2022年用构造凸函数的方法证明中学常见的不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 本科毕业论文用分析方法证明中学几种常见不等式同学姓名：马娇指导老师：段永江所在学院：数学与统计学院所学专业：数学与应用数学- 0 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 摘 要不等式的学习不仅贯穿了整个中学教案,同时也是中学数学竞赛的主要考点,本文对中学中常见的不等式赐予了中学证明方法和高校的证明方法,通过比较 发觉高校方法的优越性和广泛性,并且指出了中学常见不等式只是高校很多不等式的一种特别的形式 予了理论证明 . . 另外本文也对中学常见的线性规划问题的

2、某些结论给关键词：常见不等式,凸函数, Holder 不等式, Cauchy 不等式, Minkoski 不等式,朗格朗日乘子法,线性规划 .- 1 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 英文摘要目录第一章用构造凸函数的方法证明中学常见的不等式 1 证明中学几种常见函数的凸性1.1 凸函数的定义：设 f x 为区间 E 上的实值函数,对于 x x 1 2 I , 0 1：如有 f x 1 1 x 2 f x 1 1 f x 2 成立,就称 f x 为下凸函数 . 如有 f x 1 1 x 2 f x 1

3、1 f x 2 成立,就称 f x 为上凸函数 . 凸 函 数 的 等 价 定 义 ： 设 f x 为 区 间 E 上 的 实 值 函 数 , 对 于- 1 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - x x 1 2,x nI,0k1且n1k1就如f x 为下凸函数有knnnf xk21n2kx knk1x kfkxkkf xkk1k1如f x 为上凸函数有fnkxkkk1k1证明：由于f x 为下凸函数,所以有fn1kx kf1x 111kn2kx k1f x 11fk2k11111f x 11112f1f

4、x 11f1 1x 2k311nkx 21111xkk311211f x 12f x 21nkx k12 k131f x 12f x 212nf x n利用归纳法可得. 1.2 中学所学基本初等函数的证明中学时我们学习过常数函数,幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数六种初等函数,下面我们将以期中两种为例来证明他们的凸性1. f x 2例 1：f x C 常数）C证明：x x 2R ;01,x 11x 2C1f x 1又f x 11f x 2Cfx 11x 2所以f x C 既是上凸函数又是下凸函数. - 2 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21

5、 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2：f x x证明：x x 2 0,不妨设 x 1 x ,取 x 0 x 1 1 x 0 1）有泰勒公式得f x 1 f x 0 f x 0 x 1 x 0 f 1 x 1 x 0 2 1 x x 1 0 ）2f x 2 f x 0 f x 0 x 2 x 0 f 2 x 2 x 0 2 2 x 0 , x 2 ）2带入 f x x 得1 1 2 2x 1 x 0 x 0 x 1 x 0 1 x 1 x 0 1 x x 1 ）2x 2 x 0 x 0 1 x 2 x 0 12 2 x 2 x 0 2 2 x 0 , x 2 ）2当 0

6、1时有 1 0 ,所以 x 1 x 0 x 0 1 x 1 x 0 1）21 x 2 x 0 x 0 x 2 x 0 2）将 1 2 1 得1x 1 1 x 2 x 0 x 0 x 1 1 x 2 x 0 x 0将 x 0 x 1 1 x 代入上式得到 x 1 1 x 2 x 1 1 x 2 所以 f x x 为上凸函数 . 当 1时有 1 0,所以 x 1 x 0 x 0 1 x 1 x 0 3）21 x 2 x 0 x 0 x 2 x 0 4）将 3 4 1 得1x 1 1 x 2 x 0 x 0 x 1 1 x 2 x 0 x 0将 x 0 x 1 1 x 带入上式得到 2 x 1 1

7、x 2 x 1 1 x 2 所以 f x x 为下凸函数 . - 3 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 明显当1时f x x 既是上凸函数又是下凸函数. 综上可得：当 0 1时 f x x 为上凸函数当 1时 f x x 既是上凸函数又是下凸函数当 1时 f x x 为下凸函数 . 同样的方法可得：f x a x a 0, a 1 为下凸函数 . f x log a x a 0, a 1 当 a 1 时 f log a x 为上凸函数当 0 a 1 时 f x log a x 为上凸函数 . f x

8、sin x 当 x 2 k ,2 k 1 时 f x sin x 为上凸函数当 x 2 k 1 ,2 k 2 时 f x sin x 为下凸函数 . f x cos x 当 x 2 k , 2 k 时 f x cos x 为上凸函数2 2当 x 2 k , 2 k 时 f x cos x为下凸函数 . 2f x tan x 当 x k , k 时 f x tan x 为上凸函数2当 x k , k 时 f x tan x 为下凸函数 . 2f x arcsin x 当 x 1,0 时 f x arcsin x 为上凸函数当 x 0,1 时 f x arcsin x 为下凸函数 . f x ar

9、ccos x 当 x 1,0 时 f x arccos x 为上凸函数当 x 0,1 时 f x arccos x 为下凸函数 . f x arctan x 当 x ,0 时 f x arctan x 为下凸函数当 x 0, 时 f x arctan x 为上凸函数 . 通过上述的证明我们不难发觉对于一个可导函数当函数的二阶导数大于 0 时函数是下凸函数,当函数的二阶导数小于 0 时函数是上凸函数,当二阶导数等于 0 时函数既是上凸函数- 4 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又是下凸函数,使用上面泰

10、勒公式绽开的方法即可得到,不同的数学分析书中也给出了多 种证明方法,这里不在证明；但是通过上面的结论我们可以得到函数与其对应的反函数的 凹凸关系,下面给出证明：定理：已知f x 为上凸函数,f1 x 为f x 的反函数,如f x 为增函数就f1 x 为下凸函数,如f x 为减函数就f1 x为上凸函数 . xy2x yy xx y3证明：设yf1 x 就xf y ,于是有yx1,y xx yxy当f x 为增函数时xy0 又f x 为上凸函数所以xy0 所以有xy0 即f1 x为下凸函数；同理可得,当f x 为减函数时f1 x为上凸函数 . 2 通过构造凸函数证明不等式2.1高 中 时 我 们

11、学 习 过 柯 西 不 等 式 并 且 对 于 二 维 形 式 的 柯 西 不 等 式 a22 b2 cd2acbd2讨论了其几何背景即平面上坐标为 , , , c d 的两个向量的数量积与它们模长之间的关系： , , , , ,依据柯西不等式的几何意义对于空间中两个向量作数量积可得a 1,a 2,a 3b b , 2b , 3a 1a 2,a 即 3 , b 1b 2, b 3,a b 1 1a b 2 2a b 3 322 a 1a 22a 32 b 12b 222 b 3当空间的维数连续增加时我们同样的可以得到相应维数下的柯西不等式,于是得到一般形式2a i的2柯西不等式ab 1 1a

12、b 2a b n2 a 1a 2a n2b 12b 22b n2由数量积的定义可得当两个向量共线时即mb i1,2,n 时取等号；对于一般形式在很多书中都有证明其中最常见的是构造二次函数的方法 归 纳法来证明 . .这里我们使用高中数学中学习过的数学证明：当n2时明显成立；假设当nk 时不等式成立,就nk1时2a 22+b k b 12b 22b k2b k122 a 1a 22a k2a k12b k2=2 a 1a 22a k2b 12b 22b k2+a k122 b 1b 22+kb12a 12a 22a k2+a k12b k21a k2b 22a b 1 1a b 2a b k2+

13、a k2b k2+a k12 2b 1b k12a 12+1111- 5 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - +a k12 b k2b k2a k21a b 1 1a b 2a b k2+a k2b k2+2a b a k1 b k1+2 a b a k1 b k1+ +2 a b a k1 b k1有11=a b 1 1a b 2 2a k1 b k12nN综上可得a b 1 1a b 2a b n22 a 1a 22a n2b 12b 22b n2成立 . ；在 实 变 函 数 中 我 们 学 习

14、过 h o l d e 不 等 式 ：1 p11, 1pqf x LpEg x L qE 就有fg1fpgq其中fpEfpdx1p下面我们通过构造凸函数的方法来证明holder 不等式的积分形式令f x c c0,c1）由于指数函数是下凸函数所以有Efc1x 11x 2c1cx 1q1cx 2pqpq由于f x x c 的取值范畴为0, 所以x x 使得cx 1fpp,x 2gq代入上式fg可得fgq1fpp1gq两侧同时积分可得p1q1 即f g dx1fpgpfpqgqpgqpqqfg dxfpgq综上可得fg1fpgqE利用抽象测度空间上积分我们得到离散形式的 holder 不等式：a

15、b 1 a p b q 其中 a a a 1 2 ,a n,a p a k p 1p 当 a a 1 2 ,a n 的k 1坐标有有限个不为 0 时我们得到高中数学竞赛常用的一种 holder 不等式的形式：已知 a k 0, b k 0,1 11, 1 p 就 na k b k na k p 1p nb k q 1qp q k 1 k 1 k 1类比于积分形式的证明过程我们来证明上式 . x证 明 ： 令 f x c c 0, c 1） 由 于 指 数 函 数 为 下 凸 函 数 , 所 以 有1 1c p x 1 q x 2 1 c x 1 1 c x 2p q- 6 - / 21 名师归

16、纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 令cx 1na kppcx 2nb kqq代入上式可得：a kb kn1a kk1pkn1b kk11kna kpp1knb kqqk1,2,n将 k 得不同取值所得akp1b kq1 qp1a kq1b kkn不等式相加得到nk1a kb k11即p1pnb kq1qpqakna kb kna kp1pnb kq1k1k1qk1k1k112cx 1na k22cx 2nb k22时我们可以得到在这个证明过程中我们可以看出当令a kb kk1k1na kb knak212nb k2即为高

17、中我们所学的cauchy 不等式 . k1k1k1从以上的证明过程中我们不难发觉我们中学所学不等式只是高校所学不等式的一种极为特别的情形,所以利用证明 holder 不等式的方法肯定可以证明出 cauchy 不等式,但是对于高中所学 cauchy 不等式的证明方法却很难来证明 holder 不等式,这里我们看出大学学问对于解决高中问题的优越性 . 下面作为构造凸函数来证明不等式的练习,得到 holder 不等式的一种推广形式 : 1n由下凸函数的定义可得 c k 1k x k nk c x k k 0, nk 1 令 c x km a klk1 代入上式k 1 k 1a klkl 11可得n1

18、naklkknla klk将ln11,2,m所得的全部不等式相加得到：km1km1k1aklka klklmk1l111 即l1km1a klmnkka kla kl1m1k1l1.a klkl1- 7 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.2 平均不等式的证明已知ix0i1,2,n 就x 1x 2nx nnx 1x 2x n2当 n =2 时有x 12x 2x 1x 2这是我们中学中最常使用的均值不等式,下面我们将使用中学中所学的数学归纳法赐予证明. 证明：明显n2时结论成立,假设nk 时结论成立,

19、下证n2 k kN,k结论成立；令A kx 1x 2x k就A 2kx 1x 2x 2kk2 k1 2x 1x 2x kx k1x k2x 2 kk1 2kx 1x 2x kkx k1x k2x 2k2kx 1x 2x 2k即有当 nk 成立时n2 k 成立,下证当n2 k 成立时有n2 k1成立A 2k12k1A 2k1A 2k1x 1x 2x 2k1A 2k12kx 1x 2x 2k1A 2k12k2 k即有A 2k2kx 1x 2x 2k1A 2K1即A 2k2k1x 1x 2x 2k1于是得到11A 2k12k1x 1x 2x 2k1即x 1x 2x 2k12k1x 1x 2x 2k1

20、2 k1综上可得nN有x 1x 2x nnx x 1 2x n成立 . n下面用构造凸函数的方法来证明：n令f x 0,x c c0,c1）由于f x x c 是下凸函数所以有ck1kaknkca k其中knk1,由于ix0i1,2,n所以ia 使得ixk1c 代入上式可得 ianx iik1ix令12n1就得到x 1x 2x nnx 1x 2x nni1i1nn- 8 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 观看证明过程我们发觉通过构造法我们不仅得到了平均值不等式同时仍得到了更一般的结果in1x iii

21、nix而平均值不等式只是其中一种极为特别的情形,证明思想1也很简洁而且运算量较数学归纳法小的多,这也再一次让我们学问到了高等数学的优越性 . 其次章三角不等式与 Minkoski不等式第一我们介绍距离与范数的概念,实际上距离和范数都是满意肯定条件的实值函数,我们介绍完这两个概念后再回忆初高中我们对距离的懂得和定义 . 1 距离与范数的概念2.11 设 E 是一个非空集合,在 E 上定一个实值函数 , x y 满意条件：x y z E 有1） , = , y x 2） , 0, , 0 x y3） , , y z + , z x 就 叫做 E 上的一个距离 . 2.12 设 E 是一个线性空间,

22、在 E 上定义一个实值函数记为 且满就条件：,x y E ,K 有1）y 0, y 0 y 2） x y x y 3）y y中学时我们通过数轴给出两点间距离的概念 d x 1 x 2 后来我们学习了直角坐标系,运用直角坐标系给出了平面两点 A x y 1 , B x 2 , y 2 之间的距离2 2AB x 1 x 2 y 1 y 2 ,通过空间直角坐标系给出空间中点A x 1 , y z 1 , B x 2 , y 2 , z 2 的距离2 2 2 nA B x 1 x 2 y 1 y 2 z 1 z 2 ,依此类推我们可以定义 R 上的距离,中学时我们通过直观感应给出定义,然后类比于平面和

23、空间的距离给出n R ,但是当时却无法用数学语言描述什么是距离.我们可以验证以上对距离的定义满意,2.11 的要求 .以平面两点距离的定义为例给出证明：设xx y 1,yx 2,y 2,zx 3y 3明显有 1）, 2）成立, , x 1x 32y 1y32, , x 1x22y 1y22,- 9 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - , x 3x22y3y22当 x y z 三点在同一条直线上时明显 , , , z x 成立 . 当 x y z 不在同一条直线上时就构成三角形,在三角形中我们有两边长度

24、之和大于第三边的长度即 xy xz yz 即 , , , 所以我们通常也称 , , , z x 为三角不等式 . 在高中课本不等式选修部分作为cauchy 不等式的应用给出了二维形式的三角不等式的证明：令x 1x 3a 1,y 1y 3b x 1 2x 3a 2,y 2y 3b 就 22 , z x 只需证y 1y 2b 1b 2,x 1x 2a 1a 就要证明 , , a 1a22b 1b 222 a 1b 12a22b 22b 12a22b 22由于2 a 1b 12a22b 2222 a 12 b 1a22b 2222 a 1由 cauchy 不等式2a 122 b 1a 22b 222

25、a a 2b b 2所以有a 12b 12a22b 222a 122 b 1a 22b 222 a a 2bba 122 b 1a 22b 222 a a 1 2bb 12a 1a 22 b 1b 22即2 a 12 b 1a 22b 22a 1a22b 1b 22. 2 距离与范数的关系从距离与范数的定义我们可以看出,范数可以作为线性空间的一种距离,我们只需令 , x y 就有 , x y 0, , x y 0 x y而 , x y y x y x , , y x y z z x , , 于是我们得到范数是一种特别的距离而我们在高中所学得空间 R 为欧式空间,在 nR 空间 n中我们定义的距

26、离满意平移不变性以及数乘的连续性所以也是一种范数 . 3 Minkoski 不等式的证明从第一节的证明中我们可以看出对于高中所学的三角不等式只是距离不等式的一种特别情形,范数是一种特别的距离也满意三角不等式即xyxy ,在2 R 中二维三角不- 10 - / 21 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 等式可看成三角不等式的一种特别形式.在二维三角不等式的证明过程中用到了cauchy 不等式, cauchy 是 Holder 不等式的一种特别情形,那么下面我们给出Minkoski 不等式的.证明,我们会发觉三角不等式

27、的证明实际上是Minkoski 不等式证明中将,p q 赐予详细值 . 3.1 Minkoski 不等式： 设f x LpE, Lp 就fgpfpgp0p1证明：由于p L 是线性空间,所以f x g x p L 又fgpdxfgp1fg dxfgp1f dxfgp1g dxEEEE由 Holder 不等式的积分形式可得:fgp1f dxfgp1p1dx p1fpdx 1fpgpdx 11fpdx 1pppppEEEE1 dx 1gpE1所以有fgpdxfgp1 dx 1fpdx 1fgdx ppppEEEEEfgpdx 11gpdx 1fp1ppp dx pgp.EEE即Efgpdx1Egp

28、dx 1Efpdx 1即fgpfppp3.2 利用抽象测度空间我们得到离散形式的Minkoski 不等式 ：111a kb kppa kppb kppk1k1k1同样的我们也可以应用离散形式的Holder 不等式来证明上式：akb kpa kb kp1a kbkakpb kp1ak1ka kbp1b kp1pk1k1k1k11pa kb kpb k1p1a kp由 Holder 不等式有1a ka kpppk1k1k11p1p1所以有a kb kpa kb kppa kpk1a kb kpp1b kpk1k1k1ka kb kpp1a kp1b kp1ppp k1k1k1- 11 - / 21

29、 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即a kb kp1a kp1b kp1pppk1a a 2,k1b1k1.0 时得到高中竞赛常用的当 a,a n,b b 2,b n有有限个坐标不为形式：n1n1n1b kppa kppb kppa kk1kk1.在整个证明过程中我们可以看出,无论是Minkoski 的积分形式,仍是离散形式,或者是在2 R 中的三角不等式其证明思路是一样的,我们学习了Minkoski 不等式以后,很简洁看出二维形式的三角不等式是其一种极特别的情形 不会证明是可以仿照其一般形式的证明思想.同时我们可以领悟到当有些详细的不等式 .在高校数学所学的不等式有很多都是对中学不等式在不同测度空间的一种推广,下面举例说明把握证明思