2022年一中高考数学一轮复习《三角函数的图象与性质》学案 .pdf

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1、福建省长泰一中高考数学一轮复习三角函数的图象与性质学案1用“五点法”作正弦、余弦函数的图象“五点法”作图实质上是选取函数的一个，将其四等分，分别找到图象的点，点及“平衡点”由这五个点大致确定函数的位置与形状2ysinx，ycosx，ytanx 的图象函数ysinx y cosx ytanx 图象注：正弦函数的对称中心为，对称轴为 余弦函数的对称中心为，对称轴为 正切函数的对称中心为由 ysinx 的图象得到yAsin(x)的图象主要有下列两种方法：或说明：前一种方法第一步相位变换是向左(0)或向右(0)或向右(0，0)若 A3，21，3，作出函数在一个周期内的简图基础过关ysinx相位变换周期

2、变换振幅变换ysinx周期变换相位变换振幅变换 若 y 表示一个振动量，其振动频率是2，当 x24时，相位是3，求 和解：(1)y3sin(32x)列表(略)图象如下：32x0 2232x 323538311314y 0 3 0 3 0 (2)依题意有：32422f64变式训练1：已知函数y=2sin)32(x,(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在一个周期内的图象；(3)说明 y=2sin)32(x的图象可由y=sinx的图象经过怎样的变换而得到.解（1）y=2sin)32(x的振幅 A=2,周期 T=22=，初相=3.（2）令 X=2x+3,则 y=2sin)32(x=2

3、sinX.列表，并描点画出图象：x-612312765X 0 2232y=sinX 0 1 0-1 0 y=2sin(2x+3)0 2 0-2 0（3）方法一把 y=sinx的图象上所有的点向左平移3个单位，得到y=sin)3(x的图象，3 2 1-1-2-3 323538311314xy0 再把 y=sin)3(x的图象上的点的横坐标缩短到原来的21倍（纵坐标不变），得到y=sin)32(x的图象，最后把y=sin)32(x上所有点的纵坐标伸长到原来的2 倍（横坐标不变），即可得到y=2sin)32(x的图象.方法二将 y=sinx的图象上每一点的横坐标x 缩短为原来的21倍，纵坐标不变，得

4、到y=sin2x的图象；再将 y=sin2x 的图象向左平移6个单位；得到 y=sin2)6(x=sin)32(x的图象；再将 y=sin)32(x的图象上每一点的横坐标保持不变，纵坐标伸长为原来的2 倍，得到y=2sin)32(x的图象.例 2 已知函数 y=3sin)421(x（1）用五点法作出函数的图象；（2）说明此图象是由y=sinx的图象经过怎么样的变化得到的；（3）求此函数的振幅、周期和初相；（4）求此函数图象的对称轴方程、对称中心.解（1）列表：x 223252729421x0 22323sin)421(x0 3 0-3 0 描点、连线,如图所示：（2）方法一“先平移，后伸缩”.

5、先把 y=sinx 的图象上所有点向右平移4个单位，得到 y=sin)4(x的图象；再把 y=sin)4(x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），得到y=sin)421(x的图象，最后将 y=sin)421(x的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3 倍（横坐标不变），就得到y=3sin)421(x的图象.方法二“先伸缩，后平移”先把 y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2 倍（纵坐标不变），得到 y=sin21x 的图象；再把y=sin21x 图象上所有的点向右平移2个单位，得到 y=sin21(x-2)=sin)42(x的图象，最后将 y=sin)42(x的图象上所

6、有点的纵坐标伸长到原来的3 倍（横坐标不变），就得到y=3sin)421(x的图象.（3）周期 T=2=212=4，振幅 A=3，初相是-4.(4)令421x=2+k(k Z),得 x=2k+23(k Z),此为对称轴方程.令21x-4=k(k Z)得 x=2+2k(k Z).对称中心为)0,22(k(k Z).变式训练2：已知函数23cossin3)(2xxxcoxxf),(RxR的最小正周期为 且图象关于6x对称；(1)求 f(x)的解析式；(2)若函数 y1f(x)的图象与直线y a 在2,0上中有一个交点，求实数a 的范围解：（1）2322cos12sin23)(wxwxxf12cos

7、212sin23wxwx1)62sin(wxwR 122wwT当 w1 时，1)62sin()(xxf此时6x不是它的对称轴w 1)62sin(11)62sin()(xxxf（2）)62sin()(1xxfy6762620 xx如图：直线ya 在2,0上与 y1f(x)图象只有一个交点2121a或 a1 0 2121y x 667例 3如图为 y=Asin(x+)的图象的一段，求其解析式.解方法一以 N为第一个零点，则 A=-3，T=2)365(=，=2，此时解析式为y=-3sin（2x+）.点 N)0,6(，-62+=0，=3，所求解析式为y=-3sin)32(x.方法二由图象知A=3，以

8、M)0,3(为第一个零点，P)0,65(为第二个零点.列方程组6503解之得322.所求解析式为y=3sin)322(x.变式训练3：函数 y=Asin(x+)(0,|2,x R)的部分图象如图，则函数表达式为()A.y=-4sin)48(x B.y=-4sin)48(xC.y=4sin)48(x D.y=4sin)48(x答案 B 例 4设关于 x 的方 程 cos2x3sin2x k1 在0，2内有两不同根，求 的值及 k 的取值范围解：由 cos2x3sin2x k1 得 2sin(2x6)k1 即 sin(2x 6)21k设 c:y sin(2x 6)，l:y21k，在同一坐标系中作出

9、它们的图象(略)由图易知当2121k1 时,即 0k 1 时直线 l 与曲线 c 有两个交点，且两交点的横坐标为、，从图象中还可以看出、关于 x6对称.。故 3变式训练4.已知函数f(x)sin(x)(0，0)是 R上的偶函数，其图象关于点 M(43，0)对称，且在区间0，2 上是单调函数，求和 的值解：由 f(x)是偶函数，得f(x)f(x)即 sin(x)sin(x)cossinxcossinx 对任意 x 都成立，且0，cos0 依题意设02由 f(x)的图象关于点M对称，得 f(43 x)f(43x)取 x0 得 f（43）f（43）f(43)0 f(43)sin(432)cos430

10、 又0 得432k32(2k 1)(k0，1，2)当 k0 时，32 f(x)sin(232x)在0，2 上是减函数；当 k1 时，2 f(x)sin(2x 2)在0，2 上是减函数；当 k2 时，310 f(x)sin(x2)在0，2上不是减函数；32或2 1图象变换的两种途径 先相位变换后周期变换ysinx ysin(x)y sin(x)先周期变换后相位变换ysinx ysin xysin (x)2给出图象求解析式yAsin(x)B的难点在于、的确定，本质为待定系数法，基本方法是：“五点法”运用“五点”中的一点确定 图像变换法，即已知图象是由哪个函数的图象经过变换得到的，通常可由零点或最值点确定 T 小结归纳