2022年高中抛物线知识点归纳总结与练习题及答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - y22px名师总结2优秀知识点x22pyx22pyy2px抛l (pF )0x F (p0 )x (p0 )x (p0 )l y y O l y F y 物O O x 线O F l 定义范围对称性焦点平面内与一个定点F 和一条定直线 l 的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点 F 叫做抛物线的焦点，直线l 叫做抛物线的准线。MMF=点 M到直线 l 的距离 x0,yRx0,yRxR y0xR y0关于 x 轴对称关于 y 轴对称(p ,0) 2(p ,0) 2(0,p ) 2(0,p ) 2焦点在对称轴上顶点xx 1ppO(0,0)AFyppe=1

2、 离心率准线xpyp2222方程准线与焦点位于顶点两侧且到顶点的距离相等。顶点到准AFpy 1线的距离2焦点到准p线的距离焦半径AFx 1pAFy 1pA x 1,y 1)2222焦 点弦名师归纳总结 长(x 1x 2)p(x 1x 2)p(y 1y2)p(y 1y2)p第 1 页，共 22 页AB- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结o优秀知识点yA x y 1Fx B x 2,y 2焦点弦AB 的几条性质以 AB 为直径的圆必与准线 l 相切，则ABp y2pA x 1 ,y 1)若 AB 的倾斜角为，则AB2p若 AB 的倾斜角为B x 2,

3、y2)sin2cos2切线x x2p2y y 2p 2x x 0y0)411AFBFAB2AFBFAFBFAFBFpy yp xx 0)y y 0p xx 0)x xp yy0)方程一直线与抛物线的位置关系直线，抛物线，消 y 得：（1）当 k=0 时，直线 l 与抛物线的对称轴平行，有一个交点；（2）当 k 0 时， 0，直线 l 与抛物线相交，两个不同交点； =0， 直线 l 与抛物线相切，一个切点； 0，直线 l 与抛物线相离，无公共点。（3）若直线与抛物线只有一个公共点, 则直线与抛物线必相切吗 ?（不一定）名师归纳总结 二关于直线与抛物线的位置关系问题常用处理方法x 1x2,x 1x

4、 2，还可进一步求出第 2 页，共 22 页直线 l ：ykxb抛物线，( p0)联立方程法：ykxbk2x22(kbp)xb202 y2px设交点坐标为A (x 1y 1),B(x 2y2)，则有0 , 以及- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - y 1y2y 2(kx 1bbkx 2bbkk(x 12x 2)名师总结2)优秀知识点，2 by 1kx 1)(kx 2)2x 1xkb (x 1x2 b在涉及弦长，中点，对称，面积等问题时，常用此法，比如1.相交弦 AB的弦长1k2(x 1x 2)24x 1x 21k22aaAB1k2x 1x 2或AB11y1

5、y211(y 1y2)24y 1y21kk2k2b. 中点M(x0y0), x0x 12x2，y 0y 12y2点差法：)，B(x 2y2)，代入抛物线方程，得设交点坐标为A (x 1y 12 y 12px 1y222 px 2将两式相减，可得( y 1 y 2 )( y 1 y 2 ) 2 p ( x 1 x 2 )y 1 y 2 2 px 1 x 2 y 1 y 2a. 在涉及斜率问题时，k AB 2 py 1 y 2b. 在 涉 及 中 点 轨 迹 问 题 时 ， 设 线 段 AB 的 中 点 为 M ( x 0y 0 )，y 1 y 2 2 p 2 p p，x 1 x 2 y 1 y

6、2 2 y 0 y 0即 k AB p，y 0同理，对于抛物线 x 2 2 py ( p 0 )，若直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，点 M ( x 0y 0 )是弦 AB 的中点，则有 k AB x 1 x 2 2 x 0 x 02 p 2 p p（注意能用这个公式的条件：1）直线与抛物线有两个不同的交点，2）直线的斜率存在，且不等于零）名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 22 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 名师总结优秀知识点第 4 页，共 22 页抛物线练习及答案1、已知点 P 在抛物线 y 2 = 4x 上，那么点P 到点 Q

7、（2， 1）的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为。（1,1）42、已知点 P 是抛物线y22x 上的一个动点，则点P 到点（ 0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为。1723、直线yx3与抛物线y24x 交于A B 两点，过A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为P Q ，则梯形 APQB 的面积为。 484、设 O 是坐标原点，F 是抛物线y22px p0)的焦点， A 是抛物线上的一点，FA 与 x 轴正向的夹角为 60 ，则 OA 为。5、抛物线y24x 的焦点为 F ，准线为 l ，经过 F 且斜率为3 的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于

8、点 A ， AKl，垂足为 K ，则AKF的面积是。 4 36、已知抛物线C:y28x 的焦点为 F ，准线与 x 轴的交点为 K ，点 A 在 C 上且AK2AF ，则AFK 的面积为。 87、已知双曲线x2y21，则以双曲线中心为焦点，以双曲线左焦点为顶点的抛物线方程45为。8、在平面直角坐标系xoy 中，有一定点A (2,1),若线段 OA的垂直平分线过抛物线y22px p0)则该抛物线的方程是。9、在平面直角坐标系xoy 中，已知抛物线关于x 轴对称，顶点在原点O ，且过点 P(2，4)，则该抛物线的方程是。y28x10、抛物线yx 上的点到直线 24 x 3 y 8 0 距离的最小值

9、是。43y 2=4x,过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x 1,y1),B(x 2,y2)两点，则y12+y22 的最小11、已知抛物线值是。 32 12、若曲线2 y | x |1 与直线 y kx b 没有公共点，则k 、 b 分别应满足的条件是。 k =0,-1 b 2 时，点 P（ x,0）存在无穷多条“ 相关弦 ” .给定x02. （1）证明：点 P（x 0,0）的所有 “相关弦 ”的中点的横坐标相同；（2）试问： 点 P（x0,0）的“相关弦 ”的弦长中是否存在最大值？若存在，求其最大值 （用 x0表示）：若不存在，请说明理由 . 解: （1）设 AB 为点 P（x 0,

10、0）的任意一条 “相关弦 ”，且点 A、B 的坐标分别是（x 1,y1）、（x2,y2）（x1 x2）,则 y 21=4x 1, y 22=4x 2,两式相减得（ y1+y 2）（ y1-y 2）=4（x 1-x 2）.因为 x1 x2,所以 y1+y 2 0.设直线 AB 的斜率是 k，弦 AB 的中点是 M（x m, y m）,则 k= y 1 y 2 4 2. x 1 x 2 y 1 y 2 y m从而 AB 的垂直平分线 l 的方程为 y y m y m( x x m ).2又点 P（x 0,0）在直线 l 上，所以 y m y m ( x 0 x m ).2而 y m 0, 于是 x m x 0 2. 故点 P（x0,0）的所有 “ 相关弦 ”的中点的横坐标都是 x 0-2. 2(2)由(1) 知，弦 AB 所在直线的方程是 y y m k x x m )，代入 y 4 x 中，2 2 2整理得 k x 2 ( k y m kx m ) 2 x ( y m kx m ) 0.（）2则 x 1、x 2 是方程（ ）的两个实根，且 x 1 x 2 ( y m kx2 m ) .k设点 P 的“ 相关弦 ” AB的弦长为 l，则l