2022年立体几何证明垂直专项知识点及练习.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立体几何证明 - 垂直一. 复习引入1. 空间两条直线的位置关系有：_,_,_三种；2. （公理 4）平行于同一条直线的两条直线相互 _. 3. 直线与平面的位置关系有 _,_,_三种；4. 直线与平面平行判定定理 : 假如 _的一条直线和这个平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行5. 直线与平面平行性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么 _. 6. 两个平面的位置关系 :_,_. 7. 判定定理 1：假如一个平面内有 _直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行 . 8. 线面垂直性质定理：垂直

2、于同一条直线的两个平面 _. 9. 假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的 10. 假如两个平面平行,那么其中一个平面内的全部直线都 二 学问点梳理 学问点一、直线和平面垂直的定义与判定_平行 . _于另一个平面 . 语言描述定义判定假如直线 l 和平面 内的任意一条直一条直线与一个平面内的两条相交线都垂直,我们就说直线l 与平面直线都垂直, 就这条直线与该平面垂直. 相互垂直,记作 l名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 图形条件b 为平面 内的任始终线, 而 l 对这l m, l n , m n B, m,

3、结论始终线总有 l nl l 要点诠释：定义中“ 平面内的任意一条直线” 就是指“ 平面内的全部直线” ,这与“ 很多条直线” 不同（线线垂名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 直 线面垂直）学问点二、直线和平面垂直的性质性质语言描述一条直线垂直于一个平面, 那么这条垂直于同一个平面的两条直线平行. 直线垂直于这个平面内的全部直线图形条件结论学问点三、二面角.二面角： 从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫二面角（dihedral angle）. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面 . 记作二面角AB

4、. （简记 PABQ）二面角的平面角的三个特点 : . 点在棱上 . 线在面内 . 与棱垂直.二面角的平面角： 在二面角 l 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足, 在半平面 , 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA 和 OB ,就射线 OA 和 OB 构成的作用：衡量二面角的大小；范畴：000 180 . AOB 叫做二面角的平面角 . 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点四、平面和平面垂直的定义和判定文字描述定义判定就这两个平面相交,假如它们所成的二面一个平面过另一个平面的垂线,角是直二面角,就说这两个

5、平面垂两个平面垂直直. 图形名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 9 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结果 =l -l- =90 o PA. COBD（垂直问题中要留意题目中的文字表述,特殊是“ 任何” “三常用证明垂直的方法随便” “ 很多” 等字眼）立体几何中证明线面垂直或面面垂直都可转化为线线垂直,而证明线线垂直一般有以下的一些方法：（1）通过“ 平移” ；a平面（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质；（3）利用勾股定理；（4）利用直径所对的圆周角是直角1 通过“ 平移”, 依据如a / /b, 且b平面 ,就1在四棱锥 P-ABCD中, PBC为正

6、三角形, AB平面 PBC,AB CD,AB= 1 DC,2E 为 PD中点. D 求证： AE平面 PDC. A E B C P 2如图,四棱锥 PABCD 的底面是正方形, PA底面 ABCD ,PDA=45 ,点 E 为棱 AB 的中点求证：平面 PCE平面 PCD；PFEAD（2）利用等腰三角形底边上的中线的性质B（ 第2 题C第 5 页,共 9 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 3、在三棱锥 PABC 中,ACBC2,ACB90o, APBPAB , PCAC （）求证： PCAB ；P A B （3）利用勾股定理1 的正方形

7、,PACD PA1,PDC 4.如图,四棱锥 PABCD的底面是边长为2.求证 : PA平面 ABCD ；_P_A _D（4）利用直径所对的圆周角是直角_B_C5、如图, AB 是圆 O 的直径, C 是圆周上一点, PA平面 ABC. （1）求证：平面 PAC平面 PBC；课堂及课后练习题：1. 判定以下命题是否正确,对的打“ ”,错误的打“ ” ；）位置 关 系是（1）垂直于同始终线的两个平面相互平行（）（2）垂直于同一平面的两条直线相互平行（）（3）一条直线在平面内,另一条直线与这个平面垂直,就这两条直线垂直（2. 已 知 直 线a,b和 平 面, 且ab a,就b与的_. 3.如下列图

8、, 在四棱锥 PABCD 中,AB平面PAD,AB/ / CD , PDAD , E 是 PB的中点, F 是 CD 上的点,且DF1AB , PH 为PAD 中 AD 边上的高；第 6 页,共 9 页2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （1）证明： PH 平面 ABCD；4. 如 图 所 示 , 四 棱 锥 P ABCD 底 面 是 直 角 梯 形BAAD,CDAD,CD2AB,PA底面 ABCD, E 为 PC 的中点 , PAAD；证明 : BE平面PDC; 5. 如图,在三棱锥 PABC 中, PAB 是等边三角形, PAC=PB

9、C=90 o证明： ABPC6. 如图,四周体 ABCD 中, O、E 分别是 BD、BC 的中点,CACBCDBD2,ABAD2.（1）求证： AO平面 BCD ；（2）求异面直线 AB 与 CD 所成角的大小；ADO7.如图,四棱锥SABCD 中,ABBC, BCCD ,侧面 SAB为等边三BEC2,CDSD1证明：SD平面SAB; 第 7 页,共 9 页角形,ABBC名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 8.如图,在圆锥PO中,已知PO =2 ,O 的直径AB2,C 是狐 AB 的中点,D为AC的中点证明：平面POD 平面PAC ; 课

10、堂及课后练习题答案：1 b（2） （3）（1） 2. b/或者3. 证明：由于 PH 为PAD 中 AD 边上的高,所以 PHAD ,又由于AB平面PAD,所以 ABPH ,ABIAD A,所以 PH平面ABCD平面PDC4.分析：取 PD 的中点 F,易证 AF/BE, 易证 AF平面 PDC,从而 BE.5.证明：由于PAB 是等边三角形,PACPBC90, 所以 Rt PBCRt PAC , 可得 ACBC ；如图,取 AB 中点 D ,连结 PD , CD , 就 PDAB , CDAB , BD.3.OC .第 8 页,共 9 页所以 AB平面 PDC , 所以 ABPC ；6.（1

11、）证明：连结 OC QBODO ABAD,AOQBODO BCCD,COBD.在AOC 中,由已知可得AO1, COo 90 ,即AO而AC2,AO2CO2AC2,AOC名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - QBDIOCO,AO平面 BCD7. （I）取 AB 中点 E,连结 DE,就四边形 BCDE 为名师归纳总结 矩形, DE=CB=2,连结 SE,就SEAB SE3.第 9 页,共 9 页又 SD=1,故ED2SE22 SD ,所以DSE为直角；由ABDE ABSE DEISEE,得AB平面 SDE,所以ABSD；SD 与两条相交直线AB、SE 都垂直；所以SD平面 SAB；- - - - - - -