2022年空间向量与立体几何知识点.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载立体几何空间向量学问点总结学问网络：学问点拨：1、空间向量的概念及其运算与平面对量类似,向量加、减法的平行四边形法就,三角形法就以及相关的运算律仍旧成立空间向量的数量积运算、共线向量定理、 共面对量定理都是平面对量在空间中的推广,空间向量基本定理就是向量由二维到三维的推广2、当a、 b 为非零向量时a b 0 a b 是数形结合的纽带之一,这是运用空间向量讨论线线、线面、面面垂直的关键,通常可以与向量的运算法就、有关运算律联系来解决 垂直的论证问题3、公式cosa ba bab 是应用空间向量求空间中各种角的基础,用这个公式可

2、以求两异面直线所成的角（但要留意两异面直线所成角与两向量的夹角在取值范畴上的区分）,再结合平面的法向量,可以求直线与平面所成的角和二面角等4、直线的方向向量与平面的法向量是用来描述空间中直线和平面的相对位置的重要概念,通过讨论方向向量与法向量之间的关系,可以确定直线与直线、直线与平面、 平面与平面等的位置关系以及有关的运算问题5、用空间向量判定空间中的位置关系的常用方法（1）线线平行 证明两条直线平行,只需证明两条直线的方向向量是共线向量（2）线线垂直名师归纳总结 证明两条直线垂直,只需证明两条直线的方向向量垂直,即a b0ab 第 1 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料

3、- - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（3）线面平行 用向量证明线面平行的方法主要有：证明直线的方向向量与平面的法向量垂直；证明可在平面内找到一个向量与直线方向向量是共线向量；利用共面对量定理,即证明可在平面内找到两不共线向量来线性表示直线的方向向 量（4）线面垂直用向量证明线面垂直的方法主要有：证明直线方向向量与平面法向量平行；利用线面垂直的判定定理转化为线线垂直问题（5）面面平行 证明两个平面的法向量平行（即是共线向量）；转化为线面平行、线线平行问题（6）面面垂直证明两个平面的法向量相互垂直；转化为线面垂直、线线垂直问题6、运用空间向量求空间角（1）求两异面直线所成角利用公

4、式cosa ba b0,2,ab ,但务必留意两异面直线所成角 的范畴是故实质上应有：coscosa b（2）求线面角求直线与平面所成角时,一种方法是先求出直线及射影直线的方向向量,通过数量积求 出直线与平面所成角；另一种方法是借助平面的法向量,先求出直线方向向量与平面法向量 的夹角 ,即可求出直线与平面所成的角 ,其关系是 sin | cos |（3）求二面角用向量法求二面角也有两种方法：一种方法是利用平面角的定义,在两个面内先求出与棱垂直的两条直线对应的方向向量,然后求出这两个方向向量的夹角,由此可求出二面角的大小；另一种方法是转化为求二面角的两个面的法向量的夹角,补7、运用空间向量求空间

5、距离它与二面角的大小相等或互空间中的各种距离一般都可以转化为求点与点、点与线、点与面的距离（1）点与点的距离点与点之间的距离就是这两点间线段的长度,因此也就是这两点对应向量的模（2）点与面的距离点面距离的求解步骤是：求出该平面的一个法向量；求出从该点动身的平面的任一条斜线段对应的向量；求出法向量与斜线段向量的数量积的肯定值再除以法向量的模,即得要求的点面距名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载离备考建议：1、空间向量的引入,把平面对量及其运算推广到空间,运用空间向量解决有关直线、平面位置关系的问题,应

6、体会向量方法在讨论几何图形中的作用,进一步进展空间想像才能和几何直观才能2、敏捷挑选运用向量方法与综合方法,从不同角度解决立体几何问题3、在解决立体几何中有关平行、垂直、夹角、距离等问题时,直线的方向向量与平面的法向量有着举足轻重的位置和作用,它的特点是用代数方法解决立体几何问题,无需进行繁、难的几何作图和推理论证,起着从抽象到详细、化难为易的作用向量的求法和用法4、加强运算才能的培育,提高运算的速度和精确性第一讲 空间向量及运算 一、空间向量的有关概念1、空间向量的定义因此,应娴熟把握平面法在空间中, 既有大小又有方向的量叫做空间向量留意空间向量和数量的区分数量是只有大小而没有方向的量2、空

7、间向量的表示方法空间向量与平面对量一样,也可以用有向线段来表示,用有向线段的长度表示向量的大小,用有向线段的方向表示向量的方向如向量 a对应的有向线段的起点是 A ,终点是 B,就向量 a 可以记为 AB ,其模长为 a 或 AB 3、零向量长度为零的向量称为零向量,记为0 零向量的方向不确定,是任意的由于零向量的这一特殊性,在解题中肯定要看清题目中所指向量是“ 零向量” 仍是“ 非零向量” 4、单位向量模长为 1 的向量叫做单位向量单位向量是一种常用的、重要的空间向量,在以后的学习中仍要常常用到5、相等向量长度相等且方向相同的空间向量叫做相等向量如向量a 与向量 b 相等,记为 a= b .

8、零向量与零向量相等,任意两个相等的非零向量都可以用空间中的同一条有向线段来表示,并且与有向线段的起点无关6、相反向量长度相等但方向相反的两个向量叫做相反向量a 的相反向量记为a二、共面对量1、定义 平行于同一平面的向量叫做共面对量2、共面对量定理名师归纳总结 如两个向量a 、 b 不共线,就向量p 与向量 a、 b 共面的充要条件是存在实数对x、y,第 3 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 使得p=xayb ；学习必备欢迎下载3、空间平面的表达式空间一点 P位于平面 MAB 内的充要条件是存在有序实数对 x、y 使MP xMA yMB或

9、 对 空 间 任 一 定 点 O, 有 或OP xOA yOB zOM（其中 x y z 1）这几个式子是 M,A,B,P 四点共面的充要条件三、空间向量基本定理1、定理假如三个向量a 、 b 、 c 不共面,那么对空间任一向量p ,存在唯独的有序实数组x、y、z,使p=xaybzc2、留意以下问题（1）空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底（2）由于 0 可视为与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,所以,三个向量不共面,就隐含着它们都不是 0 ；（3）一个基底是指一个向量组,一个基向量是指基底中的某一个向量,两者是相关联的不同概念由空间向量的基本定理知,如三个向量a

10、、 b 、 c不共面；那么全部空间向量所组成的集合就是p pxaybzc x y zR,这个集合可看做是由向量a 、b 、c 生成的, 所以我们把a b c 称为空间的一个基底；a 、 b 、 c 叫做基向量,空间任意三个不共面的向量都可构成空间的一个基底3、向量的坐标表示（1）单位正交基底假如空间的一个基底的三个基向量相互垂直,且长都为底,常用i j k表示（2）空间直角坐标系1,就这个基底叫做单位正交基在空间选定一点 O 和一个单位正交基底 i j k 以点 O 为原点,分别以 i 、j、 k 的方向为正方向建立三条数轴 :x 轴、 y 轴、 z 轴,它们都叫坐标轴就建立了一个空间直角坐标

11、系 Oxyz,点 O 叫原点,向量 i 、j、 k 都叫坐标向量（3）空间向量的坐标名师归纳总结 给定一个空间直角坐标系和向量a ,且设 i 、j、 k 为坐标向量,存在唯独有序数组（x,第 4 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y,z）使axiy j学习必备欢迎下载Oxyz 中的坐zk ,有序数组（ x,y,z）叫做 a 在空间直角坐标系标,记为 a = x y z ；对坐标系中任一点 A ,对应一个向量OA,就OA=a xi y j zk ；在单位正交基底i 、j、 k 中与向量 OA对应的有序实数组（x,y,z）,叫做点 A 在此

12、空间直角坐标系中的坐标,记为 A （x,y,z） . 四、空间向量的运算1、空间向量的加法三角形法就（留意首尾相连）、平行四边形法就,加法的运算律：交换律cabba结合律ababc2、空间向量的减法及几何作法几何作法：在平面内任取一点O,作OAa OBb ,就 BAab ,即从 b 的终点指向 a 的终点的向量,这就是向量减法的几何意义3、空间向量的数乘运算（1）定义实数与a的积是一个向量,记为a ,它的模与方向规定如下：0 时a0aa0 时,a 与 a异向；当0 时,a 与 a 同向；当 当留意： 关于实数与空间向量的积 a 的懂得：我们可以把 a 的模扩大（当 1 时）,也可以缩小（ 1

13、时）,同时,我们可以不转变向量 a 的方向（当 0时）,也可以转变向量 a 的方向（当 0 时）；. 留意实数与向量的积的特殊情形,当 0 时,a 0；当 0 ,如 a 0 时,有 a 0； 留意实数与向量可以求积,但是不能进行加减运算比如 a ,a 无法运算；（2）实数与空间向量的积满意的运算律名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载设 、 是实数,就有aabaaaa（结合律）（第一安排律）ab（其次安排律）实数与向量的积也叫数乘向量4、共线向量（1）共线向量定义如表示空间向量的有向线段所在的直线相互

14、平行或重合,就这些向量叫做共线向量,也叫做平行向量；如a 与 b 是共线向量,就记为a / b ；留意：零向量和空间任一向量是共线向量（2）共线向量定理对空间任意两个向量a 、 b （ b 0 ）, a /b 的充要条件是存在实数 使 a b（3）空间直线的向量表示式假如直线 l 是经过已知点 A 且平行于已知非零向量 a 的直线, 那么对任一点 O,点 P在直线 l 上的充要条件是存在实数 t,满意等式 OP OA ta ,其中向量 a叫做直线 l 的方向向量留意：B OA1t OAtOB如在l 上取 ABa ,就有OPOAt AB ,OPOAt OBOA1t OAtOB上式可解决三点P、A

15、、B 共线问题的表示或判定当t1时,OP1OA1OB,点 P 为 AB 的中点,这是中点公式的向量表达式222 如 P 分 AB 所成比为,就OP11OA1OB5、空间直角坐标系在空间直角坐标系中,三条坐标轴两两相互垂直,轴的方向通常这样挑选：从 z 轴的正方向看, x 轴正半轴沿逆时针方向转 90 0 能与 y 轴的正半轴重合；让右手拇指指向 x 轴正方向 食指指向 y 轴的正方向, 假如中指指向 z 轴的正方向, 那么称这个坐标系为右手直角坐标系；一般情形下,建立的坐标系都是右手直角坐标系在平面上画空间直角坐标系Oxyz 时,一般使 xOy=135 , yOz=90 ；空间两点间的距离公式

16、是平面上两点间距离公式的推广,是空间向量模长公式的推广,假如知道儿何体上任意两点的坐标我们就可直接套用名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设P x 1,y 1,z 1,P x2,y 2,z2学习必备欢迎下载x 12y 2y 12z 2z 12,就PP 2x 2特殊地, P1（x,y,z）到原点的距离|OP|x2y2z26、空间向量的数量积运算ab|a|b|cosa,b0, ,留意数量积的性质和运算律；其中a,b为a与b的夹角,范畴是1. 性质如a、 是非零向量,e 是与 b 方向相同的单位向量, 是a 与e的夹角,就

17、（1）eaae|a|cos（2）abab0（3）如a 与b同向,就ab|a|b|；如a 与b反向,就ab|a|b|；特殊地：aa|a| 2 或|a|aaa、b的夹角,就cosab（4）如 为|a|b|（5）|ab|a|b|2. 运算律（1）结合律abaabbac（2）交换律abbaabc（3）安排律不满意消去律和结合律即：abbcac,abc不肯定等于abc【典型例题】例 1. 已知 P 是平面四边形 ABCD 所在平面外一点,连结 PA、PB、PC、PD,点 E、F、G、H 分别为PAB 、 PBC、 PCD、 PDA 的重心；求证：E、F、G、H 四点共面；证明： 分别延长 PE、PF、P

18、G、PH 交对边于 M 、N、Q、R E、 F、G、H 分别是所在三角形的重心M 、N、Q、R 为所在边的中点,顺次连结MNQR 所得四边形为平行四边形,且有名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - PE2PM,PF2PN,PG2学习必备2欢迎下载PQ,PHPR3333MNQR 为平行四边形,就EGPGPE2PQ2PM2MQABa,ADb,AAc,P3332MNMR2PNPM2PRPM33323PF3PE23PH3PE322322中,EFEH由共面对量定理得E、F、G、H 四点共面；例 2. 如下列图,在平行六面体ABCD

19、ABCD是 CA 的中点, M 是 CD 的中点, N 是 CD 的中点,点 Q 是 CA 上的点,且 CQ：QA=4 ：1,用基底a,b,c表示以下向量：（1） AP ；（ 2） AM ；（ 3）AN ；（ 4） AQ ；解： 连结 AC 、AD （1）AP1ACAA1ABADAA1abc；222名师归纳总结 （2）AM1ACAD1AB2ADAA1ab1c；第 8 页,共 23 页2222AN1ACAD（3）2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1ABADAA学习必备AA欢迎下载AD2（4）AQ1AB2AD2AAAC21abc44AA2ACCQAC51

20、AB1ADAA5551a1b4c555点评：本例是空间向量基本定理的推论的应用此推论意在用分解定理确定点的位置,它对于以后用向量方法解几何问题很有用,选定空间不共面的三个向量作基向量并用它们表示出指定的向量,是用向量解决几何问题的一项基本功例 3. 已知空间四边形 OABC 中, AOB= BOC= AOC ,且 OA=OB=OC ；M 、N 分别 是 OA 、 BC 的中点, G 是 MN 的中点；求证：OGBC；证明： 连结 ON,设 AOB= BOC= AOC= 又设OAa,OBb,OCc,就|a|b|c|；名师归纳总结 又OGc1OMONOC 第 9 页,共 23 页21OB11OAB

21、C2221abc4b- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - OGBC1abcc学习必备欢迎下载b41acababcb2|c22bac041|a| 2cos|2cosa|24OG BC 例 4. 已知空间三点 A （0,2,3）, B（ 2, 1,6）, C（1, 1, 5）；（1）求以 AB 和 AC 为邻边的平行四边形面积；（2）如 | a | 3,且 a 分别与 AB、AC 垂直,求向量 a 的坐标；解： （1）由题中条件可知AB（2,1,）,AC（1,3,）cos AB,AC AB AC 2 3 6 114 14 2| AB | | AC |sin A

22、B,AC 32以 AB 、AC 为邻边的平行四边形面积：S | AB | | AC | sin AB,AC 14 3 7 32（2）设 a（x,y,z）由题意得x 2 y 2 z 2 32 x y 3 z 0x 3 y 2 z 0x 1 x 1y 1 或 y 1解得 z 1 z 1a（1,）或 a（1,1,1）其次讲 直线的方向向量、平面的法向量及其应用一、直线的方向向量及其应用名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载1、直线的方向向量直线的方向向量就是指和这条直线所对应向量平行 方向向量可以有很多个

23、2、直线方向向量的应用（或共线） 的向量, 明显一条直线的利用直线的方向向量,可以确定空间中的直线和平面（1）如有直线 l, 点 A 是直线 l 上一点, 向量 a 是 l 的方向向量, 在直线 l 上取 AB a ,就对于直线 l 上任意一点 P,肯定存在实数 t,使得AP t AB ,这样,点 A 和向量a不仅可以确定 l 的位置,仍可详细表示出 l 上的任意点（2）空间中平面 的位置可以由 上两条相交直线确定,如设这两条直线交于点 O,它们的方向向量分别是 a 和 b ,P 为平面 上任意一点,由平面对量基本定理可知,存在有序实数对（ x,y）,使得 OP xa yb ,这样,点 O 与

24、方向向量 a 、 b 不仅可以确定平面 的位置,仍可以详细表示出 上的任意点二、平面的法向量1、所谓平面的法向量,就是指所在的直线与平面垂直的向量,明显一个平面的法向量也有很多个,它们是共线向量2、在空间中,给定一个点A 和一个向量a ,那么以向量 a 为法向量且经过点A 的平面是唯独确定的三、直线方向向量与平面法向量在确定直线、平面位置关系中的应用1、如两直线l1、l2的方向向量分别是u 、u ,就有 l 1/ l 2u /u , l1l 2u u 2、如两平面 、 的法向量分别是1v、2v,就有 /1v/2v, 1v2v如直线 l 的方向向量是 u ,平面的法向量是v,就有 l/u v,

25、lu / v四、平面法向量的求法如要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用待定系数法求解,一般步骤如下：1、设出平面的法向量为n , , x y z aa b c 1,b a b c 22、找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标3、依据法向量的定义建立关于x,y, z 的方程组n a0n b04、解方程组,取其中一个解,即得法向量名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载五、用向量方法证明空间中的平行关系和垂直关系（一）用向量方法证明空间中的平行关系空间中的平行关系主要是指：线

26、线平行、线面平行、面面平行1、线线平行a设直线kl 1、 l2的方向向量分别是a 、 b ,就要证明l1/l2,只需证明a / b ,即kbR 2、线面平行即（1）设直线 l 的方向向量是a ,平面的法向量是 n ,就要证明l/,只需证明 an ,a n0. （2）依据线面平行的判定定理：“ 假如直线（平面外）与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行”,要证明一条直线和一个平面平行,也可以在平面内找一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可（3）依据共面对量定理可知,假如一个向量和两个不共线的向量是共面对量,那么这个向量与这两个不共线向量确定的平面必定平行,因此要证明一条直线和一个平

27、面平行,只要证明这条直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量线性表示即可3、面面平行（1）由面面平行的判定定理,要证明面面平行,只要转化为相应的线面平行、线线平 行即可（2）如能求出平面 、 的法向量 u 、 v ,就要证明 / ,只需证明 u / v（二）用向量方法证明空间中的垂直关系空间中的垂直关系主要是指：线线垂直、线面垂直、面面垂直1、线线垂直设直线 l 1、l2的方向向量分别是a 、b ,就要证明 l 1 l2,只需证明 a b ,即a b02、线面垂直（1）设直线 l 的方向向量是 a ,平面 的法向量是 u ,就要证 l ,只需证明 a / u（2）依据线面垂直的判定定理,转化为

28、直线与平面内的两条相交直线垂直3、面面垂直（1）依据面面垂直的判定定理转化为证相应的线面垂直、线线垂直（2）证明两个平面的法向量相互垂直六、用向量方法求空间的角（一）两条异面直线所成的角名师归纳总结 1、定义：设a、b 是两条异面直线,过空间任一点O 作直线a/a b/b ,就/ a 与/ b 所第 12 页,共 23 页夹的锐角或直角叫做a 与 b 所成的角22、范畴：两异面直线所成角 的取值范畴是0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载,就有cos| cos|a b3、向量求法： 设直线 a、b 的方向向量为a 、b ,其夹角为ab4、

29、留意：两异面直线所成的角可以通过这两条直线的方向向量的夹角来求得,但两者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直线所成的角（二）直线与平面所成的角1、定义：直线和平面所成的角,是指直线与它在这个平面内的射影所成的角2、范畴：直线和平面所成角 的取值范畴是02u ,直线与平面所成的角为 ,3、向量求法：设直线l 的方向向量为a ,平面的法向量为a 与 u 的夹角为,就有sin| cos|a u或cossinau（三）二面角1、二面角的取值范畴：0,2、二面角的向量求法（1）如 AB、CD 分别是二面角 l 的两个面内与棱 l 垂直的异面直线,就二面角的大小就是向量 AB 与

30、 CD 的夹角（如图（a）所示）（2）设 1n、2n是二面角 l 的两个角 、 的法向量, 就向量 n 与 n 的夹角（或其补角）就是二面角的平面角的大小（如图（b）所示）七、用向量的方法求空间的距离（一）点面距离的求法名师归纳总结 如图（a）所示,BO平面 ,垂足为 O,就点 B 到平面 的距离就是线段BO 的长度如第 13 页,共 23 页AB 是平面 的任一条斜线段,就在Rt BOA 中,BOBAcosABO= - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - cosABOBABOcosABO；假如令平面学习必备欢迎下载BBO 的法向量为 n ,考虑到法向量的方

31、向,可以得到点到平面 的距离为BOAB n；n因此要求一个点到平面的距离,可以分以下几步完成：1、求出该平面的一个法向量2、找出从该点动身的平面的任一条斜线段对应的向量3、求出法向量与斜线段向量的数量积的肯定值再除以法向量的模,即可求出点到平面的 距离n n 0由于 n 可以视为平面的单位法向量,所以点到平面的距离实质就是平面的单位法向量与从该点动身的斜线段向量的数量积的肯定值,即 d AB n 0另外,等积法也是点到面距离的常用求法（二）线面距、面面距均可转化为点面距离用求点面距的方法进行求解；（三）两异面直线距离的求法名师归纳总结 如图（ b）所示,设l1、l2 是两条异面直线,n 是 l

32、 1 与 l 2 的公垂线段AB 的方向向量,第 14 页,共 23 页又 C、D 分别是 l 1、l 2 上的任意两点,就l1 与 l2 的距离是dABCD n；n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【典型例题】例 1. 设a 、 分别是直线l 1、l2 的方向向量,依据以下条件判定l 1与 l 2的位置关系；（1）a=（2,3, 1）,b=（ 6, 9,3）；（2）a=（5,0,2）,b=（0, 4,0）；（3）a=（ 2,1,4）,b=（6,3,3）解： （1）a（2,1）,b=（ 6, 9,3）a 1 b3,a / b, l1/

33、l 2（2）a=（ 5,0,2）,b=（0,4,0）a b 0,a b, l1 l2（3）a（ 2,1,4,）, b =（6,3,3）a 与 b 不共线,也不垂直l1与 l2的位置关系是相交或异面例 2. 设u 、 分别是平面 、 的法向量,依据以下条件判定 、 的位置关系：1（1）u=（1, 1,2）,v=（3,2,2）；（2）u=（0,3,0）,v=（0, 5,0）；（3）u=（2, 3,4）,v=（4, 2, 1）；1名师归纳总结 解： （1）u=（1, 1, 2）,v=（3,2,2）第 15 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - u

34、v0uv学习必备欢迎下载 （2）u=（ 0,3,0）,v=（0, 5, 0）u3vu/v/5（3）u=（ 2, 3,4）,v=（4, 2,1）u 与v既不共线、也不垂直, 与 相交点评：应娴熟把握利用向量共线、垂直的条件；例 3. 已知点 A（3,0,0）, B（0,4, 0）,C（0,0, 5）,求平面 ABC 的一个单位法向量；解： 由于 A（3,0,0）,B（0,4,0）,C（0,0,5）,AB=（ 3,4,0）,AC=（ 3,0,5）设平面 ABC 的法向量为n （x,y,z）n =（ 1,3,0）,试就有nAB0 且nAC0即3x4y0取 z=1,得x5,y53x5 z034于是n=

35、（5,54,1）,又|n|769312平面 的单位法向量是n20,15,12769769769例 4. 如直线l 的方向向量是a =（1,2, 2）,平面 的法向量是求直线 l 与平面 所成角的余弦值；分析： 如下列图,直线 l 与平面 所成的角就是直线 l 与它在平面内的射影所成的角,即 ABO ,而在 Rt ABO 中, ABO= 2 BAO ,又 BAO 可以看作是直线 l 与平面 的垂线所成的锐角,这样BAO 就与直线 l 的方向向量 a 与平面 的法向量 n 的夹角建立了联系,故可借助向量的运算求出BAO ,从而求出 ABO ,得到直线与平面所成的角；名师归纳总结 - - - - -

36、 - -第 16 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解： a=（1,2,2,）, n =（ 1,3,0）|a|3,|n|10,|an105cosa,nan6a|n如设直线 l 与平面 所成的角是 名师归纳总结 就有cossina,nC1C、B1C1的中点；第 17 页,共 23 页cosa,n106sina,n266因此cos26,即直线 l 与平面 所成角的余弦值等于26；66例 5. 如图（ a）所示,在正方体ABCDA1B1C 1D1中, M 、N 分别是求证：（ 1）MN/ 平面A 1BD；（2）平面A1BD/平面B1D1C；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）证法一：如图（学习必备欢迎下载DD 所在直线分别为x 轴、 yb）所示,以D 为原点, DA 、DC、名师归纳总结 11第 18 页,共 23 页轴、 z 轴建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1,就可求得M（0,1, 2）,N（ 2,1,111,）, D（0,0,0）,A （1,0,1）, B（ 1,1,0）,于是 MN =（ 2,0, 2）；设平面A 1BD的法向量是n （ x,y