2022年高中三角函数知识点与常见习题类型解法.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 三角函数学问点与常见习题类型解法1、任意角的三角函数：1弧长公式：l a R R 为圆弧的半径,a 为圆心角弧度数,l 为弧长；2扇形的面积公式：S 1 lR R 为圆弧的半径,l 为弧长；23同角三角函数关系式：倒数关系：tan a cot a 1 商数关系：tan a sin a,cot a cos acos a sin a平方关系：sin 2a cos 2a 14诱导公式： 奇变偶不变,符号看象限k 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性；2函 数2xsinxcosxtanxacotxaasinacosatancotacosatanacotas

2、inasinacotatanacosaa22、两角和与差的三角函数：1两角和与差公式：cos cos a cos sin a sinsin a sin a cos cos a sintan a a tan a tan1 tan a tan【注：公式的逆用或者变形 】2二倍角公式：sin2 a2sinacos a1cos2 a,sin2a1cos2acos2 a2 cosasin2a12sin2a22 cosa1tan2 a12tanaatan2从二倍角的余弦公式里面可得出：降幂公式：2 cosa223半角公式可由降幂公式推导出：sina1cosa,cosa1cosa,2222tana1cosa

3、1sinaa1cosa21cosacossina1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3、三角函数的图像和性质：其中kzycosxytanx三角函数ysinx图像定义域- , +- , +xk2值域-1,1 -1,1 - , +T 奇最小正周期T2T2奇偶性奇偶单调性2 k22,k2单调递增2 k1 , 2k单调递增k2,k2单调递增2 k22,k3单调递减2k,2 k1单调递减2对称中心：k 20,对称性对称轴：xk2对称轴：xk对称中心：k,0 对称中心：k2,0 零值点xkxk2xk无x2 k2,ymax1x

4、2k,ymax1最值点x2 k2,ymax1x2k1 ,ymax14、函数yAsinx的图像与性质：本节学问考察一般能化成形如yAsinx图像及性质1函数yAsinx和yAcos x的周期都是T22函数yAtan x和yAcotx的周期都是 T3五点法作yAsinx的简图,设tx,取 0、2、3、 2来求相应 x 的值以2及对应的 y 值再描点作图；4关于平移伸缩变换可详细参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩；切记每一个变换总是对字母 x 而言,即图像变换要看“ 变量” 起多大变化,而不是“ 角变化” 多少；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 -

5、 - - - - - - - - 【函数的平移变换】 ：yfx yfxa a0 将yfx图像沿 x 轴向左右平移a 个单位左加右减将图像沿 y 轴向上下平移b 个单位上加下减yfx yfx b b0 yfx【函数的伸缩变换】 ：ywfxyfwxw0 将yfx图像纵坐标不变, 横坐标缩到原先的1 倍wwA1缩短,01 伸长yAfxyAfxA0将yfx图像横坐标不变,纵坐标伸长到原先的A 倍1伸长,01 缩短【函数的对称变换】 ：yfx yfx 将yfx图像绕 y 轴翻折 180 整体翻折 ；y 轴翻折到左侧 偶函对三角函数来说：图像关于x 轴对称yfxyfx将yfx图像绕 x 轴翻折 180 整

6、体翻折 ；对三角函数来说：图像关于y 轴对称yfx yfx将yfx图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕数局部翻折 ；yfx yfx保留yf x在 x 轴上方图像,x 轴下方图像绕x 轴翻折上去局部翻动5、方法技巧三角函数恒等变形的基本策略；1常值代换：特殊是用“1” 的代换；如1sin2acos2atanxcotxtan45等；2项的分拆与角的配凑；如分拆项：sin2a2cos2asin2acos2acos2a1cos2a；配凑角：；22等；3降次与升次；切化弦法；4引入帮助角；a、byasinbcosa2b2sina2b2cos,这里帮助角所在象限由的符号确定,角的值由tanb a确定；

7、【典型例题】 ：1、已知tan x2,求sinx cosx的值3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解： 由于tanxsinx2,又sin2acos2a1,cosx联立得sinxx2cosx,1120sin22 cosx解这个方程组得sinx25,sinx25.55cosx5cosx5552、求tan120cos 210sin480的值；tan690sin150cos 330解： 原式tan120180cos 18030sin360tan720o 30sin150cos 36030tan60cos30sin1203

8、3.8sinxcosx,tan30sin150cos303、假设sinxcosx2 ,求sinxcosx的值sinxcosx解： 法一：由于sinxcosx2,sinxcosx所以sinxcosx2sinxcosx得到sinx3cosx,又sin2acos 2a1,联立方程组,解得sinx310sin,x310,1010cosx10cosx101010所以sinxcosx310法二：由于sinxcosx2 ,sinxcosx所以sinxcosx2sinxcosx,所以sinxcosx24 sinxcosx2,所以12sinxcosx4所以有sinxcosx3104 名师归纳总结 - - - -

9、 - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、求证：tan2xsin2xtan2xsin2x；证明： 法一：右边tan2xsin2xtan2xtan2xcos2xtan2x 1cosx2tan2xsinx2；法二：左边 =tan2xsin2xtan2x 1cos2x tan2xtan2xcosx2tan2x 1cosx2tan2xsinx25、 求函数y2sinx 2在区间02,上的值域；67由正弦函数的图象,得到6,6x解： 由于0,所以0xx2226y2sinx11,所以y2sinx,12662226、求以下函数的值域1ysin2xcosx2；x

10、22y2sinxcosxsinxcosx sin2cos解：1yx= 1cos2xcosx2,1cos2x3cosx3213t1 2213,yt2t1 2令tcosx,就t1,1 , t44利用二次函数的图象得到y13 4.5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 y2sinxcosxsinxcosx=sinxcosx21sinxcosx2 ,2,它到其相邻的最低点1令tsinxcosx2sin x,就t2,24就yt2t,1利用二次函数的图象得到y51,2.47、假设函数y=Asin x+ 0, 0 的图象的一个

11、最高点为之间的图象与x 轴交于 6 ,0 ,求这个函数的一个解析式；从而与 x 轴交点的间隔是解：由最高点为2 ,2,得到A2,最高点和最低点间隔是半个周期,4个周期,这样求得T4,T=16,所以 4 4x.y2sinx.y1sinx的值84又由22sin2,得到可以取8848、已知函数 f x=cos4x2sin xcos xsin 求 f x的最小正周期； 假设x0,求fx 的最大值、最小值数23cosx域解： 由于 f x=cos4x2sin xcosxsin4 xcos2xsin2xcos2xsin2x sin2 x cos2xsin2xsin2xcos2xsin2x2sin2x 2s

12、in2x446 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以最小正周期为 假设x0 ,就 x,3 ,所以当 x=0 时,f x 取最大值为2sin;1当x3 824444时, f x 取最小值为2.9、已知tan2,求 1cossin；2sin2sin.cos22 cos的值 . cossin解： 1cossin1sin1tan12322；cos sincossin11tan12cos 2 sin2sincos2cos2sin2sincos2cos2sin22 cossin2sin22222432. 2 cossin2c

13、os112 cos说明：利用齐次式的结构特点假如不具备,通过构造的方法得到,进行弦、切互化,就会使解题过程简化；10、求函数y1xsinxcosxsinxcos 2的值域；解：设tsinx,就原函数可化为 4cos2 sinx2,2yt22t1t123 4,由于t12,2,所以2当t时,y max3时,ymin3,2,当t247 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以,函数的值域为y3,2；411、已知函数f 4sin2x2sin 2x2,xR；1求f x 的最小正周期、f x 的最大值及此时 x 的集合；2证明：

14、函数f x 的图像关于直线x 8对称；解：f 4sin2x2sin 2x22sinx212sin2x2sin 2x2cos 2x2 2 sin2xR , 有41 所以f x 的最小正周期 T,由于 xR,所以,当 2x2k,即xk3 时,f x 最大值为 2 2 ；4282 证 明 ： 欲 证 明 函 数f x 的 图 像 关 于 直 线x对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x8fxfx 成立,88由于fx2 2 sin2x 22 sin2 2 2 cos2x ,8842fx2 2 sin2x2 2 sin2 2 2 cos2x ,8842所以fx fx 成立,从而函数f x 的图像关于直

15、线x对称；88812 、已知函数y=1 cos 22x+3 sinx 2cosx+1 xR, 1当函数 y 取得最大值时,求自变量x 的集合；2该函数的图像可由y=sinxxR的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解：1 y=1 cos 22x+3 sinx 2cosx+1=1 2cos 42x 1+ 1 + 43 2sinx 4cosx +1 = 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 = 1 cos2x sin +sin2x cos + 54 4 4 2 6 6 4= 1 s

16、in2x+ + 52 6 4所以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2k , kZ,即 x= +k , kZ；6 2 6所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 x|x= +k ,k Z 62将函数 y=sinx 依次进行如下变换：i 把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sinx+ 的图像；6 6ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的 1 倍纵坐标不变 ,得到函数 y=sin2x+ 的图像；2 6iii把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的 1 倍横坐标不变 ,得到函数 y= 1 sin2x+ 的2 2 6图像；iv 把得到的图像向上平移 5 个单位长度,得到函数

17、y= 1 sin2x+ + 5 的图像；4 2 6 4综上得到 y= 1 cos 2x+ 3 sinxcosx+1 的图像；2 2历年高考综合题一、挑选题：1、08 全国一 6ysinxcos 21是A、最小正周期为2的偶函数B、最小正周期为2的奇函数C、最小正周期为的偶函数D、最小正周期为 的奇函数2、08 全国一 9为得到函数ycosx的图象,只需将函数ysinx 的图像3A、向左平移个长度单位B、向右平移个长度单位66C、向左平移5 6个长度单位D、向右平移5 6个长度单位3、08 全国二 1 假设 sin0且 tan0是,就是A、第一象限角B、其次象限角C、 第三象限角D、 第四象限角

18、4、08 全国二 10函数fxsinxcosx的最大值为9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - A、1 B、2 C、3 D、2 5、08 安徽卷 8函数ysin2x3图像的对称轴方程可能是gx 的解A、x6B、x12 C 、x6 D、x126、08 福建卷 7函数 y=cosxx R的图象向左平移2个单位后,得到函数y=gx 的图象,就析式为 A、-sin x B、sin x C、 -cos x D、 cosx7、08 广东卷 5已知函数 f x 1 cos2 sin 2x x R ,就 f x 是A、最小正周期为

19、的奇函数 B、最小正周期为 的奇函数2C、最小正周期为 的偶函数 D、最小正周期为 的偶函数28、08 海南卷 11函数 f x cos2 x 2sin x 的最小值和最大值分别为A、 3,1 B、 2,2 C、 3,3 D、 2,32 29、08 湖北卷 7将函数 y sin x 的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F ,假设 F 的一条对3称轴是直线 x , 就 的一个可能取值是1 A 、5 B、5 C、11 D、1112 12 12 1210、 08 江西卷 6函数 f x sin x 是xsin x 2sin2A、以 4 为周期的偶函数 B、以 2 为周期的奇函数C、以 2 为周

20、期的偶函数 D、以 4 为周期的奇函数11、假设动直线 x a 与函数 f sin x 和 g x cos x的图像分别交于 M,N 两点, 就 MN 的最大值为A、1 B、2 C、3 D、2 12、 08 山东卷 10已知 cos sin 43,就 sin 7 的值是6 5 6A、2 3 B、2 3 C、4 D、45 5 5 513、08 陕西卷 1 sin330 等于A、3 B、1 C、1 D32 2 2 210 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 14、 08 四川卷 4tanxcotx2 cosx 、 ta

21、nx 、 sin x 、 cosx 、 cot x15、08 天津卷 6把函数 y sin x x R 的图象上全部的点向左平行移动 个单位长度, 再把所得3图象上全部点的横坐标缩短到原先的 1 倍纵坐标不变 ,得到的图象所表示的函数是2 A、y sin 2 x,x R B、y sin x,x R3 2 6C、y sin 2 x,x R D、y sin 2 x,x R3 316、08 天津卷 9设 a sin 5,b cos 2,c tan 2,就7 7 7A、 a b c B、 a c b C、 b c a D、 b a c217、08 浙江卷 2函数 y sin x cos 1 的最小正周

22、期是 A、 B、 C、3 D、 22 218、08 浙江卷 7在同一平面直角坐标系中,函数 y cos x 3 x 0,2 的图象和直线 y 12 2 2的交点个数是A、0 B、1 C、2 D、4 二、填空题19、08 北京卷 9假设角的终边经过点P ,2,就 tan2的值为0 ,就= 20、08 江苏卷 1fxcosx6的最小正周期为5,其中21、08 辽宁卷 16设x0,2,就函数y2sin2x1的最小值为sin 2x22、08 浙江卷 12假设sin23,就 cos2_；523、08 上海卷 6函数 f x 3sin x +sin2+x 的最大值是三、解答题24、08 四川卷 17求函数

23、y74sinxcosx4cos2x4cos4x 的最大值与最小值；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 25、 08 北京卷 15已知函数f x sin2x3sinxsinx0 的最小正周期为 ；2求的值；求函数f x 在区间0,23x上的取值范畴x1xR ,0的最小值正周26、08 天津卷 17已知函数f x2cos22s inxcos期是2；求的值；求函数f x 的最大值,并且求使xf x 取得最大值的x 的集合27、 08 安徽卷 17已知函数f x cos2x32sin4sinx4,求函数f x 的最小

24、正周期和图象的对称轴方程；求函数f x 在区间 , 12 2上的值域12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 28、08 陕西卷 17已知函数f 2sinxcosx2 3sin2x3444求函数f x 的最小正周期及最值； 令g x fx,判定函数g x 的奇偶性,并3说明理由13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 参考答案：一、 挑选题：110：D 、C、 C、B、B、A、D 、C、 9 、A 、A；1120: 11 、C、 13、

25、B 、14、D 15 、C 16 、D 17 、B 18 、C；二、填空题：19、4 20 3、10 21、3 22、7 23、2；25三、解答题：24、解：y74sinxcosx4cos2x4cos4xz max1 1261072sin 2x4cos2x12 cosx72sin 2x4cos2xsin2x72sin 2x2 sin 2x1sin 2x26由于函数zu126在11, 中的最大值为：最小值为：z min1 12661时 y 取得最小值 6故当 sin 2 x1时 y 取得最大值 10,当 sin 2 x【点评】：此题重点考察三角函数基本公式的变形,配方法,符合函数的值域及最值；【

26、突破】：利用倍角公式降幂,利用配方变为复合函数,重视复合函数中间变量的范畴是关键；25、解：f x 1cos2x3sin 2x3sin 2x1 2cos2x11,2222sin2x16sin2x2由于函数f x 的最小正周期为 ,且0 ,所以2 2,解得1由得f x sin2x162由于0 2,所以2x7, 所以1666632因此0sin 2x13,即f x 的取值范畴为0,3262214 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 26、解：fx21cos2xsin2x1fx的最大值2sin2xcos2x22sin2xc

27、os4cos2xsin422sin2x42由题设,函数fx的最小正周期是2,可得22,所以2 2由知,fx2sin4x42当4x422k,即x16kkZ时,sin4x4取得最大值1,所以函数2是22,此时 x 的集合为x|x16k,kZ227、解：1f x cos2x32sinx4sinx41cos2x3sin 2xsinxcos sinxcos 223,11cos2x3sin 2xsin2xcos2x221cos2x3sin 2xcos2x22sin2x6周期T222x, 12 2,2x63,56由于f x sin2x6在区间 12,3上单调递增,在区间3,2上单调递减,所以当x3时,f x 取最大值 1 ；又f123f21,22当x12时,f x 取最小值3所以 函数f x 在区间 12,2上的值域为2 ；215 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 28、解：f x sinx3 cosx2sinx3222f x 的最小正周期T2412当sinx1时,f x 取得最小值2；当sinx 21时,f x 取得最大值2332由知f x 2sinx又g x