2022年高考抛物线专题做题技巧与方法总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载高考抛物线专题做题技巧与方法总结学问点梳理：1. 抛物线的标准方程、类型及其几何性质 xp0 ：xx22pyx标准方程y22pxy22pxx22py图形y y yFyOxOOOpF 0 ,p焦点F p 2, 0 Fp,0 0 ,222准线x0,pRxpyReyp 20yp0222范畴xyx,0xR , yxR , y对称轴x 轴（0,0）y 轴顶点离心率12. 抛物线的焦半径、焦点弦y22pxp0的焦半径 PFxP;x22pyp0的焦半径 PFyP；pt2（ t22 过焦点的全部弦中最短的弦,也被称做通径. 其长度为 2p.

2、x2 AB 为抛物线y22px的焦点弦,就x Ax Bp2,yAyB2 p ,4| AB =xAx Bp3. y22px的参数方程为x2pt2（ t 为参数）,x22py的参数方程为y2pty2pt为参数） . 重难点突破重点 :把握抛物线的定义和标准方程,会运用定义和会求抛物线的标准方程,能名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载通过方程争论抛物线的几何性质 难点 : 与焦点有关的运算与论证 重难点 :环绕焦半径、焦点弦,运用数形结合和代数方法争论抛物线的性质 1.要有用定义的意识 问题 1：抛物线

3、y=4 x 上的一点 M到焦点的距离为 1,就点 M的纵坐标是 2 A. 17 B. 15 C. 7 D. 0 16 16 8点拨：抛物线的标准方程为 x 2 1 y,准线方程为 y 1 , 由定义知,点 M到准 4 16线的距离为 1,所以点 M的纵坐标是 15 16 2.求标准方程要留意焦点位置和开口方向问题 2：顶点在原点、焦点在坐标轴上且经过点（3,2）的抛物线的条数有点拨：抛物线的类型一共有4 种,经过第一象限的抛物线有2 种,故满意条件的抛物线有 2 条3.争论几何性质,要具备数形结合思想, “ 两条腿走路”问题 3：证明：以抛物线焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切点拨：设 AB

4、为抛物线的焦点弦, F 为抛物线的焦点,点 A 、B 分别是点 A、B 在准线上的射影,弦 AB 的中点为 M,就 AB AF BF AA BB ,点 M 到准线的距离为 1 AA BB 1 AB,以抛物线焦点弦为直径的圆总与抛物线的准线2 2相切3、典型例题讲解：考点 1 抛物线的定义题型 利用定义 , 实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换例 1 已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上,那么点 P到点 Q（2, 1）的距离与点 P 到抛物线焦点距离之和的最小值为名师归纳总结 解题思路： 将点 P到焦点的距离转化为点P 到准线的距离第 2 页,共 16 页- - - - -

5、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载解析过点 P 作准线的垂线 l 交准线于点 R,由抛物线的定义知,PQPFPQPR,当 P 点为抛物线与垂线 l 的交点时,PQPR取得最小值,最小值为点 Q到准线的距离,因准线方程为 x=-1,故最小值为 3 总结：敏捷利用抛物线的定义, 就是实现抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离之间的转换,一般来说 练习：, 用定义问题都与焦半径问题相关21. 已知抛物线 y 2 px p 0 的焦点为 F ,点 P x 1,y 1 ,P x 2 y, 3 P x 3,y 3 在抛物线上,且 | P 1F |、| P 2F |

6、、| P 3F | 成等差数列,就有（）Ax 1 x 2 x 3 By 1 y 2 y 3Cx 1 x 3 2x 2 D. y 1 y 3 2y 2解析 C 由抛物线定义,2 x 2 p x 1 p x 3 p, 即：x 1 x 3 2x 22 2 22. 已知点 A ,3 4 , F 是抛物线 y 2 8 x 的焦点 ,M 是抛物线上的动点 ,当 MA MF最小时 , M 点坐标是|C. 2,|4MAD. 最A. 0,0B. 3 ,263 ,26解析 设 M 到准线的距离为 MK ,就MA|MFMK,当MAMK小时, M 点坐标是2 ,4 ,选 C考点 2 抛物线的标准方程题型 : 求抛物线

7、的标准方程例 2 求满意以下条件的抛物线的标准方程,并求对应抛物线的准线方程：名师归纳总结 1 过点 -3,2 2焦点在直线x2y40上. 第 3 页,共 16 页解题思路： 以方程的观点看待问题,并留意开口方向的争论- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析 1优秀教案y2欢迎下载x22py p0, 设所求的抛物线的方程为2px 或 2过点 -3,2 42p3 或92p2p2或p934抛物线方程为y24x 或x29y , 32前者的准线方程是x1, 3后者的准线方程为y98令x0得y2,令y0得x4,抛物线的焦点为 4,0 或0,-2,当焦点为 4,0

8、时 ,p4, 2p8,此时抛物线方程y216x ; 焦点为 0,-2时p22p4,此时抛物线方程x28y . 所求抛物线方程为y216x 或2 x8y , 对应的准线方程分别是x4,y2. 总结： 对开口方向要特殊当心,考虑问题要全面练习：3. 如抛物线y22px 的焦点与双曲线x2y21的右焦点重合 , 就 p 的值3 解析 p 231p44. 对于顶点在原点的抛物线,给出以下条件：焦点在 y 轴上；焦点在 x 轴上；抛物线上横坐标为 1 的点到焦点的距离等于 6；抛物线的通径的长为 5；由原点向过焦点的某条直线作垂线,垂足坐标为（2,1）. 能使这抛物线方程为 y 2=10x 的条件是 _

9、.（要求填写合适条件的序号）名师归纳总结 解析 用排除法,由抛物线方程y 2=10x 可排除,从而满意条件. 第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载5. 如抛物线的顶点在原点,开口向上,F 为焦点, M为准线与 Y 轴的交点, A 为抛物线上一点 , 且|AM|17|,AF|3,求此抛物线的方程2, 解析 设点A 是点 A在准线上的射影,就| AA|3,由勾股定理知| MA|2点 A 的横坐标为22,3p ,代入方程 2x22py得p2或 4,抛物线的方程x24y或x28y考点 3 抛物线的几何性质题型：有关焦半径

10、和焦点弦的运算与论证例 3 设 A、B 为抛物线y22px上的点 ,且AOB90O 为原点 ,就直线 AB必过的定点坐标为 _. 解题思路： 由特殊入手,先探求定点位置解析设直线 OA 方程为ykx,由y2kxpx解出 A 点坐标为2p,2p2pk2,y22kkkxy1x解出 B 点坐标为2pk2,2pk,直线 AB 方程为y2pkk1k2y22px令y0得x2p,直线 AB 必过的定点 p,0总结：（1）由于是填空题,可取两特殊直线由 A 点坐标用1 换 k 而得；k练习：AB, 求交点即可；（2）B 点坐标可6. 如直线axy10经过抛物线y24x 的焦点,就实数 a 解析 -1 7. 过

11、抛物线焦点 F 的直线与抛物线交于两点影为A 1, B 1,就A 1FB1 A、B,如 A、B 在抛物线准线上的射A. 45B. 60C. 90D. 120 解析 C 基础巩固训练：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1.过抛物线y24x优秀教案欢迎下载A、B两点,它们的横坐标的焦点作一条直线与抛物线相交于之和等于a22a4aR ,就这样的直线（）条或 2 条 D.不存在有且仅有两条 C.1A.有且仅有一条 B. 解析 C |AB|xAx Bpa22 a5a1244,而通径的长为42.在平面直角坐标系xOy中,如抛物

12、线x24y 上的点 P 到该抛物线焦点的距离为5,就点 P 的纵坐标为（）C. 5 D. 6 A. 3 B. 4 解析 B 利用抛物线的定义,点P 到准线y1的距离为 5,故点 P 的纵坐标为 4名师归纳总结 3.两个正数 a、b 的等差中项是9 2,一个等比中项是2 5 ,且ab,就抛物线第 6 页,共 16 页y2ba x 的焦点坐标为 A0,1B0,1C1,0D1,04424 解析 D. a5 ,b4,ba14. 假如1P ,2 P , ,8P 是抛物线y24x上的点,它们的横坐标依次为1x ,2x , ,8x ,F 是抛物线的焦点, 如x 1,x 2,x nnN成等差数列且x 1x2x

13、 945,就|P 5F|=（）A5 B6 C 7 D9 解析 B 依据抛物线的定义, 可知PFx ipx i1（i1,2, ,n）,2x 1,x2,xnnN成等差数列且x 1x2x945,5x5,|P 5F|=6 5、抛物线y24x 的焦点为F,准线为 l,l 与 x 轴相交于点 E,过 F 且倾斜角等于60 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A,AB l,垂足为 B,就四边形 ABEF 的面积等于（）A33B43C63D83 解析 C. 过 A 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 H,设Am ,n ,就AFABm,1FHOHOFm1,m12m1 m,3n23- - - - - - -精选学

14、习资料 - - - - - - - - - 四边形 ABEF 的面积 =123优秀教案3欢迎下载1 26326、设 O是坐标原点, F 是抛物线 y 24 x 的焦点, A 是抛物线上的一点, FA 与 x轴正向的夹角为 60 ,就 OA 为 解析 21 . 过 A 作 AD x 轴于 D,令 FD m ,就 FA 2 m 即 2 m 2 m,解得 m 2A ,3 2 3 OA 3 2 2 3 2 21综合提高训练7.在抛物线y4x 上求一点,使该点到直线y4x5的距离为最短,求该点的坐标 解析 解法 1：设抛物线上的点 P x , 4 x 2 ,点 P 到直线的距离 d | 4 x 24 x

15、 5 | | 4 x 12 24 | 4 17,17 17 17当且仅当 x 1 时取等号,故所求的点为（1,）2 2解法 2：当平行于直线 y 4 x 5 且与抛物线相切的直线与抛物线的公共点为所求,设该直线方程为 y 4 x b,代入抛物线方程得 4 x 2 4 x b 0,由 16 16 b 0 得 b ,1 x 1,故所求的点为（1,）2 228. 已知抛物线 C : y ax（ a 为非零常数）的焦点为 F ,点 P 为抛物线 c 上一个动点,过点 P 且与抛物线 c 相切的直线记为 l （1）求 F 的坐标；（2）当点 P 在何处时,点 F 到直线 l 的距离最小？名师归纳总结 解

16、：（1）抛物线方程为x21y）的切线的斜率k2ax0第 7 页,共 16 页a故焦点 F 的坐标为0 ,14a（2）设P x 0,y0就y02 ax 0y2ax,在P点处抛物线（二次函数- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 直线 l 的方程是y2 ax 0优秀教案x 0欢迎下载2 ax 0x2即 2 ax 0 xy ax 0 00 1 ax 0 2d 2 ax 40 a 2 1 2 4 1a 4 a 2 x 0 214 1a .当且仅当 x 0 0 时上式取“ ”此时 P 的坐标是 0 , 0 当 P 在 0,0 处时,焦点 F 到切线 L 的距离最小 .

17、29. 设抛物线 y 2 px （p 0）的焦点为 F,经过点 F 的直线交抛物线于 A、B两点点 C 在抛物线的准线上,且 BC X 轴证明直线 AC 经过原点 O证明 :由于抛物线 y 22 px（p 0）的焦点为 F p,0,所以经过点 F 的直线 AB2的方程可设为x my p,代人抛物线方程得22 2y 2 pmy p 0如记 A x 1 , y 1,B x 2 , y 2,就 y 1, y 2 是该方程的两个根,所以2y y 2 p 由于 BC X 轴,且点 C 在准线 x p 上,所以点 C 的坐标为 p, y 2,2 2故直线 CO 的斜率为 k y 2 2 p y 1 .p

18、y 1 x 12即 k 也是直线 OA的斜率,所以直线 AC经过原点 O2 210.椭圆 x2 y2 1 上有一点 M（-4,9 ）在抛物线 y 2 2 px（p0）的准线 l 上,a b 5抛物线的焦点也是椭圆焦点 . （1）求椭圆方程；（2）如点 N 在抛物线上,过 N 作准线 l 的垂线,垂足为 Q 距离,求 |MN|+|NQ|的最小值 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：（1）x2y21优秀教案欢迎下载2px（p0）的准线 l 上,抛物线上的点 M 在抛物线y2a2b2的焦点也是椭圆焦点 . c=-4

19、,p=8 M（-4,9 ）在椭圆上 5168121 a225ba2b2c2 由解得： a=5、b=3 椭圆为x2y2116x259由 p=8 得抛物线为y2设椭圆焦点为 F（4,0）,由椭圆定义得 |NQ|=|NF| |MN|+|NQ|MN|+|NF|=|MF| =44290 241,即为所求的最小值 . 55参考例题：1、已知抛物线 C 的一个焦点为 F（ 2 1 ,0）,对应于这个焦点的准线方程为x=- 2 1 . （1）写出抛物线 C 的方程；（2）过 F 点的直线与曲线 C 交于 A、B 两点, O 点为坐标原点,求AOB 重心 G 的轨迹方程；（3）点 P 是抛物线 C 上的动点,过

20、点 P 作圆（ x-3）2+y 2=2 的切线,切点分别是 M,N.当 P 点在何处时, |MN|的值最小？求出 |MN|的最小值 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载解：（1）抛物线方程为： y 2=2x. （4 分）（2）当直线不垂直于 x 轴时,设方程为 y=kx-1 ,代入 y 2=2x,2得：k 2x 2-k 2+2x+ k 20 . 4设 A（x1,y1）,Bx2,y2,就 x1+x2= kk 2 2,y1+y2=kx1+x2-1= k 2 . 2x 0 x 13 x 2 k3 2k

21、 2 2设 AOB 的重心为 G（x,y）就 0 y 1 y 2 2,y3 3 k消去 k 得 y 2= 2 x3 9 2 为所求,（6 分）当直线垂直于 x 轴时, A（1 ,1）,B（21 ,-1）,2（8 分） AOB 的重心 G（1 ,0）也满意上述方程 . 3综合得,所求的轨迹方程为y 2=2 x 32,9（9 分）（3）设已知圆的圆心为Q（3,0）,半径 r=r2 ,21|2|2. 依据圆的性质有： |MN|=2|MP|MQ|2 r|PQ|2|222|PQ|PQPQ（11分）当|PQ| 2 最小时, |MN|取最小值,设 P 点坐标为 x0,y0,就 y 0 =2x0. |PQ|

22、2=（x0-3）2+ y 0 = x 0 -4x0+9=x0-2 2+5,当 x0=2,y0= 2 时, |PQ| 2 取最小值 5,故当 P 点坐标为（ 2, 2）时, |MN|取最小值230. 5抛物线专题练习一、挑选题（本大题共10 小题,每道题 5 分,共 50 分）名师归纳总结 1假如抛物线 y 2=ax 的准线是直线 x=-1,那么它的焦点坐标为（ A ）第 10 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载A（1, 0） B（2, 0） C（3, 0） D（1, 0）2圆心在抛物线 y2=2x 上,且与 x 轴和该

23、抛物线的准线都相切的一个圆的方程A 是（D ）Ax 2+ y 2-x-2 y -1 =0 4Bx 2+ y 2+x-2 y +1=0Cx 2+ y 2-x-2 y +1=0 Dx 2+ y 2-x-2 y +1 =0 43抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的点的坐标是（）A（1,1）B（1,1）C3,9D（2,4）24244一抛物线形拱桥,当水面离桥顶 面宽为（B ）2m 时,水面宽 4m,如水面下降 1m,就水A6 m B 26 m C4.5m D9m （C 5平面内过点 A（-2,0）,且与直线 x=2 相切的动圆圆心的轨迹方程是）A y 2=2xB y 2=4xCy 2=8xD

24、y 2=16x6抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上点（ -5,m）到焦点距离是 6,就抛物线的方程是（ B ）A y 2=-2x B y 2=-4xC y 2=2x D y 2=-4x 或 y 2=-36x 7过抛物线 y 2=4x 的焦点作直线,交抛物线于Ax1, y 1 ,Bx2, y 2两点,假如x1+ x2=6,那么 |AB|= （ A ）A8 B10 C6 D4 8把与抛物线 y 2=4x 关于原点对称的曲线按向量 a 2 , 3 平移,所得的曲线的方程是（ C ）2 2A y 3 4 x 2 B y 3 4 x 2 2 2C y 3 4 x 2 D y 3 4 x 2 9

25、过点 M（2,4）作与抛物线 y 2=8x 只有一个公共点的直线 l 有（C ）名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载A0 条B1 条 C2 条D3 条10过抛物线 y =ax2a0的焦点 F 作始终线交抛物线于P、Q 两点,如线段 PF C ）与 FQ 的长分别是 p、q,就11等于（pqA2aB1C4aD42aa二、填空题（本大题共 4 小题,每道题 6 分,共 24 分）11抛物线 y 2=4x 的弦 AB 垂直于 x 轴,如 AB 的长为 4离为2 3 ,就焦点到 AB 的距12抛物线y =

26、2x 2 的一组斜率为k 的平行弦的中点的轨迹方程是xk413P 是抛物线 y 2=4x 上一动点,以 P 为圆心,作与抛物线准线相切的圆,就这个 圆 一 定 经 过 一 个 定 点 Q , 点 Q 的 坐 标 是（ 1 , 0 ）2 214抛物线的焦点为椭圆 x y1 的左焦点, 顶点在椭圆中心, 就抛物线方程9 4为 y24 5 x三、解答题（本大题共 6 小题,共 76 分）15已知动圆 M 与直线 y =2 相切,且与定圆 C：x2y321外切,求动圆圆心 M 的轨迹方程 12 分 解析：设动圆圆心为 M （x,y）,半径为 r,就由题意可得 M 到 C（0,-3）的距离与到直线 y=

27、3 的距离相等, 由抛物线的定义可知： 动圆圆心的轨迹是以名师归纳总结 C（0,-3）为焦点,以 y=3 为准线的一条抛物线,其方程为x212y第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案欢迎下载M（ 3,m）到16已知抛物线的顶点在原点,对称轴是x 轴,抛物线上的点焦点的距离等于 5,求抛物线的方程和m 的值（12 分）解析：设抛物线方程为x22py p0,就焦点 F（p0,）,由题意可得2m226pp25,解之得m26或m426,m3p4p2故所求的抛物线方程为x28y,m 的值为2617动直线 y =a,与抛物线y21x相

28、交于 A 点,动点 B 的坐标是,03 a ,求线2段 AB 中点 M 的轨迹的方程 12 分 解析：设 M 的坐标为（ x,y）,A（2a , a）,又 B03,a 得xa2Axy2 a消去 a,得轨迹方程为xy2,即y24xAy O4B名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载18河上有抛物线型拱桥,当水面距拱桥顶5 米时,水面宽为 8 米,一小船宽 4米,高 2 米,载货后船露出水面上的部分高 0.75 米,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多少米时,小船开头不能通航？12 分 解析：如图建立直角坐标系

29、,设桥拱抛物线方程为 x 2 2 py p 0 ,由题意可知,2B（4,-5）在抛物线上,所以 p 1 . 6,得 x 3 . 2 y,当船面两侧和抛物线接触时,船不能通航,设此时船面宽为 AA ,就 A（2 , y A）,由 2 23 . 2 y A 得 y A 5,又知船面露出水面上部分高为 0754米,所以 h y A 0 . 75 =2 米19如图,直线 l1 和 l 2相交于点 M,l 1l 2,点 Nl 1以 A、B 为端点的曲线段C 上的任一点到 l 2的距离与到点 N 的距离相等如AMN 为锐角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6建立适当的坐标系, 求曲线段 C 的

30、方程14分 解析：如图建立坐标系,以l1 为 x 轴,MN 的垂直平分线为 y 轴,点 O 为坐标原点由题意可知：曲线 C 是以点 N 为焦点,以 l2 为准线的抛物线的一段,其中 A、B 分别为 C 的端点名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设曲线段 C 的方程为y22优秀教案0,欢迎下载xB,y0,pxpxAx其中 x , Ax B 分别为 A、B 的横坐标,p MN所以,M p0, , N p, 0 由 AM 17,AN 3 得2 2 x A p 22 px A 17 2 x A p 22 px A 9 2联

31、立解得 x A 4 将其代入式并由 p0 解得 p 4,或 p 2p x A 1 x A 2由于 AMN 为锐角三角形, 所以 px A,故舍去 p 2p=4,x A 12 x A 2由点 B 在曲线段 C 上,得 xB BN p4综上得曲线段 C 的方程为2y 28 x 1 x ,4 y 0 220已知抛物线 y 2 px p 0 过动点 M（ a,0）且斜率为 1 的直线 l 与该抛物线交于不同的两点A、B,|AB|2p（）求 a 的取值范畴；名师归纳总结 （）如线段 AB 的垂直平分线交 x 轴于点 N,求RtNAB面积的最大值 14第 15 页,共 16 页- - - - - - -精

32、选学习资料 - - - - - - - - - 优秀教案 欢迎下载分 2解析 ：（）直线 l 的方程为 y x a,将 y x a 代入 y 2 px,得 x 22 a p x a 20设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为A x 1y 1 、B x 2y 2 ,2 24 a p 4 a ,0就 x 1 x 2 2 a p , 又 y 1 x 1 a , y 2 x 2 a,2x 1 x 2 a .| AB | x 1 x 2 2 y 1 y 2 22 x 1 x 2 24 x 1 x 2 8 p p 2 a 0 | AB | 2 p , 8 p p 2 a 0,0 8 p p 2 a 2 p解 得pa p2 4（）设 AB 的垂直平分线交 AB 于点 Q,令坐标为 x 3y 3 ,就由中点坐标公式,得名师归纳总结 x 3x 12x 2ap,2p0y3y1y2x 1a2x2app第 16 页,共 16 页2又2|QM|2apa2p2MNQ 为等腰直角三角形,|QN|QM|2p,S NAB1|AB|QN|2p|AB|2p 22222 p2NAB面积最大值为2 p2即- - - - - - -