2022年高考数学_数列通项公式求解方法总结.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 求数列通项公式的十种方法一、公式法n 例 1 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 2,a 1 2,求数列 a n 的通项公式;解:a n 1 2 a n 3 2 n 两边除以 2 n 1,得 a n n 1 1 a n n 3,就 a n n 1 1 a n n 3,故数列 a n n 是以 2 2 2 2 2 2 2 a2 1 1 22 1 为首项,以 3 为公差的等差数列,由等差数列的通项公式,得 2 a2 n n 1 n 1 32,所以数列 a n 的通项公式为 a n 3 n 1 2 n;2 2评注:此题解题的关键是把递
2、推关系式 a n 1 2 a n 3 2 n 转化为 a n n 1 1 a n n 3,说明数列 a n n 是 2 2 2 2等差数列,再直接利用等差数列的通项公式求出 a n n 1 n 1 3,进而求出数列 a n 的通项公式;2 2二、累加法例 2 已知数列 a n满意an1an2 n1,a 11,求数列 an的通项公式;,进而求出解:由an1an2n1得an1an2 n1就ana nan1an1an2La 3a2a2a 1a 12n112n21L22121 112n1n2L21n112n1 nn112n1n11n2所以数列 an的通项公式为an2 n ;评注:此题解题的关键是把递推
3、关系式a n1an2n1转化为a n1a n2n1anan1an1an2La 3a2a2a 1a 1,即得数列 a n的通项公式;例 3 已知数列 a n满意an1an23n1,a 13,求数列 a n的通项公式;爱护原创权益 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解:由an1a n23n1得an1an2n 31就a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 3 a 2 a 2 a 1 a 1n 1 n 2 2 12 3 1 2 3 1 L 2 3 1 2 3 1 3n 1 n 2 2 123
4、 3 L 3 3 n 1 3n 131 3 2 n 1 31 3n3 3 n 1 3n3 n 1n所以 a n 3 n 1.n n评注:此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2 3 1 转化为 a n 1 a n 2 3 1,进而求出a n a n a n 1 a n 1 a n 2 L a 3 a 2 a 2 a 1 a 1,即得数列 a n 的通项公式;例4 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 2 3 n1,a 1 3,求数列 a n 的通项公式;解:a n 1 3 a n 2 3 n1 两边除以 3 n 1,得 an n1 1 an n 2 1n 1,3 3 3
5、3就 a nn 11 a nn 2 1n 1,故3 3 3 3a nn a nn a n 1 a n 1 a nn 22 an n 22 an n3 3 L a 22 a1 1 a 13 3 a n 1 a n 1 3 3 3 3 3 3 2 1n 2 1n 1 2n 12 L 2 12 33 3 3 3 3 3 3 3 32 n 1 1n 1n 1n 1 n 12 L 12 13 3 3 3 3 3因此 a nn 2 n 1 3 1 1 3 n n 11 2 n 1 1n,3 3 1 3 3 2 2 3就 a n 2 n 3 n 1 3 n 1 .3 2 2评注:此题解题的关键是把递推关系式
6、 a n 1 3 a n 2 3 n1 转化为 an n 11 an n 2 1n 1,进而求3 3 3 3出 a nn a nn 11 an n1 1 an n2 2 a nn 22 a nn 3 3 L a 22 a 11 a 1,即得数列 a nn 的通项公式, 最3 3 3 3 3 3 3 3 3 3爱护原创权益 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 后再求数列 a n的通项公式;三、累乘法例 5 已知数列 a n满意an12n15nan,a 13,求数列 an的通项公式;15n,进而求出解:由于a
7、n12n15nan,a 13,所以an0,就an12n15n,故a na na n1a n1La 3a 2a 1a na n2a 2a 12nn 1 1512n2n 152L222 1 5 211 1 5 3n 21 n n1L3 2 5n1n2L2 13n n132 n152n .n n1所以数列 an的通项公式为an32n152n.评注:此题解题的关键是把递推关系an12n15na 转化为an12nanan1an1La3a2a 1,即得数列 a n的通项公式;a nan2a2a 1例 6 ( 2004 年全国 I 第 15 题,原题是填空题)已知数列an满意a 11,ana 12a 23
8、a 3Ln1 an1n2,求 an的通项公式;解:由于ana 12a23 a3Ln1 an1n2所以a n1a 12a 23a 3Ln1a n1nan用式式得an1a nnan.就a n1n1 ann2故a nn1n1 n2a爱护原创权益 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a na n1an1La 3a 2 n n1L4 3a2n.a2.anan2a 22由a na 12a23a 3Ln1 a n1n2,取n2得a2a 12 a2,就a2a ,又知a 11,就a 21,代入得a n1 3 4 5Ln
9、n .;1ann2转化为an1n1 n2,进而求出2所以, a n的通项公式为a nn .2a n1n评注: 此题解题的关键是把递推关系式anan1an1La3a 2,从而可得当n2 时,an的表达式,最终再求出数列an的通项公式;a nan2a2四、待定系数法例 7已知数列 a n满意an12an3n 5,a 16,求数列a n的通项公式;2a ,得解:设an1x5n12anxn 5 xn 512a n2x5n,等式两边消去将a n12a n3 5n代入式,得2a n3n 5n 3 5x5n12x5n,两边除以 5n ,得 35x2 ,就x1,代入式得an15n12a nn 5 n 1由 a
10、 1 5 16 5 1 0 及式得 a n 5 n0,就 a n 1 5n 2,就数列 a n 5 n是以 a 1 5 11 为a n 5n n 1 n 1 n首项,以 2 为公比的等比数列,就 a n 5 2,故 a n 2 5;n n 1 n评注:此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 2 a n 3 5 转化为 a n 1 5 2 a n 5 ,从而可知n n数列 a n 5 是等比数列,进而求出数列 a n 5 的通项公式,最终再求出数列 a n 的通项公式;例 8 已知数列 a n 满意 a n 1 3 a n 5 2 n4,a 1 1,求数列 a n 的通项公式;n 1 n解:设
11、 a n 1 x 2 y 3 a n x 2 y 爱护原创权益 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 将a n13 an52n4代入式,得n n 1 n3 a n 5 2 4 x 2 y 3 a n x 2 y 整理得 5 2 2 n 4 y 3 x 2 n 3 y ;令5 2 x 3 x,就 x 5,代入式得4 y 3 y y 2n 1 na n 1 5 2 2 3 a n 5 2 2 1由 a 1 5 2 2 1 12 13 0 及式,n 1得 na 5 2 n 2 0,就 a n 1 5 2n 2 3
12、,a n 5 2 2n 1故数列 a n 5 2 2 是以 a 1 5 2 2 1 12 13 为首项,以 3 为公比的等比数列,因此n n 1 n 1 na n 5 2 2 13 3,就 a n 13 3 5 2 2;n评注:此题解题的关键是把递推关系式 a n 1 3 a n 5 2 4 转化为n 1 n na n 1 5 2 2 3 a n 5 2 2,从而可知数列 a n 5 2 2 是等比数列,进而求出数列n a n 5 2 2 的通项公式,最终再求数列 a n 的通项公式;例 9 已知数列 a n 满意 a n 1 2 a n 3 n 24 n 5,a 1 1,求数列 a n 的通
13、项公式;2 2解:设 a n 1 x n 1 y n 1 z 2 a n xn yn z 2将 a n 1 2 a n 3 n 4 n 5 代入式,得2 2 22 a n 3 n 4 n 5 x n 1 y n 1 z 2 a n xn yn z ,就2 22 a n 3 x n 2 x y 4 n x y z 5 2 a n 2 xn 2 yn 2 z2 2等式两边消去 2 a ,得 3 x n 2 x y 4 n x y z 5 2 xn 2 yn 2 z ,爱护原创权益 净化网络环境名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - -
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