2022年解析几何求轨迹方程的常用方法.docx

《2022年解析几何求轨迹方程的常用方法.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年解析几何求轨迹方程的常用方法.docx（31页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、精选学习资料 - - - - - - - - - 解析几何求轨迹方程的常用方法求轨迹方程的一般方法：1. 定义法：假如动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线如圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义,就可先设出轨迹方程,再依据已知条件,待定方程中的常数,即可得到轨迹方程； 2. 直译法：假如动点 P的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判定,但点 P满意的等量关系易于建立,就可以先表示出点 P 所满意的几何上的等量关系,再用点 P 的坐标 x,y表示该等量关系式,即可得到轨迹方程； 3. 参数法： 假如采纳直译法求轨迹方程难以奏效,就可寻求引发动点 P 运动的某个几何量 t ,以此量作为参变

2、数,分别建立 P 点坐标 x,y 与该参数 t 的函数关系 x f t ,yg t ,进而通过消参化为轨迹的一般方程 Fx,y 0； 4. 代入法相关点法 ：假如动点 P的运动是由另外某一点 P 的运动引发的,而该点的运动规律已知,该点坐标满意某已知曲线方程 ,就可以设出 Px,y,用 x,y表示出相关点 P 的坐标,然后把 P 的坐标代入已知曲线方程,即可得到动点 P 的轨迹方程；5：交轨法： 在求动点轨迹时, 有时会显现要求两动曲线交点的轨迹问题,这种问题通常通过解方程组得出交点含参数 的坐标, 再消去参数求得所求的轨迹方程假设能直接消去两方程的参数,也可直接消去参数得到轨迹方程,该法常常

3、与参数法并用；一：用定义法求轨迹方程例 1：已知ABC 的顶点 A,B 的坐标分别为-4 ,0,4,0,C 为动点,且满意sinBsinA5sinC,求点 C4的轨迹；1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2： 已知ABC 中,A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c,假设a,c,b依次构成等差数列,且acb,AB2,求顶点 C 的轨迹方程 . 的圆心为M1,圆的圆心为M2,一动圆与这两个圆外切,求动圆【变式】：已知圆圆心 P 的轨迹方程；【变式】：C：x32y216内部一点A 3, 0与圆周上动点Q

4、连线 AQ 的中垂线交CQ 于 P,求点 P 的轨迹方程.二：用直译法求轨迹方程例 3：一条线段两个端点A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,且BM=a ,AM=b ,求 AB 中点 M 的轨迹方程？2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式】 :动点 Px,y到两定点A 3,0和 B3,0的距离的比等于2即|PA|2,求动点 P 的轨迹方|PB|程？三：用参数法求轨迹方程此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最终消参,化为一般方程；留意参数的取值范畴；例 4过点 P2,4作两条相互垂直的直线l1,

5、l2,假设 l1 交 x 轴于 A 点, l2 交 y 轴于 B 点,求线段AB 的中点 M的轨迹方程；例 5: 过抛物线y22pxp0的顶点 O 作两条相互垂直的弦OA 、 OB ,求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程 . 【变式】 过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A4, 0,作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 四：用代入法求轨迹方程例 6.点 B 是椭圆x2:y21 上的动点,A 2 a, 为定点,求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程；a22 b例

6、7: 如图,从双曲线Cx2y21上一点 Q 引直线l:xy2的垂线,垂足为N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程 . y P 【变式】 如下图,已知P4, 0是圆 x2+y 2=36 内的一点, A、B 是圆上两动点,且满意Q N x O APB=90 ,求矩形APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程yBQRAoPx五、用交轨法求轨迹方程例 8. 已知椭圆x2y21abo的两个顶点为A 1a ,0,A a 2 ,0,与 y 轴平行的直线交椭圆于P1、P2,求 A1P1a2b2与 A2P2交点 M的轨迹方程 .4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - -

7、- - - - - - - 例 9： 如右图, 垂直于 x 轴的直线交双曲线x2y21于 M 、N 两点,A 1, A 2为双曲线的左、 右顶点,求直线A1Ma2b2与A2N的交点 P 的轨迹方程,并指出轨迹的外形. y M P A 1 O A 2 x N 六、用点差法求轨迹方程2例 10. 已知椭圆 xy 2 1,21求过点 P 1,1 且被 P 平分的弦所在直线的方程；2 22求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程；3过 A 2,引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程；课后作业ABC 中, B,C 坐标分别为 -3 ,0,3,0,且三角形周长为16,就点 A 的轨迹方程是 _. x my

8、1 0 与 mx y 1 0 的交点的轨迹方程是 _ . x-12+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A,就弦的中点 M 的轨迹方程是 _ 5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - m 随便变化时,就抛物线yx22 m1x2 m1的顶点的轨迹方程为_；5:点 M 到点 F4,0的距离比它到直线x50 的距离小 1,就点 M 的轨迹方程为 _；ABC 重心 P 的6:求与两定点 O O 1,0、A30,距离的比为1： 2 的点的轨迹方程为_ y24x的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于A 、B 两点,动点C 在抛物

9、线上,求轨迹方程；8. 已知动点 P 到定点 F1,0和直线 x=3 的距离之和等于4,求点 P 的轨迹方程；l 和抛物线yx24x6交于 A、B 两点,求线段AB的中点 M的轨迹方程；10、已知定点A 3, 0 ,P 是圆 x 2 + y2 = 1 上的动点, AOP 的平分线交AP 于 M,求 M 点的轨迹；6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11、已知常数a0,经过定点A0,a 以m , a 为方向向量的直线与经过定点B0,a ,且以n1,2a 为方向向量的直线相交于点,其中 R 求点的轨迹的方程,它是什么

10、曲线； 假设直线l:xy1与曲线相交于两个不同的点、,求曲线的离心率的范畴OB ；12、过点M 2,0,作直线 l 交双曲线x2y21于 A 、B 不同两点,已知OPOA1、求点 P 的轨迹方程,并说明轨迹是什么曲线；2、是否存在这样的直线,使|OP| |AB| .假设存在,求出l 的方程；假设不存在,说明理由；补充例题：y 2 = 4 p x p 0 的顶点作相互垂直的两弦OA、OB,求抛物线的顶点O 在直线 AB 上的射影 M 的轨迹；7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2.已知椭圆x2y2=1ab0,点 P

11、 为其上一点, F1、F 2 为椭圆的焦点,F 1PF2 的外角平分线为l,点 F 2 关于 la2b2的对称点为 Q,F 2Q 交 l 于点 R1当 P 点在椭圆上运动时,求 R 形成的轨迹方程；2设点 R 形成的曲线为 C,直线 l y=kx+ 2 a与曲线 C 相交于 A、B 两点,当AOB 的面积取得最大值时,求 k 的值3如图 11-5- 1,已知圆 O ：x2y225,点A3, 0,B3, 0, C 为圆 O 上任意一点,直线CD 与 BC 垂直,并交圆 O 于另一点 D . PADPBC ,求点 P 的轨迹方程 . D y C B x 1求证： ADBC ；P 2假设点 P 在线

12、段 CD 上,且A O 图 11-5-1 8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 求轨迹方程的常用方法 答案例 1： 由sinBsinA5sinC,可知ba5 c 410,即|AC|BC|10,满意椭圆的定义；令椭圆方程为；4x 2y21,就a,5c4b3,就轨迹方程为x2y21x5 ,图形为椭圆不含左,右顶点a2b2259C y 例 2：解：如右图,以直线AB 为 x 轴,线段 AB 的中点为原A O .在此椭圆中,aB x 1,b3,点建立直角坐标系. 由题意,a,c,b构成等差数列,2cab,即|CA|CB|2

13、|AB|4,又CBCA,C 的轨迹为椭圆的左半部分2 c故 C 的轨迹方程为x2y21 x0 ,x2. 43,；【变式】 解：设动圆的半径为R,由两圆外切的条件可得：；动圆圆心P 的轨迹是以M1、M2为焦点的双曲线的右支,c=4, a=2,b2=12；故所求轨迹方程为2: 一动圆与圆O：x2y21外切,而与圆C：x2y26x80内切,那么动圆的圆心M的轨迹是：A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支【解答】 令动圆半径为R,就有|MO|R1,就 |MO|-|MC|=2 ,满意双曲线定义；应选D；|MC|R1二：用直译法求曲线轨迹方程例 3：一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和

14、B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动,求AB 中点P 的轨迹方程？解 设 M 点 的 坐 标 为 x , y 由 平 几 的 中 线 定 理 ： 在 直 角 三 角 形 AOB 中 ,1 1OM= AB 2 a a ,2 2x 2 y 2 a , x 2 y 2 a 2M 点的轨迹是以 O 为圆心, a 为半径的圆周 . 【点评】 此题中找到了 OM= 1 AB 这一等量关系是此题胜利的关键所在；一般直译法有以下几种情形：21代入题设中的已知等量关系：假设动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出,就采纳直接将数量关系代数化9 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 17 页精选学

15、习资料 - - - - - - - - - 的方法求其轨迹；2列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系,需选定适当位置的坐标系,再依据题设条件列出等式,得出其轨 迹方程；3运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式,使其公式中含有动点坐标,并作相应的恒等变换即得其轨迹方 程；4借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显,这时可借助平面几何中的有关定理、性质、勾 股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等,从而分析出其数量的关系,这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. A 3,0和 B3,0的距离的比等于2即|PA|2,求动点 P 的轨迹【变式 2】:动点 Px,y到两定

16、点|PB|方程？【解答】 |PA|=x3 2y2|,PB|x323y2y24 x3 24y2代入|PA|x32y22得2x2|PB|x3 2y2化简得 x 52+y2=16,轨迹是以 5,0为圆心, 4 为半径的圆 . 三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数,求出参数方程,最终消参,化为一般方程；留意参数的取值范畴；例 4【解析】分析 1：从运动的角度观看发觉,点M的运动是由直线l 1 引发的,可设出l 1的斜率 k作为参数,建立动点M坐标 x,y满意的参数方程；解法 1：设 Mx, y,设直线 l 1 的方程为 y4kx2,k 由l1l2,就直线l2 的方程为y41x2k

17、l1与x 轴交点A的坐标为24,kl2与y 轴交点B的坐标为0,2,k M为 AB的中点,x22412 k 为参数kky42221kk消去 k,得 x2y50；另外,当 k0 时, AB中点为 M1,2,满意上述轨迹方程；当 k 不存在时, AB中点为 M1,2,也满意上述轨迹方程；综上所述, M的轨迹方程为x2y50；k1、k2是否存在,故而分情形争论,能否躲开争论呢？只需利用分析 2：解法 1 中在利用k1k2 1 时,需留意10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - PAB为直角三角形的几何特性：|MP|1|A

18、B|2解法 2：设 Mx, y,连结 MP,就 A2x,0,B0,2y, l 1l 2,PAB为直角三角形21|AB|y2由直角三角形的性质,MP|2x22y42122x2化简,得 x2y50,此即 M的轨迹方程；分析 3：设 Mx,y,由已知 l 1l 2,联想到两直线垂直的充要条件：k 1k 2 1,即可列出轨迹方程,关键是如何用 M点坐标表示 A、B两点坐标；事实上,由 M为 AB的中点,易找出它们的坐标之间的联系；解法 3：设 Mx, y, M为 AB中点, A2x,0, B0,2y；又 l1,l2 过点 P2,4,且 l1 l2 PAPB,从而 kPAk PB 1,x2y50而kPA

19、40,k42yPB2022x24x42y1,化简,得22留意到 l1x 轴时, l2y 轴,此时 A2, 0,B 0,4中点 M1,2,经检验,它也满意方程 x2y50 综上可知,点 M的轨迹方程为 x2y 50；【点评】1） 解法 1 用了参数法,消参时应留意取值范畴；解法2,3 为直译法,运用了kPAkPB 1,|MP|1|AB|这2些等量关系；用参数法求解时,一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量,如时间,速度,距离,角度,有向线段的数量,直线的斜率,点的横,纵坐标等；也可以没有详细的意义,选定参变量仍要特殊留意它的取值范畴对动点坐标取值范畴的影响例 5: 解：设Mx,y,直线 OA

20、的斜率为kk0,就直线 OB 的斜率为1.直线 OA 的方程为ykx,由y2kxpxky2解得x2p,即A2p,2p,同理可得B 2pk2,2pk . k2yk2k2pk由中点坐标公式,得xppk2,消去 k ,得y2p x2p ,此即点 M 的轨迹方程 . k2yppkk【变式】 过圆 O：x2 +y2= 4 外一点 A4, 0,作圆的割线,求割线被圆截得的弦BC 的中点 M 的轨迹；11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解法一：“ 几何法”设点 M 的坐标为 x,y,由于点 M 是弦 BC 的中点,所以 O

21、M BC, 所以 |OM | | | | | , 即x2 +y 2+x 2 +y 2 =16 化简得：x22+ y 2 =4. 由方程 与方程 x2 +y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1,所以点 M 的轨迹方程为 x22+ y 2 =4 0x1；所以 M 的轨迹是以 2,0为圆心,2 为半径的圆在圆 O 内的部分；解法二：“ 参数法”设点 M 的坐标为 x,y,Bx 1,y1,C x2,y2直线 AB 的方程为 y=kx 4, 由直线与圆的方程得1+k2x2 8k2x +16k24=0.*, 2由点 M 为 BC 的中点, 所以 x= x 1 x 2 4 k2 .1 , 又 OM BC,所

22、以 k= y.2由方程 122 1 k x1消去 k 得 x 22+ y2 =4,又由方程 * 的 0 得 k2 ,所以 x1. 3所以点 M 的轨迹方程为x22+ y 2 =4 0x 1所以 M 的轨迹是以 2,0为圆心,2 为半径的圆在圆 O 内的部分；四：用代入法等其它方法求轨迹方程例 6.点 B 是椭圆x2y21 上的动点,A 2 a, 为定点,求线段 AB 的中点 M 的a2b 2轨迹方程；分析： 题中涉及了三个点A、B、M,其中 A 为定点,而B、M为动点,且点B 的运动是有规律的,明显M的运动是由 B 的运动而引发的,可见M、B 为相关点,故采纳相关点法求动点M的轨迹方程；【解析

23、】 设动点 M的坐标为 x,y,而设 B 点坐标为 x 0,y 0就由 M为线段 AB中点,可得x022 axx02x2a即点 B 坐标可表为 2x2a,2y2xa2 a22y21,x y020yy02y又点Bx 0,y0在椭圆x2y21 上x02y021从而有a2b2a2b22N b2整理,得动点M的轨迹方程为4 x2a 24y21y P ab2【点评】 代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系Q 例 7 如图,从双曲线C:x2y21上一点 Q 引直线O l:xy2的垂线,垂足为N ,求线段 QN 的中点 P 的轨迹方程 . 解：设Px ,y ,Qx 1y 1,就N2xx 1, 2

24、yy 1.N 在直线 l 上,12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2xx 12yy 1.2 又PNl得yy 1,1即xyy 1x 10.xx 13 x y 2联 解 得 x 12 . 又 点 Q 在 双 曲 线 C 上 , 3 x y 2 2 3 y x 2 2 1, 化 简 整 理 得 ：y 1 3 y x 2 2 222 x 2 2 y 2 2 x 2 y 1 0,此即动点 P 的轨迹方程 . 【变式】 如下图, 已知 P4,0是圆 x2+y 2=36 内的一点, A、B 是圆上两动点, 且满意 APB=

25、90 ,求矩形 APBQ的顶点 Q 的轨迹方程【解析】：设 AB 的中点为R,坐标为 x,y,就在Rt ABP 中, |AR|=|PR|又由于 RyBQAx是弦 AB 的中点,依垂径定理在 Rt OAR 中, |AR|2=|AO| 2|OR|2=36x 2+y 2R又 |AR|=|PR|=x4 2y224x10=0 oP所以有 x42+y 2=36x2+y 2,即 x 2+y因此点 R 在一个圆上,而当R 在此圆上运动时,Q 点即在所求的轨迹上运动设 Qx,y,Rx1,y1,由于 R 是 PQ 的中点,所以x 1=x24,y1y20, 代入方程 x2+y 24x10=0,得x242y24x24

26、10=0 2整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程用交轨法求轨迹方程x2y21a2b2a2,例 9 解：设Px,y及Mx 1,y 1,Nx 1,y 1,又A 1a 0,A 2 a0, ,可得直线A1M的方程为yx 1y 1axa ；直线A2N的方程为yx 1y 1xa . a 得y22 x 12 y 122 xa2. 又x22 y 1,12 y 1b2a2x2,代入得y2b2x21aa2b2212aa化简得x2y21,此即点 P 的轨迹方程 . 当ab时,点 P 的轨迹是以原点为圆心、a 为半径的圆； 当a22b时,ab点 P 的轨迹是椭圆 . 六、用点差法求轨迹方程例 10. 分析：

27、此题中四问都跟弦中点有关,因此可考虑设弦端坐标的方法解： 设弦两端点分别为Mx 1,y 1,Nx 2,y 2,线段 MN 的中点Rx,y,就13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - x 1 22 y 1 22,得x 1x2x 1x 22y 1y 2y 1y 202 x 22 2 y 22,y1x 2,就上式两端同除以x 1x 2,有x 1x 22y1y 2y 1y20,由题意知x 1x 1x 22 x,x 1x 2y 1y 22 y,x2yy 1y202x4y30 将代入得x 1x21将x1代入,得y 1y21 2

28、,故所求直线方程为：22x 1x2将代入椭圆方程2 x2y22得6y26y10,364610符合题意,2x4y30为所求442将y 1y 22代入得所求轨迹方程为：x4y0椭圆内部分椭圆内部分x 1x 2y1代入得所求轨迹方程为：x22y22x2y03将y 1y2x 1x 2x2课后作业：【正确解答】ABC 为三角形,故A, B, C 不能三点共线；轨迹方程里应除去点50,.,50 ,即轨迹方程为x2y21 x52516. . 2.两条直线xmy10与mxy10的交点的轨迹方程是【解答】 :直接消去参数 m 即得 交轨法 :x2y2xy03:已知圆的方程为x-12+y2=1,过原点 O 作圆的

29、弦 0A,就弦的中点M 的轨迹方程是【解答】 :令 M 点的坐标为 x, y,就 A 的坐标为 2x, y,代入圆的方程里面得:x12y21x0244:当参数 m 随便变化时,就抛物线yx22 m1x2 m1的顶点的轨迹方程为m,便可得到动点的轨迹【分析】：把所求轨迹上的动点坐标x,y 分别用已有的参数m 来表示,然后消去参数方程；【解答】：抛物线方程可化为xm12ym52414 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 它的顶点坐标为xm1,ym5消去参数 m 得： yx3244故所求动点的轨迹方程为 4 x 4 y

30、3 0；5:点 M 到点 F4,0的距离比它到直线 x 5 0 的距离小 1,就点 M 的轨迹方程为【分析】：点 M 到点 F4,0的距离比它到直线 x 5 0 的距离小 1,意味着点 M 到点 F4,0的距离与它到直线 x 4 0的距离相等；由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程；【解答】：依题意,点 M 到点 F4,0的距离与它到直线 x 4 的距离相等；就点 M 的轨迹是以 F4,0为焦点、 x 4 为准线的抛物线；故所求轨迹方程为 y 2 16 ；6:求与两定点 O O 1,0、A 30,距离的比为 1： 2 的点的轨迹方程为 _ 【分析】 :设动点为 P,由题意 PO 1,就依照点

31、 P 在运动中所遵循的条件,可列出等量关系式；PA 2【解答】：设 P x,y 是所求轨迹上一点,依题意得 PO 1PA 22 2x y 1 2 2由两点间距离公式得：x 3 2y 2 2 化简得： x y 2 x 3 027 抛物线 y 4 x 的通径过焦点且垂直于对称轴的弦与抛物线交于 A、B 两点,动点 C 在抛物线上,求ABC重心 P 的轨迹方程；【分析】：抛物线y24 x的焦点为F1,；设ABC 重心 P 的坐标为 x,y,点 C 的坐标为 x 1,y 1；其中1x1是重心,就由分点坐标公式得：xx 132,yy 1即x 13x2,y 13y【解答】：因点 P x,y3由点 Cx1,

32、y 1在抛物线y24 x上,得：2 y 14x 12x1 代入并化简,得：y24x将x 13 x2,y 13y339. 已知动点 P 到定点 F1,0和直线 x=3 的距离之和等于4,求点 P 的轨迹方程；15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【解答】 ：设点 P 的坐标为 x,y,就由题意可得；1当 x3 时,方程变为x1 2y23x4 ,x1 2y2x1,化简得y24x 0x3；2当 x3 时,方程变为x12y2x34 ,x1 2y27x,化简得2 6,；,得故所求的点P 的轨迹方程是或l 和抛物线yx24

33、x6交于 A、B 两点,求线段AB的中点 M的轨迹方程；【解答】 ：由题意分析知直线l 的斜率肯定存在,设直线l 的方程 y=kx ；把它代入抛物线方程；由于直线和抛物线相交,所以0,解得k, 42 6 4设 A, B, M x,y,由韦达定理得；由消去 k 得；又,所以x,66 ,点 M的轨迹方程为y2 x24x ,x,66,10、解：如图,设M x , y 、P x 1 , y 1 ；由于 OM 平分 AOP ,故 M 分 AP 的比为： = | |AM|OA|= 3 324y21,即x32y29；MP|OP|由定比分点公式,得x33 x 1,y03y 1,1313即x 14x3,由于 x 1 2 + y 1 2 = 1,故4x34y 14y3434163故所求轨