2022年湖南省高三数学新高考解析几何题型与方法专题分析.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载解析几何问题的题型与方法考试要求 ：（1）能依据已知条件,娴熟地挑选恰当的方程形式写出直线与圆的方程,并能利用直线和圆的方程来争论有关的 问题 . 2 明白线性规划方法在数学方面的应用；会用线性规划方法解决一些实际问题 . （3）把握直角坐标系中的曲线与方程的关系和轨迹的概念；能够依据所给条件,挑选适当的直角坐标系求曲线的 方程并画出方程所表示的曲线；4 把握圆锥曲线的标准方程及其几何性质；明白圆锥曲线的一此实际应用；5 明白用坐标法及向量法争论几何问题的思想,把握利用方程争论曲线性质的方法高考解析几何试题一般占 35 分左右

2、,命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查；挑选题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线的基础学问；解答题重点考查圆锥曲线中的重要学问点,通过学问的重组与链接,使学问形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,曲线与方程的关系和轨迹,求解有时仍要用到平几的基本学问和向量的基本方法,这一点值得留意；教学过程：一、基础训练：1如过原点的直线与圆2 x +2 y + x 4 +3=0 相切,如切点在第三象限,就该直线的方程是（ C ）11,就双曲线Ay23x1By3xCyx23x21Dy3x（ B ）332椭圆xy2 ab0 离心率为3 , 就双曲线 2y的离心率为a2b2a2b2A5B5 C22 32x 上的

3、一点 M到焦点的距离为D5 443如动点 x, y 抛物线 y=41,就点 M的纵坐标是 B A . 17 B . 15 C. 7 D . 0 16 16 84已知定点 A、B 且|AB|=4 ,动点 P满意 |PA| |PB|=3 ,就 |PA| 的最小值是（ C ）A.1B.3C.7 22D.5 x2y2225. 如椭圆长轴长与短轴长之比为2,它的一个焦点是15 ,0, 就椭圆的标准方程是80206已知直线yx1与椭圆2 mxny21mn0相交于A B 两点,如弦 AB 中点的横坐标为3x2y21的两条渐近线夹角的正切值是42 mn23二、例题分析：例 1、已知双曲线x2y21的离心率e2

4、33,过A a,0,B0,b 的直线到原点的距离是3.第 1 页,共 8 页a2b22（1）求双曲线的方程；5 k0交双曲线于不同的点C,D且 C,D都在以 B为圆心的圆上,求k 的值 . （2）已知直线ykx解：（ 1）c233,原点到直线AB：xy1的距离dbaabb23.ab3. 2c2aaba1,故所求双曲线方程为x2y21.3（2）把ykx5代入x23y23中消去 y,整理得 13k2x230kx780. 设Cx 1,y1,Dx2,y2,CD的中点是Ex0y0,就名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载一般可用两个方

5、1,由“ x0x12x2115k2y0kx0515k2,3k3kBEy0011.xkx0ky 0k0 ,即115k215kk2k0,又k0,k27故所求 k=7 . 3k3说明： 为了求出k的值 , 需要通过消元 , 想法设法建构k 的方程 . 直线与圆锥曲线相交问题,程联立后,用 0来处理但有时用 0 来判定圆锥曲线相交问题是不行靠的解决这类问题：方法0” 与直观图形相结合；方法2,由“ 0” 与根与系数关系相结合；例 2、直线 l 过抛物线y22px p0 的焦点,且与抛物线相交于Ax1,y1和Bx2,y2两点 . （1）求证：4x1x2p2; （2）求证：对于抛物线的任意给定的一条弦CD

6、,直线 l 不是 CD的垂直平分线 . 解: （1）易求得抛物线的焦点 F P , 0 . 22如 l x 轴,就 l 的方程为 x P, 明显 x 1 x 2 P . 2 42 2如 l 不垂直于 x 轴,可设 y k x P , 代入抛物线方程整理得 x 2P 1 2 P2 x P,0 就 x 1 x 2 P . 2 k 4 4综上可知 4 x 1 x 2 p 2.（2）设 C c 2, c , D d 2, d 且 c d,就 CD的垂直平分线 l 的方程为 y c d c d x c 2d 22 p 2 p 2 2 p 4 p2 2假设 l 过 F,就 0 c d c d p c d

7、整理得2 2 p 2 4 p c d 2 p 2c 2d 2 0 p 0 2 p 2c 2d 20,c d 0 . 这时 l 的方程为 y=0,从而 l 与抛物线 y 2 2 px 只相交于原点 . 而 l 与抛物线有两个不同的交点,因此 l 与 l不重合, l 不是 CD的垂直平分线 . 说明： 此题是课此题的深化,课本是高考试题的生长点,复习要重视课本；解此题时,不要忽视对 l x 轴这一特别情形的争论；例 3、已知过动点M（ a ,0）且斜率为1 的直线 l 与抛物线y22pxp0交于不同的两点A、B（）如|AB|2p,求a的取值范畴；MNQ的面积（）如线段AB的垂直平分线交AB于点 Q

8、,交 x 轴于点 N,试求Rt解：（）直线 l 的方程为：yxa,8pp2a 将yxa代入y22px,得x22apxa20设直线 l 与抛物线两个不同交点的坐标为Ax 1y1、Bx2y2,4 ap24a20,就x 1x22 ap,x 1x2a2.又y1x1a ,y2x2a,|AB|x 1x22y 1y 222 x 1x224 x 1x2（）设pap0|AB|2p ,8pp2a 0,08p p2 a 2p解得24Qx3y3,由中点坐标公式,得x2ap|QM|2ax3ax 12x2a2p,2y3y 12y2x 1a2p2p02p第 2 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习

9、资料 - - - - - - - - - 又MNQ 为等腰直角三角形,学习必备欢迎下载S MNQ1|QM2|p2说2明： 弦长求法是圆锥曲线的典型问题,设圆锥曲线Cfx ,y=0 与直线 l y=kx+b 相交于 Ax1,y1 、Bx 2,y2两点,就弦长 |AB| 为：2 如弦 AB过圆锥曲线的焦点F,就可用焦半径求弦长,|AB|=|AF|+|BF|例 4、已知圆 x+4 2+y 2=25 的圆心为 M1,圆 x4 2+y 2=1 的圆心为 M2,一动圆与这两个圆都外切 . （1）求动圆圆心 P 的轨迹方程；（2）如过点 M2的直线与（ 1）中所求轨迹有两个交点 A、B,求 |AM1| |B

10、M1| 的取值范畴 . 解：（1） |PM1|-5=|PM 2|-1 , |PM1| - |PM 2|=4 动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支；2 2x y故所求轨迹方程为=1（x2）；4 12c=4,a=2,b 2=12,（ 2）当过 M2 的直线倾斜角不等于 时,设其斜率为2直线方程为 y=kx-4, 与双曲线 3x 2-y 2-12=0 联立,k,2x2+8k2x-16k2-12=0 消去 y 化简得 3-k又设 Ax 1,y 1 ,Bx 2,y 2 , x10,x20 由x1x2x2168k20k230解得 k23；x1k212k2364k4163k24k230由

11、双曲线左准线方程 x=-1且 e=2,有 |AM1| |BM1|=e|x1+1| e|x 2+1|=4x1x 2+x 1+x2+1 =416k212+8 k23+1=100+336k2-30 , |AM1| |BM1|100 k23k2k23又当直线倾斜角等于2时, A4,y 1 ,B4,y2 ,|AM1|=|BM 1|=e4+1=10 |AM1| |BM1|=100 故 |AM1| |BM1| 100；说明 ：与圆锥曲线有关问题的解决要敏捷运用圆锥曲线的定义和几何性质例 5、 已知中心在原点的双曲线C的右焦点为 2,0 ,右顶点为30,；OAOB2 其中 O为原点 ,求 k1求双曲线 C的方

12、程；2与双曲线 C恒有两个不同的交点A 和 B,且2如直线 l ：ykx的取值范畴；名师归纳总结 解：（）设双曲线方程为x2y21a0 ,b0.故双曲线 C的方程为x2y21.第 3 页,共 8 页a2b2由已知得a3,c2 ,再由a2b222,得b21.33 k2x2（）将ykx2代入x2y21 得162kx90.3由直线 l 与双曲线交于不同的两点得13k20,62 23613 k2361k20.即k21且k21.设A x A,yA,B xB,yB,就3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载x A x B 6 2 k2 , x x B

13、 92 , 由 OA OB 2 得 x x B y y B 2,1 3 k 1 3 k而 x x B y y B x x B kx A 2 kx B 2 k 21 x x B 2 k x A x B 222 9 6 2 k 3 k 7 k 1 2 2 k 2 2 2 .1 3 k 1 3 k 3 k 12 2于是 3 k2 72, 即 3 k2 90, 解此不等式得 1k 2 3 . 3 k 1 3 k 1 3由、得 1k 21 . 故 k 的取值范畴为 1, 3 3,1.3 3 3说明 ：向量数量积的坐标表示,构建起向量与解析几何的亲密关系,使向量与解析几何融为一体；2 2例 6、已知椭圆

14、x2 y2 1 a b 0 的长、短轴端点分别为 A、B,从今椭圆上一点 M向 x 轴作垂线,恰好通过a b椭圆的左焦点 F ,向量 AB 与 OM 是共线向量；（1）求椭圆的离心率 e；（2）设 Q是椭圆上任意一点,F 、F 分别是左、右焦点,求F 1QF 2 的取值范畴；2 2解：（1）F 1 c 0, , 就 x M c , y M b,k OM b；a ac2k AB b , OM 与 AB 是共线向量,b b, b=c, 故 e 2；a ac a 2FQ r 1 , F Q r 2 , F QF 2 ,（2）设r 1 r 2 2 , a F F 1 2 2 ,2 2 2 2 2 2

15、2cos r 1 r 2 4 c r 1 r 2 2 r r 1 2 4 c a1 a1 02 r r 1 2 2 r r 1 2 r r 1 2 r 1 r 2 22当且仅当 r 1 r 2 时, cos =0, ,0 ；2说明 ：由于共线向量与解析几何中平行线、三点共线等具有异曲同工的作用,因此,解析几何中与平行线、三点共线等相关的问题均可在向量共线的新情形下设计问题；求解此类问题的关键是：正确懂得向量共线与解析几何中平行、三点共线等的关系,把有关向量的问题转化为解析几何问题；例 7、 已知 M：x2y221 ,Q是x轴上的动点, QA,QB分别切 M于 A,B两点；1,由 射 影 定 理

16、 , 得（1）假如 | AB | 4 2,求直线 MQ的方程；3（2）求动弦 AB的中点 P 的轨迹方程 . 解 : （ 1 ） 由| AB|432, 可 得|MP|MA2 |AB| 22 1232223|MB2 |MP|MQ|,得|MQ|,3在 Rt MOQ中,|OQ|MQ|2|MO2 |32225, 故a5 或a5,所以直线 MQ方程是2x5y250 或2x5y250 ;（2）连接 MB,MQ,设Px,y,Qa0,由点 M,P,Q在始终线上,得2x2yx2,*2由射影定理得|MB|2|MP|MQ|,第 4 页,共 8 页a即y2 a24,1*把（ *）及（ * ）消去 a,名师归纳总结 -

17、 - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载并留意到 y 2,可得 x 2 y 7 2 1 y 2 .4 16说明： 适时应用平面几何学问,这是快速解答此题的要害所在；求轨迹方程时,要留意检验结论的纯粹性与完备性；2 2例 8、点 A、B 分别是椭圆 x y 1 长轴的左、右端点,点 F 是椭圆的右焦点,点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,36 20PA PF；（ 1）求点 P 的坐标；（ 2）设 M是椭圆长轴 AB上的一点, M到直线 AP的距离等于 | MB |,求椭圆上的点到点 M的距离 d 的最小值；解: （1）由已知可得点 A6,0,

18、F0,4 设点 P x , y , 就 AP =（ x +6, y ）, FP =（ x 4, y ）, 由已知可得2 2x y 136 202 x 6 x 4 y 0就 2 x +9 x 18=0, x = 2 3 或 x =6. 由于 y 0, 只能 x = 3 , 于是 y = 5 3 . 2 2 2点 P的坐标是 3 , 5 3 2 2 2 直线 AP的方程是 x 3 y +6=0. m 6 m 6设点 Mm ,0, 就 M到直线 AP的距离是 . 于是 = m 6 , 又6 m 6, 解得 m =2. 2 2椭圆上的点 x , y 到点 M的距离 d 有d 2 x 2 2y 2x 4

19、 x 24 20 5 x 2 4 x 9 215 , 9 9 2由于 6 m 6, 当 x = 9 时 ,d 取得最小值 152说明： 在解析几何中求最值：一是建立函数关系,利用代数方法求出相应的最值；再是利用圆锥曲线的几何性质或者曲线的参数方程求最值；例 9、在 Rt ABC中, CAB90 ,AB2,AC2 ,一曲线 E 过 C点,动点 P在曲线 E 上运动,且保持 2|PA|PB|的值不变（1）建立适当的坐标系,求曲线 E 的方程；（2）直线 l ：y x t 与曲线 E交于 M,N两点,求四边形MANB的面积的最大值解: （1）以 AB为 x 轴,以 AB中点为原点O建立直角坐标系x2

20、y21x ,y ）,第 5 页,共 8 页|PA|PB|CA|CB|2222222,22动点轨迹为椭圆,且a2,c1,从而 b1方程为2（ 2）将 yxt 代入x2y21,得3x24tx2 t220设 M（1x ,1y ）、N（216 t2432 t22 0,x 1x24 t,由得2t33x 1x 22 t232名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - SMANB1|AB|y 1y2|y 1y2|学习必备欢迎下载S 大26|x 1x2|262t2t 0 时,233例 10、在平面直角坐标系xOy 中,抛物线y2 x 上异于坐标原点的两不同动点、满

21、意AOBO（如图所示）（）求（）AOB 得重心（即三角形三条中线的交点）的轨迹方程；AOB 的面积是否存在最小值？如存在,恳求出最小值；如不存在,请说明理由y A B 解：（I ）设 AOB的重心为 Gx,y,Ax1,y 1,BxO x 3x 2 （ 1）xx12,y 2, 就y1y2OA OB kOAkOB1, 即x 1x2y 1y 2y31, 2又点 A,B在抛物线上,有y 162 x 1,y2x2,代入（ 2）化简得x 1x 211；2yy 13y212 x 1x21x 1x 222x 1x21 3 x 223x22323333所以重心为G的轨迹方程为y3x22 x 122 y 12 x

22、 22 y 212 x 12 x 22 x 12 y 22 x 22 y 12 y 12 y 23（II ）S AOB1|OA| OB|1222由（ I ）得SAOB16 x 1x2126 x 16 x 22121 6212122222当且仅当x6x6即x 1x 21时,等号成立；所以AOB的面积存在最小值,存在时求最小值12说明： 求轨迹方程是近几年高考的热门问题,直接法、定义法、转移法、参数法（交轨问题）是最常见的方法；例 11、已知方向向量为v ,13的直线 l 过点（0 ,23）和椭圆C:x2y21 ab0的焦点,且椭圆Ca2b2C的右准线上 . 的中心关于直线l 的对称点在椭圆（）求

23、椭圆C的方程；（）是否存在过点E（ 2,0）的直线m交椭圆 C于点 M、 N,满意OMON246cot MON 0（O为原点） .3如存在,求直线m的方程；如不存在,请说明理由. x,3（I ）解：直线l:y3x33,过原点垂直 l 的直线方程为y3解得x3.a23 .23椭圆中心（ 0, 0）关于直线 l 的对称点在椭圆C的右准线上,c2直线 l 过椭圆焦点,该焦点坐标为（2,0）. 第 6 页,共 8 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载k2,c2,a26 ,b22.故椭圆 C的方程为x2y21.62（II ）设 M（

24、x 1, y 1）,N（x 2, y2） . 当直线 m不垂直 x 轴时,直线m:ykx2 代入,整理得3k21 x212k2x12k260,x1x212k21,x1x212k26,3 k23 k21|MN|1k2x 1x224x 1x21k212k2 12412 k2626 13 k23k213k21点 O到直线 MN的距离d|2k|21kOMON46cotMON,即|OM|ON|cosMON46cosMON,033sinMONAB的垂直平分线与椭圆相交|OM|ON|sinMON46,SOMN26.|MN|d46,333即46|k|k21463k21 .整理得k21,k3.333当直线 m垂

25、直 x 轴时,也满意SOMN26. 3故直线 m的方程为y3 x 3233,或y3 x 3233,或x2.经检验上述直线均满意OMON0. 所以所求直线方程为y3 x 3233,或y3 x 3233,或x2.说明： 存在性问题是解析几何中常见的问题,一般是以假设存在为条件,进而获得结论；例 12、设 A、B 是椭圆3x2y2上的两点,点N（ 1,3）是线段 AB的中点,线段于 C、D两点 . 名师归纳总结 （）确定的取值范畴,并求直线AB的方程；. 0第 7 页,共 8 页（）试判定是否存在这样的,使得 A、B、 C、D四点在同一个圆上？并说明理由（ I ）解法 1：依题意,可设直线AB的方程

26、为ykx1 ,3代入3x2y2,整理得3 k3 2k23 x22kk3 xk3 20.设A x 1,y 1,B x2,y2,就x 1,x 2是方程的两个不同的根,4 k23且x 1x22kk3 . 由N 3,1 是线段 AB的中点,得x 12x2,1kk3 k23 .k23解得 k=-1 ,代入得,12,即的取值范畴是（12,+）. 于是,直线AB的方程为y3x1 ,即xy40.解法 2：设A x 1,y 1,Bx 2,y2,就有32 x 12 y 1,3x1x 2x1x2y 1y2y1y20.3x2 2y2 2依题意,x 1x2,kAB3 x1x2.y 1y2- - - - - - -精选学

27、习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载N 3,1 是 AB 的中点 , x 1 x 2 2 , y 1 y 2 ,6 从而 k AB 1 .又由 N 3,1 在椭圆内 , 3 1 23 212 .的取值范畴是 12 , .直线 AB 的方程为 y 3 x 1 , 即 x y 4 0 .（ II ）解法 1：CD 垂直平分 AB , 直线 CD 的方程为 y 3 x ,1 即 x y 2 0 . 代入椭圆方程,整理得24 x 4 x 4 0 . 又设 C x 3 , y 3 , D x 4 , y 4 , CD 的中点为 M x 0 , y 0 , 就 x 3 , x 4

28、 是方程 的两根,x 3 x 4 ,1 且 x 0 1 x 3 x 4 1, y 0 x 0 2 3,2 2 2即 M 1 , 3 .2 2于是由弦长公式可得 | CD | 1 1 2 | x 3 x 4 | 2 3 . k将直线 AB的方程 x y 4 ,0 代入椭圆方程得 4 x 2 8 x 16 0 . 同理可得 | AB | 1 k 2 | x 1 x 2 | 2 12 . 当 12 时 , 2 3 2 12 ., | AB | | CD .|假设在在 12,使得 A、 B、C、D 四点共圆,就 CD必为圆的直径,点 M为圆心 . ,点 M 到直线 AB 的距离为1 3d | x 0 y 0 4 | |2 2 4 | 3 2 . 2 2 2于是,由、式和勾股定理可得| MA | 2| MB | 2d 2| AB | 2 9 12 3 | CD | 2.2 2 2 2 2故当 12时, A、B、C、D四点在以 M为圆心,| CD | 为半径的圆上 . 即 A、B、C、D四点共圆2说明 ：“ 点差法” 是处理中点弦问题的常见方法；另外我们仍要留意用“ 点在曲线内” 求参数的取值范畴；名师归纳总结 第 8 页,共 8 页- - - - - - -