2022年高三复习中导数及应用易错题型.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 经典易错题会诊命题角度 1导数的概念与运算1（典型例题） 设 f 0x=sinx,f 1x=f0x,f 2x=f1x, ,fn+1x=fnx,nN,就 f2005x A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx 考场错解 选 A 专 家 把 脉 由f 1x=f0x=sinx=cosx,f2x=cosx-sinx,f3x=- sinx-cosx,f4x=- cosx =sinx, ,f2005x=f2004x= =f0x0=sinx 前 面 解 答 思 路 是 正 确 的 , 但 在 归 纳 时 发 生 了 错 误 ； 因f4x=f

2、0x=f8x0= =f2004x, 所以 f2005x=f1x=cosx. 对症下药 选 C 2（典型例题）已知函数 fx 在 x=1 处的导数为 3,f（x）的解析式可能为（）A f （ x ） =x-13+32x-1 B fx=2x+1 C f=2x-12 Dfx-x+3 考场错解 选 B fx=2x+1,f x=2x+1 =2x+1|x=1=3. 专家把脉 上面解答错误缘由是导数公式不熟识,所以 x=1 时的导数是 2,不是 3；认为（ 2x+1） =2x+1. 正确选项（ 2x+1） =2, 对症下药 选 A fx=x-13+3x-1f x=3x-12+3, 当 x=1 时 ,f 1=

3、3 3. 典型例题 已知 f3=2f 3=-2 ,就 lim 2 x 3 f x 的值为（）x 3 x 3A-4 B0 C8 D不存在 考场错解 选 D x 3,x-3 0 lim 2 x 3 f x 不存在；x 3 x 3 专家把脉 限不存在是错误的,事实上,求 对诊下药 选 C lim x 32xx3fx=lim x 33fx f 362x3x30 型的极限要通过将式子变形的可求的；0=lim x 323fxf323lim x 3fx f323f3 2328.x 从小到大排x3x34（ 05,全国卷）已知函数fx=e-xcosx+sinx,将满意 f x=0 的全部正数成数列；（2）记 S

4、n 是数列 x nfxn 的前项和； n +2-1nfx n1=-e2. 求lim nS 1S 2nS n 考场错解 f x=e-xcosx+sinx +e-x-x cosx cosx+sinx =e-x-sinx+cosx+e-xcosx+sinx=2e令 f x=0,x=n +（ n=1,2,3, ）从而 x n=n + 22；fxn=e-fx n数列 fxn 是公比为 q=-e- 的等比数列； 专家把脉 上面解答求导过程中显现了错误,即（导法就知（ e-x ） =e-x -x =-e-x 才是正确的；e-x ） =e-x 是错误的,由复合函数的求名师归纳总结 对诊下药-x cosx+si

5、nx（1）证明-x sinx. ：第 1 页,共 22 页f x=e-x cos+sinx+e =-e-xcosx+sinx+e-x-sinx+cos=-2e- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令 f x=0 得-2e-xsinx=0 ,解出 x=n ,n 为整数,从而 x n=n n=1,2,3, ,fxn=-1ne-nfx nn1e, 所以数列 |fxn|是公比 q=-e- 的等比数列,且首项fx1=-e- fx2Sn=x1fx1+x 2fx2+ +xnfxn -nqn 从而 Sn=1q1qn-nqn =nq1+2q+ +nqn-1 aSn= qq+

6、2q2+ +nqn= q1qn1qq1qS 1S 2nS n1q2n2q231q n1q n2q 1q q 2|q|=e- 0 时, fx=ln2x, fx=c f x= 121. 2xx5 已知函数fx=lnx-2-x2a 为常数且a0 2a1求导数 f x - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 答案：fx=x12xx2 .a2解不等式 :f x0答案：令 fx= 1 x 0 x 2 .x 2 a即 xx 2 02 x a 0 x 2 2 x a 0 的 4 4 a .（i ）当 a -1 时, x 2+2x-a 恒成立, x2. ii 当 a-1 时,

7、0 , x 2 2 x a 0 的解集为 x|x a 1 1 或 x a 1 1 当 -18 时,a 1 1 2, x a 1 1 . 综合得,当 a8 时, f x0 的解集为（ 2,+） . 当 a8 时, fx0 的解集为（a 1 1,+） . 命题角度 2 导数几何意义的运用1.典型例题 曲线 y=x 3 在点 1,1的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形面积为 _. 考场错解 填 2 由曲线 y=x 3 在点（ 1,1）的切线斜率为 1,切线方程为 y-1=x-1,y=x.所以三条直线 y=x,x=0,x=2 所围成的三角形面积为 S= 1 22=2；2专家把脉 依据导数的几

8、何意义,曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数,上面的解答明显是不知道这点,无故得出切线的斜率为 1 明显是错误的；对症下药 填 3 8 ； f x=3x 2当 x=1 时 f 1=3. 由导数的几何意义知,曲线在点 （1,1）处的斜率为 3；即切线方程为 y-1=3x-1 得 y=3x-2. 联立 y 3 x 2得交点（ 2,4）；又 y=3x-2 与 x 轴交于（2 ,0）；x 2 3三条直线所围成的面积为 S= 1 4（ 2- 3 2 ）= 8 ；32（典型例题）设 t 0,点 P（t,0）是函数 fx=x 3+ax 与 gx=bx 3+c 的图像的一个公共点,两函数的图像在 P

9、点处有相同的切线；（1）用 t 表示 a、b、c；名师归纳总结 （2）如函数 y=fx-gx 在（ -1,3）上单调递减,求t 的取值范畴；第 3 页,共 22 页 考场错解 （ 1 ）函数fx=x3+ax 与 gx=bx2+c 的图像的一个公共点Pt,0.ft=gtt3+at=bt2+c.又两函数的图像在点P 处有相同的切线,f t=g t 3t3+a=2bt.由得 b=t,代入得 a=-t2.c=-t3. 专家把脉 上面解答中得b=t 理由不充分, 事实上只由、 两式是不行用t 表示 a、b、c,其实错解在使用两函数有公共点P,只是利用ft=gt 是不精确的,精确的结论应是ft=0 ,即

10、t3+at=0,由于 t 0, 所以 a=-t2. gt=0即 bt2+c=0, 所以 c=ab - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又由于 fx 、gx 在（ t,0 ）处有相同的切线,所以 f t=g;t. 即 3t 2+a=2bt, a=-t 2, b=t. 因此 c=ab=-t 2 t=-t 3. 故 a=-t 2,b=t,c=-t 32 解法 1 y=fx-gx=x 3-t 2x-tx 2+t 3y =3x 2-2tx-t 2=3x+tx-t. 当 y =3x+tx-t0 时, 函数 y=fd-gx 单调递减；由 y 0, 如 t0, 就 tx

11、0, 就-t xt. 3 3就题意, 函数 y=fx-gx 在-1,3 上单调递减, 就（-1 ,3）（-t ,t ）或（-1 ,3）（ t ,3-t ）3所以 t 3 或 -t 3；即 t -9 或 t 3；3又当 -9t0故 fx 在- ,-1 和1,+ 上都是增函数；如 x -1,1,就 f x0fx在-,-1 与1,+上是增函数；如 x-1,1 时, f x0, 故 f9x 在-1 ,1 上是减函数；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f-1=2是极大值； f1=-2是微小值；（2）解：曲线方程为 y=fx=x 3-3x, 点 A（0,16）不在

12、曲线上；设切点 M（x 0,y 0）, 就点 M3 2 2在曲线上, y 0=x 0-3x 0. 因 f x 0=3x 0-3. 故切线的方程为 y-y 0=3x 0-3x-x 0. 点 A（0,2 2 316）在曲线上,有 16- （ x 0-0 ）=3x 0-10-x 0, 化简得 x 0=-8 ,得 x0=-2. 专家会诊设函数 y=fx, 在点 x 0,y 0 处的导数为 f x 0 ,就过此点的切线的斜率为 f x 0, 在此点处的切线方程为 y-y0=f x0x-x 0. 利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转化为代数问题求解；考场思维训练1 曲线 y=2x-x 3 在点（ 1

13、,1）处的切线方程为 _. 答案： x+y-2=0 解析 : y=2-3x 2.y|x=1=2-3=-1, 切线方程为 y-1=-x-1. 即 x+y-2=0. 2 曲线 y=x 3在点（ a,a 3）a 0 处的切线与 x 轴,直线 x=a 所转成的三角形的面积为 1 ,就6a=_. 答案：1 解析：曲线在（a,a 3）处的切线斜率为3a 2. 1aa31.切线方程为y-a3=3a2x-a. 且它与 x 轴.x=a 的交点为（2 a 0,3）、（a,a 3）,S=236a 4=1,解得 a= 1.3 已知函数 fx=lnx,gx=1 ax 22+bxa 0 1如 b=2,且 hx=fx-gx

14、 存在单调递减区间,求a 的取值范畴；答案：b=2 时, hx=lnx-1 ax 22-2x, 就 hx= x 1 -ax-2=-ax22 x1.x函数 hx存在单调逆减区间,hx0,就 ax2+2x-10 有 x0 的理 . 当 a0 时, ax2+2x-10 总有 0 的解 . 当 a0 总有 0 的解 . 就 =4+4a0,且方程 ax2+2x-1=0 至少有一正根,此时-1a0. 综上所述 ,a 的取值范畴是（-1,0）（ 0,+）（2）设函数 fx 的图像 C1 与函数 gx 图像 C2 交于点 P、Q,过线段 PQ的中点作 x 轴的垂线分别交 C1、C2 于点 M、N,证明 C1

15、在点 M处的切线与C2在点 N处的切线不平行；名师归纳总结 答案：证法1.设点 P、 Q 的坐标分别是（x1 、y1）,（ x2,y2）,0x 11 时, r t0,所以 rt在1 ,+上单调递增,故 rtr1=0. 就 lnt 2 t 1.这与冲突 ,假设不成立 . 1 t故 C1 在点 M 处的切线与 C2 在点 N 处的切线不平行 ,证法 1 得x 2+x 1lnx 2-lnx 1=2x 2-x 1. 由于 x10,所以 x21lnx 21. x1x 1令 t=x ,得t+1lnt=2t-1,t1 x 1令 rt=t+1lnt-2t-1,t1, 就 r t=lnt+ 1 -1. t1 t

16、0.1t0. 由于 lnt-1 t= t 12tt21-,所以 t1 时 ,lnt+1 -10, 即 r t故 lnt+1 在1,+ 上单调递增 .从而 lnt+ t于是 rt在1, + 上单调递增 . 故 rtr1=0. 即（ t+1）lnt2t-1. 与冲突,假设不成立；故 C1 在点 M 处的切与 C2 在点 N 处的线不平行 .4 已知函数 fx=|1-1 |,x0 xb这与 0ab 冲突 . ab,故ab,1 即ab1.1 证明： 0a1; 答案：由 fa=fb 得|1-1 |=|1- b 1 |. 如 1-1 与 1-a1 同号,可得 b1-1 =1-a1ab故 1-1 与 1-a

17、1 必异号,即 b1 -1=1-a111=22 abab2bab2 点 P（x 0,y 0）0x 01 求曲线 y=fx 面积表达式（用 x0 表示）；在点 P 处的线与 x 轴、y 轴的正方向所围成的三角形名师归纳总结 答案： 0x1时, y=fx=| 1-1 |= x 1 -1. 第 6 页,共 22 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - f x 0=1,0x 01.曲线 y=fx在点 P（x0,y 0）处的切线方程为：y-y 0=-1x-x 0x2 0x 0 2即y=-x2xx 0.12x 0）2.x 0 20切线与 x轴、 y轴、正向的交点为x

18、02-a 0,0 和（ 0,x0故所求三角形面积表达式为A（x 0）=1x 02x 012x012x02x 02命题角度 3 导数的应用1（典型例题）已知函数fx=-x3+3x2+9x+a. 1 求 fx的单调递减区间；（2）如 fx 在区间 -2 ,2 上最大值为20,求它在该区间上的最小值； 考场错解 （1）f x=-3x2+6x+9, 令 f x0,解得 x3, 函数 fx 的音调递减区间为（ - , -1 ）（ 3,+）（2）令 f x=0, 得 x=-1 或 x=3 当-2x-1 时,f x0; 当-1x0; 当 x3 时, f x0. x=-1, 是 fx 的极不值点, x=3 是

19、极大值点；f3=-27+27+27+a=20,a=-7. fx 的最小值为 f-1=-1+3-9+a=-14. 专家把脉 在闭区间上求函数的最大值和最小值,应把极值点的函数值与两端点的函数值 进行比较大小才能产生最大（小）值点,而上面解答题直接用极大（小）值替代最大（小）值,这明显是错误的； 对症下药 （1） f x=-3x2+6x+9, 令 f x0, 解得 x3. 2 由于 f-2=8+12-18+a=2+a,f2=-8+12+18+a=22+a, 所以 fx 在-1 ,2 由于在 （-1 ,3）上 f x0, 所以 fx 在-1 ,2 上单调递增, 又由于 fx 在-2 ,-1 上单调递

20、减, 因此 f2和 f-1 分别是 fx 在区间 -2 ,2 上的最大值和最小值,于是 22+a=20, 解得 a=-2. 故 fx=-x 3+3x 2+9x-2, 因此 ,f-1=1+3-9-2=-7 即函数 fx 在区间 -2 , 2 上的最小值为 -7 ；2（典型例题）已知函数 fx=ax 3+3x 2-x+1 在 R上是减函数,求 a 的取值范畴； 考场错解 f x=3ax 2+6x-1, 由于 fx 在 R上是减函数, 所以 f x=3ax 2+6x-10 对任何xR 恒成立；名师归纳总结 3 a0a0解得 a0时, fx 是减函数,但反之并不尽然,如fx=-x3 是减函数, f 并

21、不恒小于0,（ x=0 时 f x=0）.因此此题应当有f x在 R 上恒小于或等于0；对症下药 函数 fx 的导数： f x=3x 2+6x-1. 当 f x=3ax 2+6x-10 对任何 xR 恒成立时, fx 在 R 上是减函数；对任何 xR,3ax2+6x-10 恒成立,a0 且 =36+12a0a-3. 所以当 a-3 时,由 f x-3 时, f x=3ax 2+6x-10 在 R 上至少可解得一个区间,所以当a-3 时, fx 是在 R上的减函数；综上,所求a 的取值范畴是（-, -3 ）；3（典型例题）已知 a R,争论函数 fx=exx考场错解 f x=exx 2+ax+a

22、+1+ex2x+a=exx令 f x=0得 x 2+a+2x+2a+1=0,* 2+ax+a+1 的极值点的个数；2+a+2x+2a+1. =a+22-42a+1=a2-4a. x1、x2,因此函数fx 有两个当 a 2-4a0,即 a4 或 a0 时,方程（ * ）有两个不相等的实数根极值点；当 a 2-4a=,即 a=或 a=0 时,方程（ *）有两个相等实数根 x 1=x 2；因此函数 fx 有一个极值点；当 a 2-4a0,即 0a0 即 a4 时,方程 x 2+a+2x+2a+1=0 有两个不同的实根于是 f x=e xx-x 1x-x 2,从而有下表x1、x2,不妨设 x1x 2.

23、 X -,x1 x 1x 1,x2 x 2x 2,+ Fx+ 0 - 0 + Fx fx 1有极大值f（x2）有微小值即此时 fx 有两个极值点；（2）当 =0,即 a=0 或 a=4 时,方程 x 2+a+2x+2a+1=0 有两个相同的实根 x1=x 2于是 f x=e xx 1-x 1 2.故当 x0;当 xx 1 时, f x0因此 fx 无极值；（3）当 0,即 0a0 ,fxx x=e 2+a+2x+2a+10, 故 fx 为增函数,此时 fx 无极值点,因此,当 a4 或 a1 时,方程 fx=0 ,在 e-m-m,e 2m-m 内有两个实根；考场错解 令 fx 0,x lnx+

24、m. me x-x m取小于或等于 e x-x 的整数； 专家把脉 上面解答对题意懂得错误,原题“ 当m为何值时, fx 0 恒成立” ,并不是对x 的肯定范畴成立；因此,m ex-x 这个结果明显是错误的；f x=1-x1m,令 f x=0,得 对症下药 （1）函数fx=x-lnx+m,x -m,+ 连续,且x=1-m. 当-mx1-m 时, f x1-m 时, f x0,fx为增函数；依据函数极值判别方法, f1-m=1-m 为微小值,而且对 x-m,+ 都有 fx f1-m=1-m ,名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 22 页精选学习资料 - - - - - - -

25、 - - 故当 1-m=fx min 0, 即 m1 时, fx0. 即 m1 且 mZ 时, fx 0. 2 证明：由（ 1）可知,当整数 m1 时, f1-m=1-m0,又 fx 为连续函数,且当 m1时, fe-m-m 与 f1-m 异号,由所给定理知,存在唯独的 x1e-m-m;1-m, 使 fx 1=0,而当 m1 时,fe 2m-m=e 2m-3m1+1 2m-3m1+2m+ 2 m 2 m 1 -3m0. 2m1 2m-11. 类似地, 当整数 m1 时,fx=x-lnx+m 在1-m,e 2m-m 上为连续增函数, 且 f1-m 与 fe 2m-m异号,由所给定理知,存在唯独的

26、 x+（ 1-m,e 2m-m）使 fx 2=0. 故当整数 m1 时,方程 fx=0 在e-m-m,e 2m-m 内有两个实根；5（典型例题）用长为 90cm,宽为 48cm 的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正形,然后把四边翻转 90 角,再焊接而成（如图,）问该容器高为多少时,容器的容积最大？最大容积是多少？ 考场错解 设容器的高为x, 容器的容积为V,就 V=（90-2x ）（48-2x ） x=4x3-276x2+4320x V =12x2-552x+4320=0 得 x 1=10,x 2=36 又 x10 时, V 0,10x0,x36 时, V 0 当 x=36 时, V 有极大值 V（36） 0 故 V 没有最大值； 专家把脉 上面解答有两处错误：一是没有注明原函数定义域；二是验算 f x 的符号时,运算错误, x0;10x36,V 36,V 0. 对症下药 设容器的