2022年高等数学公式大全以及初等函数图像.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高等数学公式导数公式：tgx 2 secxxarcsinx1121x2ctgx csc 21arccosx sec x sec xtgx1xcscx cscxctgxarctgx1axaxlnax2logax x1aarcctgx1ln1x2基本积分表：tgxdx2lncosxCnxdxdxx2 secxdxtgxCCC2 cosctgxdxlnsinxCctgxdxx2 cscxdxsecxdxlnsecxtgxCsin2sec xtgx dxsec xCcscxdxlncscxctgxCdx1arctgxCcscxctgx

2、dxcscxCa2x2aaaxdxaxCx22 aadx1lnxaClnx2a22axashxdxchxCdx1lnaxCchxdxshxCa2x22aaxxdxa2lnxdxarcsinxCa2xa2n2sinnxdx2cosnn1In2CI00a2a2lnxx2a2x2a2dxxx222x2a2dxxx2a2a2lnxx2a2C22a2x2dxxa2x2a2arcsinxC22a三角函数的有理式积分：名师归纳总结 sinx12u2,cosx1u2,utgx,dx2du第 1 页,共 17 页u1u221u2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 一些初等

3、函数：学习必备欢迎下载两个重要极限：双曲正弦:shxx eexexlim x 0sinxx1e2 . 7182818284 59045 .2x双曲余弦:chxx eexlim x112x双曲正切:thxshxx echxe xexarshxlnxx21）archxlnxx21 arthx1ln1x21x三角函数公式： 诱导公式：名师归纳总结 和差角公式：sin函数sin cos tg ctg 2cos2第 2 页,共 17 页角 A -sin cos -tg -ctg 90-cos sin ctg tg 90+cos -sin -ctg -tg 180-sin -cos -tg -ctg 18

4、0+-sin -cos tg ctg 270-cos -sin ctg tg 270+-cos sin -ctg -tg 360-sin cos -tg -ctg 360+sin cos tg ctg 和差化积公式：sincoscossinsinsin2sincoscoscossinsinsinsin2cos2sin2tgtgtg1tgtgcoscos2coscos22ctgctgctg1ctgctgcoscos2sinsin22- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 倍角公式：sin22sincos12sin 2cos 2sin2sin

5、33 sin43 sincos22cos 21ctg2ctg21cos 343 cos33cos2 ctgtg33 tgtgtg22 tg13 tg21tg2 半角公式：sin21coscos21coscossin22tg21cos1cos1sinctg21cos11cossincos1cossin1cos 正弦定理：aAbBcC2R 余弦定理：c2a2b22 abcosCsinsinsin 反三角函数性质：arcsinx2arccosxarctgx2arcctgxuvn高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz ）公式：1nkuv nnk C nunkvk1unkvkk0un vnun1 vn n

6、1 un2vn n.2k .中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理：fbfafba柯西中值定理：fbfafFbFaF当F xx时,柯西中值定理就是拉格朗日中值定理；曲率：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 弧微分公式：ds1y2dx ,学习必备欢迎下载其中ytg平均曲率：Ks.0:从M点到M点,切线斜率的倾角变化量；s：MM弧长；M点的曲率：Klim ssd1yy23.ds直线：K;01.半径为a的圆：Ka定积分的近似运算：bx x bnay 0y 1y ny n1yyn1yn24 y 1y 3y n1矩形法：fbab

7、x na1y 0y 1梯形法：f2abfbay 0yn2 y24抛物线法：3 na定积分应用相关公式：功：WFsk 为引力系数水压力：FpA引力：Fkm 1m 2,r2函数的平均值：yb1abfx dx均方根：b1abf2aatdt空间解析几何和向量代数：名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 空间2 点的距离：dM1M2学习必备2欢迎下载y 12z 2z 12x 2x 1y2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB 与u 轴的夹角；为锐角时,Prjua 1a2Prja 1Prja 2ababcosa xb xa

8、yb yaz b z, 是一个数量,两向量之间的夹角：cosax2a xb xaayb yb xa zb z2b z2ay222b yzijkcabaxayaz,cabsin. 例：线速度：vwr.b xb yb zaxayaz向量的混合积：a bc abcb xbyb zabccos,c xc ycz代表平行六面体的体积；平面的方程：1、点法式：A xx0Byy0Czz 00,其中nA,B,C,M0x 0,y0,z0mt2、一般方程：AxByCzD0Ax0By0Cz0D参数方程：xx 03、截距世方程：xyz c1ab平面外任意一点到该平面的距离：dA2B2C2空间直线的方程：xx 0yy

9、0zz 0t,n ,p ;其中sm ,yy0ntmnpzz 0pt二次曲面：1、椭球面：x2y2z21q同号）a2b2c22、抛物面：x22 py2z（,p,2 q3、双曲面：y2z21单叶双曲面：x2a2b2c2双叶双曲面：x2y2z2（马鞍面）1a2b2c2多元函数微分法及应用名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 全微分：dzzdxzdy学习必备u欢迎下载dyudzdudxu yxyxz全微分的近似运算：zdzfxx ,yxfyx ,yy多元复合函数的求导法：uzvzfu t,v tdzzdtutvtvzfu x

10、,y,v x ,y zzuzxuxvx当uu x ,y ,vv x ,y 时,v xdxv ydyduudxudydvxy隐函数的求导公式：隐函数Fx ,y 0,dydxvF x,d 22 ydxxF xyF xdy dxFvFyFyF y隐函数Fx ,y ,z 0,zxFx,zyFyGFFFuFF zz隐函数方程组：Fx ,y,u,0 0JF,u Gv GGx ,y,u,vGuGvu,v uvu1F,Gv1F,GxJx ,v xJu,xu1F,Gv1F,GyJy ,vyJu,y微分法在几何上的应用：空间曲线xt在点Mx0,y0,z0处的切线方程：xx0yy0zxz 0yy0,z 0zz00y

11、tt0t0t0zt在点M处的法平面方程：t0xx0 t0yy0t0zz 00如空间曲线方程为：Fx ,y,z 0,就切向量TFyFz,F zFx,FFGyGzxGxGyGx ,y,z 0GzGz 0Fzx0,曲面Fx,y ,z 0 上一点Mx0,y0,z 0,就：1、过此点的法向量：nFxx0,y0,z0,Fyx0,y0,z 0,Fzx0,y0,2、过此点的切平面方程：Fxx0,y0,z 0xx0Fyx0,y0,z 0yy03、过此点的法线方程：Fxx,x0z 0Fyy,y0z0Fzz,z 0x0y0,x 0y0,x0y0,z0方向导数与梯度：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页

12、,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 函数zfx,y在一点px ,y学习必备l欢迎下载ffcosfsin 沿任一方向的方向导数为：lxy其中为x 轴到方向l的转角；grad fx,y ficosfjsinj,为l方向上的函数zfx,y在一点px ,y 的梯度：xy它与方向导数的关系是：fgradfx ,ye,其中eil单位向量；f是gradfx,y在l上的投影；l多元函数的极值及其求法：设fxx 0,y0fyx 0,y 00,令：fxxx 0,y0A ,fxyx 0,y 0B,fyyx 0,y 0CACB20 时,A,0x 0,y0 为极大值A,0x 0,y0为微小值

13、就：ACB20 时,无极值ACB20 时 ,不确定重积分及其应用：fx,ydxdyfrcos,rsinrdrdz2dxdyMyDyx ,ydx2Fx,ydDD曲面zfx,y 的面积AD1z2xy平面薄片的重心：xMxDxx ,yd,yMx,ydMx,y dDx,ydD平面薄片的转动惯量：对于x轴Ixy2,对于y轴IyD0 ,0,a,a0 的引力：FDy,Fz,其中：平面薄片（位于xoy 平面）对z 轴上质点MFx,F xfx ,yxd3,Fyfx,yyd3,FzfaDx2x,yxd3y2aDx2y2a22Dx222y2a22柱面坐标和球面坐标：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页

14、,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - xrcos学习必备欢迎下载柱面坐标：yrsin,fx ,y ,z dxdydzzdFr,z rdrddz ,dr2dvdvzzdrr2sindrdd其中：Fr,z frcos,rsin,z xrsincos球面坐标：yrsinsin,dvrdrsinzrcos2dr,fx ,y ,z dxdydzFr,r2sindrdddFr,r2sin重心：x1xdv ,y1ydv ,000x1zdv,其中MMMM转动惯量：Ixy2z2dv,Iyx2z 2dv,Izx2y曲线积分：名师归纳总结 第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：dtt,t,就

15、：yxtt第 8 页,共 17 页设fx,y在L上连续,L的参数方程为：xytfx ,ydsft,t2t2 t特别情形：L- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 其次类曲线积分（对坐学习必备欢迎下载标的曲线积分）：设L 的参数方程为yx t ,就： t t tQ t, t tdtyP x ,y dxQ x , dyP t,L两类曲线积分之间的关 系：Pdx Qdy P cos Q cos ds,其中 和 分别为L LL 上积分起止点处切向量 的方向角；格林公式： Q P dxdy Pdx Qdy 格林公式： Q P dxdy Pdx QdyD x y L D

16、 x y L当 P y , Q x,即：Q P 2 时,得到 D 的面积：A dxdy 1 xdy ydxx y D 2 L平面上曲线积分与路径 无关的条件：1、G 是一个单连通区域；2、P x , y ,Q x , y 在 G 内具有一阶连续偏导数,且 QP；留意奇点,如 0 0, ,应x y减去对此奇点的积分,留意方向相反！二元函数的全微分求积：在 QP 时,Pdx Qdy 才是二元函数 u x , y 的全微分,其中：x y x , y u x , y P x , y dx Q x , y dy,通常设 x 0 y 0 0； x 0 , y 0 曲面积分：对面积的曲面积分：fx ,y ,

17、z dsfx ,y ,z x,y 12 z xx ,yz2x ,y dxdydsy对坐标的曲面积分：PDxyx ,y,z dydzQx ,y ,z dzdxR x ,y,z dxdy,其中：R x,y ,z dxdyR x ,y ,z x,ydxdy,取曲面的上侧时取正号；Dxyx y ,z ,y ,z dydz,取曲面的前侧时取正号；P x,y ,z dydzP Dyzx ,yz ,x ,z dzdx,取曲面的右侧时取正号；Qx ,y,z dzdxQ Dzx系：PdydzQdzdxRdxdyPcosQcosRcos两类曲面积分之间的关高斯公式：名师归纳总结 - - - - - - -第 9

18、页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - PQRdv学习必备欢迎下载PcosQcosRcosdsPdydzQdzdxRdxdyxyz高斯公式的物理意义通量与散度：的流体质量,如div0,就为消逝.散度：divPQR, 即：单位体积内所产生xyz通量：AndsA ndsPcosQcosRcosds,因此,高斯公式又可写成：divAdvA nds斯托克斯公式曲线积分与曲面积分的关系：RQ dydzPRdzdxQ xP y dxdyPdxQdyPRdzyzzxdydzdzdxdxdycoscoscos上式左端又可写成：x Py Qz Rx Py Qz R空间曲线积分与路径无关

19、的条件：RQ z,PzR x,QxyyijkPdxQdyRdzAtds旋度：rotAxyzPQR向量场A 沿有向闭曲线的环流量：常数项级数：等比数列：1q2 qqn11qn1q等差数列：123nn1n2调和级数：1111 n是发散的23级数审敛法：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1、正项级数的审敛法学习必备欢迎下载别法）：根植审敛法（柯西判1 时,级数收敛设：lim nnun,就1 时,级数发散莱布尼兹定理：1 时,不确定2、比值审敛法：设：lim nUn1,就1 时,级数收敛1 时,级数发散Un1 时,不确定

20、3、定义法：snu 1u2un;lim ns n存在,就收敛；否就发散；交叉级数u 1u2u 3u 4或u 1u2u 3,u n0 的审敛法假如交叉级数满意unuu n1,那么级数收敛且其和 0su 1,其余项r n的确定值r nun1；lim nn确定收敛与条件收敛： 1 u 1 u 2 u n,其中 u n 为任意实数； 2 u 1 u 2 u 3 u n假如 2 收敛,就 1 确定收敛,且称为确定 收敛级数；假如 2 发散,而 1 收敛,就称 1 为条件收敛级数；n调和级数：1 发散,而 1 收敛；n n级数：12 收敛；np 级数：n 1p p 时发散1 时收敛幂级数：名师归纳总结 -

21、 - - - - - -第 11 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1xx2x3xnx学习必备欢迎下载1x1 时,收敛于1对于级数 3 a 0a 1xa2x1 时,发散10x2anxn,假如它不是仅在原点收敛,也不是在全数轴上都收敛,就必存在R,使xR 时收敛xR 时发散,其中R 称为收敛半径；求收敛半径的方法：设xR 时不定lim na n10 时,R,其中an,an1 是 3 的系数,就0 时,Ra n时,R函数绽开成幂级数：函数绽开成泰勒级数：fx n1fx0xx0fx0xx02fnx 0xx0n.2n .余项：R nfn1xx0,fx可以绽开成泰勒级数的

22、2充要条件是：lim nR n0n1 .f0 f0xf0xfn0xnx 00 时即为麦克劳林公式：fx.2n .一些函数绽开成幂级数： 1x m1mxm m1x21x2nm m1mn1xn1x1 .2n .sinxxx35 x1n1x.3.52 n1 .欧拉公式：ix ecosxisinx或cosxix eeix2sinxix eeix2三角级数：ftA 0A nsinntna0ancosnxbnsinnx在 ,2n1n1其中,a0aA 0,anA nsinn,bnA ncosn,tx；正交性：,1sinx,cosx,sin2x ,cos2xsinnx,cosnx任意两个不同项的乘积上的积分0

23、；傅立叶级数：名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 17 页精选学习资料 - - - - - - - - - fxa 0n1a ncos nxb nsin学习必备欢迎下载nx ,周期22a n1nfx cos nxdxn0 ,1, 2n2xb nsinnx 是奇函数其中b n1fx sin nxdxn,13,2111211181（相加）6325222324 211121112241（相减）122 24262222 32 4正弦级数：a0,b n2fxsinn xdx,1,2 3f0名师归纳总结 余弦级数：b n0,a n2fx cos nxdxn0 ,1, 2fx a 0a

24、ncos nx 是偶函数20第 13 页,共 17 页周期为l2 的周期函数的傅立叶级数：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - fxa 0n1ancosnlxb nsin学习必备欢迎下载nx,周期2 l2l其中a n1lfx cosnlxdx n0 ,1, 2llb n1lfxsinnlxdxn2,1 3,ll微分方程的相关概念：一阶微分方程：yfx ,y或Px ,y dxQx ,y dy0u,可分别变量的微分方程：一阶微分方程可以化为gy dyfx dx 的形式,解法：gy dyfx dx得：GyFx C 称为隐式通解；齐次方程：一阶微分方程可以写成dyfx,y x ,y ,即写成y的函数,解法：dxx设uy,就dyuxdu,uduu ,dxduu分