2022年高三第二次模拟考试数学试题含答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 江苏省南京、盐城市高三其次次模拟考试数 学参考公式：柱体的体积公式：VSh,其中 S 为柱体的底面积,h 为柱体的高圆柱的侧面积公式：S 侧2Rh,其中 R 为圆柱的底面半径,h 为圆柱的高一、填空题（本大题共 14 小题,每道题 5 分,计 70 分. 不需写出解答过程,请把答案写在答题纸的指定位置上）1函数 fx lnx1x的定义域为2已知复数 z1 2i,z2a2ii 为虚数单位, a R如 z1z2为实数,就 a 的值为3某地区训练主管部门为了对该地区模拟考试成果进行分析,随机抽取了 150 分到 450 分之间的1000 名同学的成果

2、,并依据这 1000 名同学的成果画出样本的频率分布直方图 如图 ,就成果在频率300,350内的同学人数共有组距a0.005 0.004 0.003 0.001 150 200 250 300 350 400 450 成果 /分O 第 3 题图 4盒中有3 张分别标有1,2,3 的卡片从盒中随机抽取一张登记号码后放回,再随机抽取一张kk 1 N 登记号码,就两次抽取的卡片号码中至少有一个为偶数的概率为开头5已知等差数列 an 的公差 d 不为 0,且 a1, a3,a7成等比数列,就a1 d的值为k1 6执行如下列图的流程图,就输出的k 的值为S 1 2 S Sk1S6Y 输出 k 终止第

3、6 题图 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7函数 fx AsinxA, 为常数, A0,0,0的图象如下图所示,就 y f 3的值为2 O11x612 2 第 7 题图 2 28在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 xa 2yb 21a0,b0的两条渐近线与抛物线 y 2 4x 的准线相交于 A,B 两点如AOB 的面积为 2,就双曲线的离心率为9表面积为 12 的圆柱,当其体积最大时,该圆柱的底面半径与高的比为10已知 | OA|1,| OB|2, AOB2 3, OC1 2 OA1 4 OB,就 OA与 OC

4、的夹角大小为 11在平面直角坐标系 xOy 中,过点 P5,3作直线 l 与圆 x 2y 24 相交于 A,B 两点,如 OAOB,就直线 l 的斜率为12已知 fx是定义在 R 上的奇函数, 当 0 x1 时,fxx2,当 x0 时,fx1fxf1,且如直线 y kx 与函数 yfx的图象恰有5 个不同的公共点,就实数k 的值为13在 ABC 中,点 D 在边 BC 上,且 DC 2BD,ABAD AC3k1,就实数 k 的取值范畴为14设函数 fxax sinx cosx如函数 fx的图象上存在不同的两点 A,B,使得曲线 yfx在点 A, B 处的切线相互垂直,就实数 a 的取值范畴为二

5、、解答题（本大题共 6 小题,计 90 分.）15本小题满分 14 分 如图,在四棱锥 PABCD 中,底面 ABCD 为矩形,平面 PAB平面 ABCD ,PAPB,BPBC,E 为 PC 的中点P （1）求证： AP 平面 BDE；（2）求证： BE平面 PACB A E C D 第 15 题图 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 16本小题满分 14 分 在平面直角坐标系xOy 中,角 的顶点是坐标原点,始边为x 轴的正半轴,终边与单位圆Ox 交于点 Ax1 ,y1 ,4, 2将角 终边绕原点按逆时针方向旋转

6、4,交单位圆于点Bx2,y2（1）如 x13 5,求 x2；y B （2）过 A,B 作 x 轴的垂线,垂足分别为C,D,记AOC 及A BOD 的面积分别为S1,S2,且 S14 3S2,求 tan 的值D O C 17本小题满分14 分 第 16 题图 如图,经过村庄A 有两条夹角为60的大路 AB,AC,依据规划拟在两条大路之间的区域内建一工厂 P,分别在两条大路边上建两个仓库M、N 异于村庄 A,要求 PMPNMN2单位：千米如何设计,使得工厂产生的噪声对居民的影响最小即工厂与村庄的距离最远C P N A M B 第 17 题图 18 本小题满分16 分 F 1,F2,焦在平面直角坐标

7、系xOy 中,已知椭圆2 Cx a 22 yb 21a b0的左、右焦点分别为距为 2,一条准线方程为x2 P 为椭圆 C 上一点,直线PF 1 交椭圆 C 于另一点 Q（1）求椭圆 C 的方程；（2）如点 P 的坐标为 0,b,求过 P,Q,F2 三点的圆的方程；名师归纳总结 （3）如 F1P QF1,且 1 2,2,求 OPOQ的最大值第 3 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 19本小题满分 16 分 已知函数 fxaxbx e x,a,bR,且 a0（1）如 a2,b1,求函数 fx的极值；（2）设 gx ax1e xfx 当 a

8、1 时,对任意 x0, ,都有 gx1 成立,求 b 的最大值； 设 gx为 gx的导函数如存在20本小题满分 16 分 x1,使 gxgx0 成立,求b a的取值范畴已知数列 an 的各项都为正数,且对任意 nN*,a2n1,a2n,a2n1成等差数列,a2n,a2n1,a2n2成等比数列（1）如 a2 1,a53,求 a1 的值；（2）设 a1 a2,求证：对任意n N* ,且 n2,都有an1 ana2 a1名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - - - - - 南京市 2022 届高三年级其次次模拟考试数学附加题 2022.03

9、留意事项：1附加题供选修物理的考生使用2本试卷共40 分,考试时间30 分钟3答题前,考生务必将自己的姓名、学校、班级、学号写在答题纸的密封线内试题的答案 写在答题纸上对应题目的答案空格内考试终止后,交回答题纸21【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做 2 题,每道题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指 作答解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤A选修 41：几何证明选讲如图,ABC 为圆的内接三角形,ABAC,BD 为圆的弦,且BD AC过点 A 作圆的切线与DB 的延长线交于点E,AD 与 BC 交于点 FE B A F C （1）求证：四边形ACBE 为平行四边形；（2）如 A

10、E6,BD5,求线段 CF 的长 . D B选修 42：矩阵与变换2,其对应的一个特点向量为第 21题 A 图已知矩阵 A1a b的一个特点值为2 11（1）求矩阵 A；（2）如 Axa b,求 x,y 的值yC选修 44：坐标系与参数方程在极坐标系中,求曲线2cos 关于直线 4 R对称的曲线的极坐标方程D选修 45：不等式选讲名师归纳总结 已知 x, yR,且 |xy|1 6,|xy|1 4,求证： |x5y|1第 5 页,共 21 页【必做题】第22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分请在答卷卡指定区域内 作答解答应写出- - - - - - -精选学习资料 - - - -

11、 - - - - - 文字说明、证明过程或演算步骤22（本小题满分 10 分）某中学有 4 位同学申请 A,B,C 三所高校的自主招生如每位同学只能申请其中一所高校,且申请其中任何一所高校是等可能的（1）求恰有 2 人申请 A 高校的概率；（2）求被申请高校的个数X 的概率分布列与数学期望EX23（本小题满分10 分）设 fn是定义在 N*上的增函数, f45,且满意：任意 nN* ,fn Z； 任意 m,nN*,有 fmfnfmnfmn1（1）求 f1,f2,f3 的值；（2）求 fn的表达式名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 21 页精选学习资料 - - - - - -

12、 - - - 参考答案一、填空题：本大题共14 小题,每道题5 分,计 70 分. 52 22 64 71 10,1 24 3300 45 985 91 2106011 1 或7 23122135 3,7 3 141,1 二、解答题15证：（1）设 ACBDO,连结 OE名师归纳总结 由于 ABCD 为矩形,所以O 是 AC 的中点4 分第 7 页,共 21 页由于 E 是 PC 中点,所以OE AP 由于 AP / 平面 BDE, OE平面 BDE,6 分所以 AP 平面 BDE （2）由于平面PAB平面 ABCD ,BCAB,平面 PAB平面 ABCD AB,8 分所以 BC平面 PAB

13、由于 AP平面 PAB,所以 BCPA12 分由于 PBPA,BCPB B,BC,PB平面 PBC,所以 PA平面 PBC 由于 BE平面 PBC,所以 PABE14 分由于 BPPC,且 E 为 PC 中点,所以BEPC由于 PAPC P,PA,PC平面 PAC,所以 BE平面 PAC 16解：（1）解法一：由于x1 3 5,y10,所以 y11x14 5所以 sin4 5,cos3 5 2 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 所以 x2cos 4coscos 4 sinsin 42 10 6 分名师归纳总结 解法二：由于x13 5,y10,所以 y

14、11x 14 5A3 5,4 5,就 OA3 5,4 5, 2 分第 8 页,共 21 页OB x2,y2,由于 OA OB | OA | OB | cos AOB,所以 3 5x24 5y22 4 分2又 x2 2y221,联立消去y2 得 50 x2230 2x27 0 解得 x210或7 2 10,又 x2 0,所以 x22 10 6 分解法三：由于x13 5, y1 0,所以 y11 x 14 5因此 A3 5, 4 5,所以 tan4 3 2 分所以 tan 41 tan 7,所以直线OB 的方程为 y 7x 4 分1 tan由y 7x,x 2y 21得 x2 10,又 x20,所以

15、 x22 10 6 分（2）S11 2sincos 1 4sin2 8 分由于 4, 2,所以 4 2, 3 4 所以 S21 2sin 4cos 41 4sin2 21 4cos2 10 分由于 S14 3S2,所以 sin2 4 3cos2,即 tan24 3 12 分所以1tan 2tan 2 4 3,解得 tan2 或 tan 1 2由于 4, 2,所以 tan2 14 分17、解法一：设AMN,在 AMN 中,MN sin60 AMsin120由于 MN 2,所以 AM43 3 sin120 2 分在 APM 中, cosAMPcos60 6 分AP 2AM2MP22 AM MP c

16、osAMP16sin2120 42 2433sin120 cos60 3 8 分16 3 sin26016 33sin 60 cos60 4 8 31 cos 2120833sin21204 8 33sin2 120cos 2 12020320 316 3 sin2150,0,120 12 分- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当且仅当 2150270,即 60时, AP 2 取得最大值12,即 AP 取得最大值2 3答：设计 AMN 为 60 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 14分解法二 构造直角三角形：C 设 PMD ,在 PMD 中,M P B

17、 PM2, PD2sin,MD 2cos 2 分N D 在 AMN 中, ANM PMD ,sin60 AM sin,AM43 sin, AD43 3 sin2cos, 时,结论也正确2 A 6 分第 17 题图AP 2AD2PD243 3 sin 2cos22sin 2 16 3 sin 283 3 sincos4cos2 4sin2 8 分16 31cos2 24 3 3 sin2443 3 sin28 3cos220320 316 3 sin2 6,0,2 3 12 分当且仅当 2 6 2,即 3时, AP2取得最大值12,即 AP 取得最大值2 3此时 AMAN2, PAB30 14

18、分解法三：设AMx,AN y, AMN 在 AMN 中,由于 MN 2, MAN 60,名师归纳总结 所以 MN2 AM2AN22 AM AN cosMAN,y2xy第 9 页,共 21 页即x 2y 22xycos60x24 2 分x 2 x2xy由于sin60 AN sin,即sin60 y sin,所以sin3y,cos x24y242 2 x4x2xy4 6 分2xy33y cos AMP cos 60 1 2 cos 3sin 1 22424x2y 48 分在 AMP 中, AP 2AM2PM22 AM PM cos AMP,- - - - - - -精选学习资料 - - - - -

19、 - - - - 即2 APx242 2 xx2yx24xx2y442xy 12 分由于 x 2y 2xy 4,4xyx 2y 22xy,即 xy 4所以 AP 212,即 AP 2 3当且仅当 xy2 时, AP 取得最大值 2 3答：设计 AMAN2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分解法四 坐标法 ：以 AB 所在的直线为x 轴, A 为坐标原点,建立直角坐标系设 Mx1,0, Nx2,3x2, Px0,y0 MN 2, x1x2 23x2 24 2 分MN 的中点 K x1x22,2 x23 MNP 为正三角形,且 MN 2 PK3,PK MNPK2x0x1x22 2

20、y02 x2 3 23,3kMN kPK 1,即 x2x1 3x2x0x1x2 y02 x22 1, 6 分2y02 x2x1x2 x0x 1x2 2 , y02 x2 3 2x1x23x 22 x0x1x2 2 221x1x2 3x 2 x0x1x2 2 23,即4 3x 2x0x1x2 23, x0x1 x2 2 29 4x 2x0x1x2 20 x0x1x2 23 2x2,x01 2x12x2, y02 x13 8 分AP 2x2 0y2 02x21 2x1 23 4x 1x2 14x2 22x1x2 44x1x244 212, 12 分即 AP2 3答：设计 AM AN2 km 时,工

21、厂产生的噪声对居民的影响最小 14 分解法五 变换法 ：以 AB 所在的直线为x 轴, A 为坐标原点,建立直角坐标系设 Mx1,0,Nx2,3x2,Px0, y04 分yN C P MN 2, x1x2 23x2 24即 x2 14x2 242x1x242x1x24x1x2,即 x1x22 x名师归纳总结 A M B 第 10 页,共 21 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - MNP 为正三角形,且MN 2 PK3,PK MN 顺时针方向旋转 MN60后得到 MP 8 分12 分 x0x1,y0,MN x2x1,3x213x2x1x0x1,即223

22、213x2y02x0x11 2x2x13 2x2,y03 2 x2x13 2 x2x02x21 2x1, y03 2 x1 AP 2x 20y02x21 2x1 23 4x2 1x2 214x 2 2x1x2 44x1x244 2 12, 即 AP2 3答：设计 AM AN2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 FC 14 分P B 解法六 几何法 ：由运动的相对性,可使PMN 不动,点 A 在运动E由于 MAN 60,点 A 在以 MN 为弦的一段圆弧优弧 上, 4 分设圆弧所在的圆的圆心为F,半径为 R,N 由图形的几何性质知：AP 的最大值为PF R 8 分在 AMN 中,由正弦定

23、理知：MN sin60 2R,A M R2 3, 10 分FM FNR2 3,又 PM PN, PF 是线段 MN 的垂直平分线设 PF 与 MN 交于 E,就 FE2FM2ME2 R21213名师归纳总结 即 FE 3 3,又 PE3 y12 第 11 页,共 21 页PF4 3, AP 的最大值为PF R2314 分答：设计 AM AN2 km 时,工厂产生的噪声对居民的影响最小 18、（1）解：由题意得2c2,2 a c2,解得 c1,a22,所以 b2a2c212所以椭圆的方程为x22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 2 分（2）由于 P0

24、,1, F11,0,所以 PF1的方程为 xy10名师归纳总结 由xy10,2 xy21,2解得x0,或x4 3,所以点 Q 的坐标为 4 3, 1 3 4 分第 12 页,共 21 页y1,y1 3,解法一：由于kPF 1kPF2 1,所以PQF 2 为直角三角形 6 分由于 QF 2 的中点为 1 6,1 6,QF25 2,所以圆的方程为x12 y12 6625 18 8 分解法二：设过P,Q,F2 三点的圆为x2y2DxEyF0,1E F0,D1 3,就1DF 0,解得E1 3,17 94 3D1 3EF0,F4 3所以圆的方程为x2y21x1y43330 8 分（3）解法一：设Px1,

25、y1,Qx2,y2,就 F 1P x11,y1, QF1 1x2, y2由于 F 1P QF1 ,所以x111x2,即x1 1x2,y1 y2,y1 y2,所以1 x22 2y 21,解得x22 x 222y2 2 1,13 2 12 分所以 OP OQ x1x2y1y2x21x2y 2 2x2 2 1x2 213 22113 27 45 81 14 分由于 1 2,2 ,所以 1 21 2,当且仅当1 ,即 1 时,取等号所以 OP OQ 1 2,即 OP OQ 最大值为 1 2 16 分解法二：当PQ 斜率不存在时,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - -

26、 在2 x 2 y 2 1 中,令 x 1 得 y2 2所以OP OQ1 1221,此时11,2 22222当 PQ 斜率存在时,设为k,就 PQ 的方程是 y kx1,由ykx1,2 x 2y 21 得12k2x 2 4k2x2k220,4韦达定理x 1x2=14k22,x x2=2k2k2 2k122设 Px1,y1,Qx2,y2 ,就OP OQx x 1 2y y 12x x 1 2k2x 11x 21 8k21x x 2k2x 1x2k2k2k212k22k214 k2212 k22k1,26 分k2212k21215k21；1222O P O Q的最大值为1 2,此时219、解：（1

27、）当 a 2,b1 时, f x21 xe x,定义域为 , 00, 名师归纳总结 e x所以fx1x12x1 2 x第 13 页,共 21 页 2 分1 2,令 f x0,得 x1 1, x21 2,列表x,1 1,0 0,1 2 1 2 f x 00极微小f x 大值值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 表 知fx 的 极 大 值 是f 1 e 1 , fx 的 极 小 值 是f 1 2 4 e 4 分（2） 由于 g xaxae xf xaxb x2ae x,当 a 1 时, g xxb x2e x由于 g x 1 在 x（ 0,）上恒成立,所

28、以 bx22xx e x在 x（ 0,）上恒成立x1 8 分记 hxx22x x e x（x0）,就 hxx12e x e当 0x 1 时, hx0,hx在（ 0, 1）上是减函数；当 x1 时, hx0,hx在（ 1,）上是增函数所以 hxmin h1 1 e1x, 10 分所以 b 的最大值为 1e1解法二：由于g xaxae xf xaxb x2ae当 a1 时, g x xb x2ex由于 g x1 在 x（ 0,）上恒成立,0所以g2b2 e0,因此b2 6 分gx1x b2e x xb x2exx1x 2 2bexx由于 b0,所以：当0 x1 时, gx 0,gx在（ 0,1）上

29、是减函数；当 x 1 时, gx0,gx在（ 1,）上是增函数1 所以gxming11be 8 分由于 g x1 在 x（ 0,）上恒成立,名师归纳总结 1所以 1 be11,解得 b 1e11e第 14 页,共 21 页因此b的最大值为 10 分解法一：由于g xaxb x2ae x,所以 g xbx 2axb xaex- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由 g xg x0,得 axb x2ae x b x 2axbxae x0,整理得 2ax 33ax 22bxb0存在 x1,使 g xg x0 成立,等价于存在x1,2ax33ax22bxb0成立 12 分由于 a0,所以b