后得到的三角形；OB 与点 B 轨迹所（2）求线段OB 在上述旋转过程中所扫过部分图形的面积（即旋转前后围成的封闭图形的面积） 图 14 【关键词】 平面直角坐标系；旋转【

12、答案】 本小题满分 8 分 解：（1）画图正确（如图） ；（2）所扫过部分图形是扇形,它的面积是：90 4 36024BAC ABD,ACBD,点 O 是 AD、BC 的交点,点E 是6（ 2022 年河南）如下列图,名师归纳总结 AB 的中点试判定OE 和 AB 的位置关系 ,并给出证明第 6 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【关键词】等腰三角形的性质与判定【答案】 OEAB证明：在BAC 和 ABD 中,ACBD,BAC ABD,ABBA BAC ABD OBA OAB, OA OB又 AEBE, OEAB7（2022 泰安） 如

13、下列图, 在直角梯形 E 是 AB 的中点, CEBD；（1）求证： BEAD ；ABCD 中,ABC 90 ,AD BC,AB BC,（2）求证： AC 是线段 ED 的垂直平分线；（3） DBC 是等腰三角形吗？并说明理由；（4）【关键词】直角梯形、垂直平分线、等腰三角形【答案】证明： （1） ABC 90 , BD EC, 1 与 3 互余, 2 与 3 互余, 1 2 ABC DAB 90 , AB AC BAD CBE AD BE （2） E 是 AB 中点,EB EA 由（ 1）AD BE 得： AE AD AD BC 7 ACB 45 645 6 7 名师归纳总结 由等腰三角形的

14、性质,得：EM MD ,AM DE；第 7 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即, AC 是线段 ED 的垂直平分线；（3） DBC 是等腰三角（ CDBD）理由如下：由（ 2）得： CDCE 由（ 1）得： CEBD CD BD DBC 是等腰三角形；8（2022 年新疆） 如图是用硬纸板做成的四个全等的直角三角形,两直角边长分别是a,b,斜边长为 c 和一个边长为c 的正方形,请你将它们拼成一个能证明勾股定理的图形（1）画出拼成的这个图形的示意图（2）证明勾股定理b c b c b a c b a a c c c a 【关键词】勾股

15、定理的验证【答案】方法一解： （1）如图b a c c b a c a c b b c a 名师归纳总结 b a 第 8 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （ 2 ） 证 明 ：大 正 方 形 的 面 积 表 示 为ab2, 大 正 方 形 的 面 积 也 可 表 示 为c241a b, ab 2c241ab ,a2b22abc22ab ,a2b22 c 即22直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方方法二解：（ 1）如图（ 2 ） 证 明 ：大 正 方 形 的 面 积 表 示 为 ：c 2, 又 可 以 表 示 为 ：1 ab 4 b

16、 a 2, c 2 1 ab 4 b a 2,c 22 ab b 22 ab a 2,2 22 2 2c a b 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方92022 年牡丹江市 有一块直角三角形的绿地,量得两直角边长分别为 6m,8 m现在要将绿地扩充成等腰三角形,且扩充部分是以 8m为直角边的直角三角形,求扩充后等腰三角形绿地的周长【关键词】勾股定理的应用【答案】在 RtABC中,ACB90,AC8,BC6由勾股定理有：AB10,扩B 充部分为 RtACD,扩充成等腰ABD,应分以下三种情形：如图 1,当ABAD10时,可求CDCB6,得ABD的周长为32m如图2,当ABBD10时,可求C

17、D4,由勾股定理得：AD4 5,得ABD的周长为204 5 m如图 3,当 AB 为底时,设 ADBDx,就CDx6,由勾股定理得：x25,得ABD的周长为80 m33A A A D C B D C B D C 图 1 图 2 图 3 10（2022 白银市） 如图 13, ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形,ACB ECD 90 ,D 为 AB 边上一点,求证：名师归纳总结 （1）ACEBCD；（ 2）AD2DB22 DE 第 9 页,共 36 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【关键词】全等三角形的判定、勾股定理【答案】 27证明 :（1）

18、ACBECD ,ACDBCDACDACE即BCDACEBCAC,DCEC, ACE BCD（2）ACB 是等腰直角三角形,BAC 45B ACE BCD, B BACCAE 4545 45DAECAE90AD2AE2DE2由（ 1）知 AEDB,11（2022 年衡阳市）如图,和外角的平分线,BEAE（1）求证： DA AE ；ABC 中, AB AC ,AD 、AE 分别是 BAC 和 BAC（2）试判定 AB 与 DE 是否相等？并证明你的结论【关键词】等腰三角形、矩形B C D A E F 【答案】解： （1）证明：AD平分BACBAD1BAC1180902AE平分BAFBAE1BAF2

19、BADBACBAF180BAE1BACBAF22DAE90DAAE（2）AB DE,理由是：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - ABACBACADBCADB90AD平分BEAEAEB90四边形AE BD是矩形ABDEDAE9012（山东省临沂市）如图, A, B 是大路 l （l 为东西走向）两旁的两个村庄,A 村到大路l 的距离 AC1km,B村到大路 l 的距离 BD2km,B 村在 A 村的南偏东 45 方向上（1）求出 A, B 两村之间的距离；（2）为便利村民出行,方案在大路边新建一个公共汽车站P,要求该

20、站到两村的距离相等,请用尺规在图中作出点P 的位置（保留清楚的作图痕迹,并简要写明作法）北C A D l 东B 解：（1）方法一：设AB 与 CD 的交点为 O,依据题意可得AB45 ACO和BDO都是等腰直角三角形AO2,BO22（km）A,B两村的距离为ABAOBO22 23 2方法二：过点 B 作直线 l 的平行线交 AC 的延长线于 E 易证四边形 CDBE 是矩形,名师归纳总结 CEBD2BEEA3第 11 页,共 36 页在 RtAEB中,由A45 ,可得AB2 32 33 2（km）A,B两村的距离为 3 2 km- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

21、 - - A N C M O P D l B （2）作图正确,痕迹清楚作法：分别以点 A,B 为圆心,以大于 1 AB 的长为2半径作弧,两弧交于两点 M,N,作直线 MN ；直线 MN 交 l 于点 P ,点 P 即为所求（7 分13（四川省泸州市） 在某段限速大路BC 上大路视为直线 ,交通治理部门规定汽车的最高行驶速度不能超过 60 千米时即 50 米秒 ,并在离该大路 100 米处设置了一个监测点 A 在3如图 8 所示的直角坐标系中,点 A 位于 y 轴上,测速路段 BC在 x 轴上, 点 B 在 A 的北偏西 60 方向上, 点 C 在 A 的北偏东45 方向上, 另外一条高等级大

22、路在 1求点 B 和点 C 的坐标；y 轴上,AO 为其中的一段2一辆汽车从点 B 匀速行驶到点 C 所用的时间是 15 秒,通过计算,判定该汽车在这段限速路上是否超速 .参考数据：3 1 . 7 3如一辆大货车在限速路上由 C 处向西行驶,一辆小汽车在高等级大路上由 A 处向北行驶,设两车同时开出且小汽车的速度是大货车速度的 近距离是多少 . 解：在 Rt AOB 中, OA100, BAO 60所以 OB OA tanBAO 1003 Rt AOC 中,CAO 45所以 OCOA 100, 所以 B-100 3 ,0,C （100,0）2 倍,求两车在匀速行驶过程中的最名师归纳总结 - -

23、 - - - - -第 12 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2） BCBO+CO 1003 +100,100310018151850 3, x 米,就此时小汽四行驶了 2x 米,且两车的距所以这辆车超速了；（3）高大货车行驶到某一时刻行驶了离为y100 x2100 2x25x6022000ABC（要求：当 x60 时, y 有最小值是200020 5 米,AB 为一边的等边答：两四相距的最近距离为20 5 米14（2022 年重庆） 作图, 请你在下图中作出一个以线段用尺规作图,并写出已知、求作,保留作图痕迹,不写作法和结论）A 19 题图B 已知：求作：

24、【关键词】等边三角形 , 尺规作图【答案】解：已知：线段AB1 分,连接线段AC、BC各 1 分）求作：等边ABC作图如下：（注：每段弧各C A B 15（2022 年重庆） 已知：如图,在直角梯形于点 F,交 BC 于点 G,交 AB 的延长线于点（1）求证： BG FG ；（2）如 AD DC 2,求 AB 的长A D F B G C E ABCD 中,AD BC, ABC90 , DEAC E,且 AE AC【关键词】勾股定理、直角三角形性质、等腰三角形性质和全等三角形的判定方法名师归纳总结 【答案】（1）证明：ABC90,DEAC于点 F ,第 13 页,共 36 页- - - - -

25、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - ABCAFE CAB,ACAE,EAFABCAFEAB AF 连接 AG ,AG AG,AB AF,RtABGRtAFGBGFG （2）解： AD DC,DF AC,A B AF1AC1AE 22E30 FADE30 ,AF3ABAF3D F G C E 16（2022 年广西钦州）已知：如图2, O1与坐标轴交于A（1,0）、B（5,0）两点,点 O1 的纵坐标为5 求 O1 的半径【关键词】垂径定理、勾股定理【答案】解：过点 O1 作 O1CAB,垂足为 C,就有 ACBCyO 1ACB ECD OA ACB B x由 A（ 1,0

26、）、 B（5,0）,得 AB4, AC2图 2 在RtAO C中, O1的纵坐标为5 ,O1C5 O1 的半径 O1AO C2AC2 5222 317 2022 年甘肃定西 如图 13, ACB 和 ECD 都是等腰直角三角形,90 , D 为 AB 边上一点,求证： （1）ACEBCD；（2）AD2DB22 DE 【关键词】全等三角形、勾股定理名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 36 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】证明 :（1） ACBECD ,ACD BCDBCD ACEACDACE即BCAC,DCEC, ACE BCD（2）ACB 是等

27、腰直角三角形,BBAC45 ACE BCD, BCAE45DAECAEBAC4545902 2AD AE DE由（ 1）知 AEDB,2AD2+DB2=DE218（2022 年莆田）已知：等边ABC的边长为 a 探究（ 1）：如图,过等边ABC的顶点 A、 、C依次作 AB、BC、CA的垂线围成MNG,求证：MNG是等边三角形且MN3a ；探究（2）：在等边ABC内取一点 O ,过点 O分别作 ODAB、OEBC、OFCA,垂足分别为点D、 、 如图 2,如点 O 是ABC的重心,我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两 个 正 确 结 论 （ 不 必 证 明 ）： 结 论1 ODOEO

28、F3a ； 结 论22AD BE CF 3 a ；2如图 3,如点 O是等边ABC内任意一点,就上述结论1 2、 是否仍旧成立？假如成立,请赐予证明；假如不成立,请说明理由M 名师归纳总结 B A C G B A C B A C B A C 第 15 页,共 36 页D O F D O F D O F E E E N （图 1）（图 2）（图 3）（图 4）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【关键词】等边三角形证明：如图 1,ABC 为等边三角形ABC 60BC MN,BA MGCBM BAM 90ABM 90 -ABC 30M A G B C aM9

29、0-ABM60N （图 1）同理：NG60a2 3MNG为等边三角形在 RtABM中,BMABsinMsin 603在 RtBCN中,BNBCa3atanNtan 603MNBMBN3 a（2） ：结论 1 成立A D F O 名师归纳总结 B E H C 2,连接 AO、BO、CO第 16 页,共 36 页（图 2）证明；方法一：如图由SABCSAOBSBOCSAOC1 2a ODOEOF作 AHBC,垂足为 H ,3 2a就AHACsinACBasin 60SABC1BC AH1a3a222- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1a ODOEOF1a3

30、a222ODOEOF3aBC,分别交 AB、AC于点 G、H,过点2方法二：如图3,过点 O 作 GHH 作 HMBC于点 M ,C60DGOB60,OHFAGH是等边三角形GHAHOEBCOEHM四边形 OEMH 是矩形HMOE中,ODOGsinDGOOGsin 603OG在 RtODG2A 名师归纳总结 D O F OHsinOHFOHsin 603 2OH3a第 17 页,共 36 页H G B E M C 在 RtOFH中,OF在 RtHMC中,HMHCsinCHCsin 603 2HCODOEOFODHMOF3OG3HC3 2OH223GHHC3 2AC22- - - - - - -

31、精选学习资料 - - - - - - - - - M A FDD O F C G B E EN （2） : 结论 2 成立证明：方法一：如图,过顶点A、 、C依次作边 AB、BC、CA的垂线围成MNG,由（1）得MNG为等边三角形且MN3aMG于点 F过点 O 分别作 ODMN 于 D , OENG 于 NG 于点 E,OF由结论 1 得：ODOEOFMN3 23a3a2又ODAB,ABMG,OFMGADODAFOF A90四边形 ADOF 为矩形OF AD同理： ODBE,OECF3aADBECFODOEOF2方法二：（同结论1 方法二的帮助线）A 名师归纳总结 D O F tanOF3OF

32、第 18 页,共 36 页H G B E M C （图 3）在 RtOFH中,FHOHF3在 RtHMC中,HCHM2 3OEsinC3OD3 3OECFHCFH2 3OE3OF33同理：AD2 3OF3OD,BE2 3333- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ADBECF2 3 3OF3OD2 3 3OD33OE2 3OE3OF33333 ODOEOFOFa由结论 1 得：ODOE2A D F BECF33a3aO C B E （图 5）AD22方法三：如图5,连接 OA、OB、OC,依据勾股定理得：BE2OE2OB2BD22 OD CF2OF2OC2CE22 OE AD2OD2AO2AF22 OF + +得 ：名师归纳总结 BE2CF2AD2BD2CE2AF2BC6第 19 页,共 36 页BE2CF2AD2aAD2aBE2aCF2a22AD aAD2a22BE aBE2a22CF aCF2整理得：2a ADBECF3 a2ADBECF3a12 分220 2022 年南充 如图 8,半圆的直径AB10,