2022年计量经济学课件第三章多元线性回归模型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第三章 多元线性回来模型第一节 多元线性回来模型及基本假定问题： 只有一个说明变量的线性回来模型能否满意分析经济问题的需要？简洁线性回来模型的主要缺陷是：把被说明变量Y 看成是说明变量X 的函数是前提是,在其它条件不变的情形下,并且,全部其它影响 Y 的因素都应与 X 不相关,但这在实际情形中很难满意；怎样在一元线性回来的基础上引入多元变量的回来？看教科书第 72 73 页关于汽车销售量的影响因素的争论；一、多元线性回来模型的意义 1、建立多元线性回来模型的意义,即一元线性回来模型的缺陷,多 个主要影响因素的缺失对模型

2、的不利影响；在一元线性回来模型中,假如总体回来函数的设定是正确的,那么,依据样本数据得到的样本回来模型就应当有较好的拟合成效,这时,可 决系数就应当较大；相反,假如在模型设定时忽视了影响被说明变量的 某些重要因素,拟合成效可能就会较差,此时可决系数会偏低,并且由 于忽视了一些重要变量而对误差项的影响会加大,这时误差项会表现出一些违反假定的情形；2、从一个说明变量到多个说明变量的演化；一个生产函数的例子,一个商品需求函数的例子,（教材第74 页）；二、多元线性回来模型及其矩阵表示 1、一般线性回来模型的数学表达式；设名师归纳总结 Y12X23 Xi3kXk iuii=1 ,2, 3, , n 第

3、 1 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆在模型表达式里,1仍是 截距项 , 它反映的是当全部说明变量取值为零4、时,被说明变量Y 的取值；j（ j=2 , 3, , k）为斜率系数,它的经Y济含义 ：在其它变量不变的情形下,第j 个说明变量每变动一个单位,平均增加（或削减）j个单位,这就是所谓的运用边际分析法对多元变j 个量意义下回来参数的说明；因此,称j为 偏回来系数,它反映了第说明变量对Y 的边际影响程度；2、 总体回来函数, 即E Y Xi12X2i3X3 ikXki3、样本回来函数,即Y . 1.2Xi

4、2.3 Xi3.kXk i4、将 n 个样本观测值代入上述表达式,可得到从形式上看,像似方程组的形式；并在此基础上,转化成矩阵表达的形式,即Y i i 12X2 i i 3X3 i i kXkiui样本观测数据：2X21Y i Yi,X2 ii,1X3 ii.k1Xki1u1i1, 2,nY113X31kXk1Y212X223X32eikkXk2u2Yn1X3X3nkXknu22nnY . i. 1. 3X3iXXki22iYiY . ieii Y . i1X12u uY1X13XY21X22X23X2k223Yn1Xn2Xn3Xnkunk名师归纳总结 又YXB1UX12Y .13XB .Xe

5、YY .YY .e第 2 页,共 20 页.1Y . 1Xe 11k.2Y . 21XXXee222232k.3Y . n1Xn2Xn3Xnk.ken- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆三、模型的基本假定在一元线性回来模型的基础上,可将在其次章中提出的基本假定平行地推到多元回来模型中去,但对多个说明变量之间仍需做出新的假定；名师归纳总结 下面给出多元线性回来模型的基本假定（用矩阵表示）；iu u n,n第 3 页,共 20 页1、 零均值假定；Uu 1,u2,u nEUEu 1,u 2,u nEu 1,Eun 0Eu i0 ;i

6、1 , 2,n2、 同方差和无自相关假定；Var u iE u i2;i1,2,nCov u ujE u uj0;ij i j1,2,nu 12 u 1u u 2E UUEu 2u 1u 2u nEu u 12 u 20u u n2 u nu nu u 1u u 22 Eu 1E u u2E u un20E u u 12 Eu 2E u un0202IE u u 1E u u 22 Eu n0021, 2,3、随机扰动项与说明变量不相关假定；0;CovXi,uiEXiEXuiE uEXEXuEXuEXE uEXu即E X U0uiEuiEX1iuiX1iEui0.XkiuiXkiEuiE ui

7、0;i1, 2,n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆4、无多重共线性假定；说明变量之间要求无多重共线性的意义；即对 于 解 释 变 量X 之 间 , 如 果 不 存 在 不 全 为 零 的 数2,3,k, 使 得2X2X3kXk0成立；rankXk如 果 该 假 定 成 立 ,X 至 少 有 k 阶 子 行 列 式不 为 零 , 表 明 解 释 变 量 之 间 不 存 在 线 性 相 关关 系 ； 此 时 矩 阵 XX也 应 是 满 秩 的 ：rankXXk所 以 , 行 列 式 XX0,即XX-1存 在 ；5、 正态性假定；

8、iu 独立同分布 ,且 iu N0, 2 其次节 多元线性回来模型的估量一、参数的最小二乘估量1、构造残差平方和；设Xji,Y i,j1,2,3, ; k i1,2,3, n 为一组样本观测值,按残差的定义,有eYY .Y i. 1. 2X2i. 2X2i. kXki,i1,2,n进一步得到残差平方和Q2 e iY i. 1,.2 Xi2.X 2i2. kXki22、最小二乘准就；求. 1,. 2,k.,使得函数Q 有最小值；依据极值原理,求上述函数关于参数的偏导数,得Q2 e i,0j,1,2,k.j.j这样得如下正规方程组名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 20 页精选

9、学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆Y i. 1.2X2.2 Xi2.kX k i0Y i. 1.2X2.2 Xi2.kX k iX2i 0Y. 1.2X2.2 Xi2.kX k iXk i 0留意方括号里的表示,即00e ie X2ie Xki0用矩阵表示为 X e0由回来模型的样本估量形式YX B .e X eB.,得对上式两端同时乘以 X ,得 X YX X B .由于 X e0,所以得到如下表示X1存在,从而解出X YXXB .依据无多重共线性假定,这时有XB .X X1X Y即 参 数 估 计 的 矩 阵 表 达 式 ； B.中 各 分 量 就 是

10、 参 数 的 估 计 值 , 即B . . 1 2. k；这样,我们便得到样本回来模型XkY . 1.2 X2.X 22. k3、偏回来系数；对模型Y . 1. 2X2. 2X2. kXk中的参数估量值的说明；名师归纳总结 j. （ j=2 , 3, , k）说明的是X （ j=2 , 3, , k）对. Y 的边际第 5 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆影响；多元线性回来模型的标准化形式；由于显现在模型中各个变量的单位不尽一样,这时会对变量的边际说明带来干扰,因此,需要对变量进行标准化处理；对变量进行标准化

11、变换可得到模型的标准化形式,用标准化形式能够真实地反映每一个说明变量对应变量的直接（边际）影响；标准化变换过程如下令Y i12Xi23X i i 32,X ikXik,uisxjXj,i1,2,nj2,3k.设变量得取值为：Y i,X3,Xikyi*YisyYi,i1, 2n.*x*x*ijXjii1, 2n;u* iuisuui,i1, 2n.u* iy* i*x*i*x*i2233kkii1, 2,n例如, 基于下表的数据,用 其中 Y 表示家庭书刊消费水平,EViews 软件运算得线性回来模型如下,X 表示家庭收入, T 表示户主受训练年限；名师归纳总结 Y X T 第 6 页,共 20

12、 页450 1027.2 8 507.7 1045.2 9 613.9 1225.8 12 563.4 1312.2 9 501.5 1316.4 7 781.5 1442.4 15 541.8 1641 9 611.1 1768.8 10 1222.1 1981.2 18 793.2 1998.6 14 660.8 2196 10 792.7 2105.4 12 580.8 2147.4 8 612.7 2154 10 890.8 2231.4 14 1121 2611.8 18 1094.2 3143.4 16 1253 3624.6 20 - - - - - - -精选学习资料 - -

13、- - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆Dependent Variable: Y Method: Least Squares Sample: 1 18 Included observations: 18 Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. 755.1222 C -50.01638 49.46026 -1.011244 0.3279 X 0.086450 0.029363 2.944186 0.0101 T 52.37031 5.202267 10.06702 0.0000 R-squared 0.951235 Me

14、an dependent var Adjusted R-squared 0.944732 S.D. dependent var 11.35321 258.7206 S.E. of regression 60.82273 Akaike info criterion 11.20482 Sum squared resid 55491.07 Schwarz criterion Log likelihood -97.84334 F-statistic 146.2974 Durbin-Watson stat 2.605783 ProbF-statistic 0.000000 Y .50.01640.086

15、5X52.3703 T2.6057 1.01122.944210.0670R20.9512F146.2974DW.下表为各变量描述统计的一些数字特点：Mean Y X T 755.1222 1942.933 12.16667 Median 637.3500 1989.900 11.00000 Maximum 1253.000 3624.600 20.00000 Minimum 450.0000 1027.200 7.000000 Std. Dev. 258.7206 698.8325 3.944467 Skewness 0.784266 0.768374 0.552971 Kurtosis 2

16、.261701 3.209892 2.075582 Jarque-Bera 2.254034 1.804238 1.558242 Probability 0.323998 0.405709 0.458809 18 18 18 Observations 下表为变量经过标准化后的回来估量结果：Dependent Variable: YY Method: Least Squares Date: 10/21/01 Time: 20:38 Sample: 1 18 Included observations: 18 名师归纳总结 Variable Coefficient Std. Error t-Sta

17、tistic Prob. 第 7 页,共 20 页XX 0.233511 0.079312 2.944186 0.0101 TT 0.798440 0.079312 10.06702 0.0000 R-squared 0.951235 Mean dependent var 8.59E-08 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆Adjusted R-squared 0.944732 S.D. dependent var 1.000000 S.E. of regression Y . *0.235090 *Akaike info c

18、riterion 0.241714 0.093319 Sum squared resid 0.829012 Schwarz criterion Log likelihood 2.160133 F-statistic 146.2974 Durbin-Watson stat 2.605783 ProbF-statistic 0.000000 0.2335 X0.7984 T*可以看出,户主受训练时间的长短对家庭书刊消费水平的直接（边际）影响最大,其次才是家庭的收入,这一实证结论与现实情形一样；例如 ,分析房屋售价PRICE 与住房面积SQFT 、卧房间数 BEDRMS、洗澡间数 BATHS之间得关

19、系；数据由下表给出TABLE Data for Single Family Houses回来估量结果如下：名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆书写格式为：pric .= 60.817 + 0.0866SQFT - 24.577BEDRMS+31.006BATHSt= 0.823 2.948 2-1.465 1.026 se=73.922 0.029 16.733 30.226 Prob=0.4298 0.0146 0.1736 0.3292 R2=0.652 ,R=0.548 ,F=6.24

20、8变量经标准化后的估量结果：PRICE1 = 0.69229973SQFT1 - 0.29910841BEDRMS1 + 0.24958698BATHS1二、参数最小二乘估量的最优性质 关于在多元线性回来模型中参数估量的最优性质,可依据一元线性 回来模型的情形平行得到,这里不再具体赐予说明；这些性质是 1、 线性性 ；2、 无偏性 ；3、 有效性（方差最小性）；4、 一样性（大样本）三、随机扰动项方差的估量名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆随机扰动项方差的估量和标准差的估量分别是. 2n2

21、 e i.2 e i.已knk式中 n 为样本容量,k 为参数个数；在EViews 的回来估量结果中,直接运算出,即S.E.of regressiong；四、参数估量的分布用矩阵形式表示；由于E B .B ,并且se B . cjjVarCov B . 2 X X1 ,Var B . 2cjj,式中,c 是矩阵 X X1中第 j 行第 j 列位置上的元素；, k 听从正态分布因此,在基本假定成立的前提下,有. jj1,2,3,（见教材第82 页式 3.34 ）,即. jNj,2cjj五、参数的区间估量由于所以jjt.j. j. jj. jcjjj t nkse . .1, 2, 3,k 在置信

22、度为1下的区间估量为Pt2. j2cjjjt21P. jt2.cjjj. jt2.cjj1第三节多元线性回来模型的检验一、拟合优度检验1、 多重可决系数；多重可决系数用 R 表示；其推导过程与一元回来模型的情形一样；2公式为：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆R2T S SR S S1R S SE S ST S ST S ST S S其矩阵表示见教材第85 页式 3.45；X 2 为农业总产值,X 3 为居民表中, Y 为货运总量,X 1 为工业总产值,非商品性支出；2、修正的可决系数；

23、为什么要用修正的可决系数？实际上（由上例可以看出） ,从 R 的运算可看出： （ 1）在方程中增加一个说明变量,2TSS不发生变化,而 ESS 会明显增大,这是由于方程的说明力增强了,这就造成一种错觉,只要增加说明变量就会提高方程的说明力；（ 2）在样本容量肯定的情形下,增加说明变量会使自由度减小,从而降低模型的可靠性；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆因此,需要对这一情形做适当修正,得到修正的可决系数,即2 R1RSS nk1 Y i2 e i nk1Y2nTSS n1式中 k 为参数

24、的个数,n 为样本容量；13、2 R 与2 R 的关系R21 1R2nnk或者2 2 n kR 1 1 R n 1（R 与 2R 之关系的数学推导作为课外练习）2；当 k=1 时,即只有截距项时,R 2R 2；当 k1 时,R 2R ；2 R 有时可能会显现负值,这时令 2R =0；（即当 2R 2 k 1 时,会出n 1现 R 0 的情形, 假如仍旧用 2R 去判定拟合优度,2将会失去意义；因此,2R 只适用于 Y 与 X 2 , X 3 , , X 的整体相关程度比较高的情形；赵国庆,2001, pp.66-pp.67 ）；利用修正的可决系数可以判定新增加的说明变量对被说明变量的影响程度,

25、当模型中增加一个说明变量时,假如RSS 变 小,就 n k2 R 会增大,便可认为这个说明变量是对Y 有显著性影响,这时可将该变量放进模型,否就,应于舍弃（于俊年,2000 , pp.60 ）；二、 F 检验名师归纳总结 1、 F 检验的意义；第 12 页,共 20 页（1）2 R 检验的不足；尽管2 R 具有对模型整体拟合状况的判定,但它并不能得到2 R 究竟要多大时回来方程才算通过了拟合优度检验；虽然- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆R 2 能够给出评判模型拟合好坏的度量,但它只是对样本的拟合程度进行评判,不能回答总体的真

26、实状况；比如是不是只有当 R 2=0 时,才说明总体中 X 完全不能说明 Y ；依据可决系数与相关系数之间的关系可知,即使总体相关系数为零,未必样本相关系数就正好是零,反之亦然；这就提出了一个问题,X 与 Y 的样本相关系数不为零（r0）,是否表示了 X 与 Y 的总体相关系数也不为零（题,就需要通过假设检验来完成,0 ）；所以要精确地回答这一问 F 检验就是完成这一工作的重要检验；（2）F 检验的目的；对于总体多元线性回来模型,从整体上看,多个说明变量与被说明变量之间是否存在显著的线性关系,或者说 Y 的变动是否依靠于这些说明变量的变化；H 0 : 2 3 k 0；H 1 : j j ,1

27、,2 , k 不全为零F E S S k 1F（ k-1 ,n-k ）R S S n k 由 F 统计量的构成可以看出（可以证明 ESS 听从自由度为 k-1 的 2分布,RSS 听从自由度为 n-k 的 2 分布）,假如 ESS 显著地大于 RSS,就说明不能认为全部的 2 , 3 , , k 全为零,这时在很大程度上要拒绝 H ；就在该意义下,说明回来方程中的全部说明变量对应变量存在显著性影响；F 检验的一般步骤是：（ 1）构造F 统计量,即FE SSk1 ； k,1nk,其RSSnk（ 2）给定显著性水平,查 F 分布表,得临界值F中 k 为参数的个数,n 为样本容量；H ,说明回来（

28、3）比较判定；如FFk,1nk ,就拒绝原假使函数从整体上看是显著的,即全部说明变量对应变量有显著性影响；名师归纳总结 2、F 检验与t 检验的联系与区分；第 13 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（1） 联系； 在一元回来模型中,有t2=F,即一元回来模型条件下,t 检验与 F 检验是一样的；但在多元回来模型中,就没有这一关系,甚至有的时候它们之间存在完全相反的检验结果（参见教科书第 88 页和第95 页表 3.4）；（2）区分； t 检验是针对个别参数的显著性,而 整体的显著性；3、F 检验与可决系数R2

29、 的关系 ；Fk1 R2nkk1 FF 检验是针对模型依据这一关系式,我们做了如下测算,来看 F 统计量与 R 2 的实证基础；假如当 n=30 ,k=6 ,=0.05 时 ,查 F 分布 ,得临界值 F 0 . 05 2 . 62 ,就只须 R 2 0.3531; 当 n=20, k=6, =0.05 时 , 得 F .0 05 .2 96 , 就 只 须 R 20.5139 ；可见当样本容量较大时,拟合优度可低一些,但当样本容量较小时,就拟合优度要求就高；否就显著性检验难以通过；通过可决系数与F 检验的特点,实际上F 检验可以看是对R2 的显著性检验；练习：试争论F 检验与可决系数R2 的

30、区分；三、 t 检验关于 t 检验在其次章已经作了具体介绍,而且在多元线性回来模型里与一元的情形是一样的；需要留意的是在多元线性回来模型对参数的t 检验中,即这里t. j. j. jjse .jtn-k （在H 成立下）0tse . . jt . 是听从自由度为 jn-k 的 t 分布；因此,在多元的情形下,运用检验的操作过程如下名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆（ 1）提出假设H0:j;0H1:j0 .j,1 2 ,k.（2）构造检验统计量在 H 0 成立的情形下,有（3）运算t.j.

31、 jtn-k ；,查表得临界值tnk；s e . jt 统计量值,t.j.js e . j（4）依据t 分布,给定显著性水平2（5）比较判定,如 t . j t n k ,就拒绝 H 0,同时接受 H 1；说明第2j 个说明变量 X j 对被说明变量 Y 存在显著性影响；否就,说明第 j 个解释变量 X j 对被说明变量 Y 不存在显著性影响；统计检验归纳如下表：类 型1 、 假 设 条 件,2 、 检 验 统 计 量3、 自 由 度4、 临 界 值4拒 绝 H 0模 型H1:j0.s e .24 拒 绝 H 0k0FESSk1 k-1 Fk,1nkH 0:23RSS nkH1:jj,2,1k

32、 n-k 2一 元 用R2, 多 元 用R20R21,0R拟 合 优 度第四节多元线性回来模型的猜测一、点猜测二、区间猜测三、建立样本多元线性回来模型的步骤名师归纳总结 1、估量多元回来参数；第 15 页,共 20 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2、写出样本回来模型表达式；3、运算残差；4、运算参数估量值的标准差；5、检验；（1）运算 R 与 2R ；2（2）运算 t 统计量与 F 统计量（3）对模型进行评判（参数个体、模型整体）第五节 如何运用计量经济学模型分析经济问题计量经济学建立模型的三个要素：理论、数据、方法；一

33、、 选题选题是经过发觉问题来实现的,要实现对问题的发觉就得靠大量地阅读文献；反过来,选题的目的也是为了发觉问题,解决问题；选题阅读文献发觉问题1、查阅文献,确定争论问题的对象,即选题（解决怎样发觉问题、发觉什么问题） ；2、分析有关理论和现实,设定理论函数,包括确定模型中的变量和模型的函数形式；对所争论对象的行为理论进行分析,它是计量经济分析的基础； 如争论宏观经济问题,就需要争论宏观经济理论和运行机制,各经济主体的行为理论；如争论消费问题,就要熟悉消费理论,分析各 类消费者的消费行为；在挑选变量中要留意两点：（ 1）能否正确表达所争论经济活动的经济学内涵,变量的引入必需名师归纳总结 - -

34、- - - - -第 16 页,共 20 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆要谨慎；（ 2）从技术上讲,变量的挑选不是一次性完成的,需要经过多次反复地测算、试验和检验才能完成；例如,争论生产活动中产出量与影响产出量的诸因素之间的关系,在供应环境下,应考虑各种投入要素如资本、劳动力、能源等作为说明变量；在需求环境下,应考虑反映需求的因素如收入、人口等；但应用不同的方程进行反映,缘由是产出量与需求量并不肯定相等（有均衡与非均衡之分） ；再例如,争论消费活动,挑选消费额作为被说明变量,在不同的消费理论下,说明变量的挑选是不同的；如肯定收入假说、相对收入假说

35、、长久收入假说等,仍有消费结构、消费类型等问题；下面是几个存在问题的样本估量模型；出 口 . 107 . 6562 0 . 1288 * 社会商品零售总额 0 . 2214 * 农副产品收购额进 口 . 0 . 7257 * 轻工业投资 0 . 2080 * 出口 0 . 1806 * 生产消费 67 . 6025 * 进出口政策农业总产 值 . 0 . 7854 0 . 2448 * 粮食产量 0 . 0534 * 农机动力 0 . 2127 * 受灾面积农业总产 值 . 230 . 6 1 . 2 * 种植业产值中国消费基 金 . 14720 . 13 68 . 49 * 俄罗斯人口 R 20 . 9900确定模型函数形式的几点体会：（ 1） 计量 经济模型的建立（或确定变量 之间