2022年第四讲基本不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载基本不等式一、基本不等式：定理 1：如 、b R,就 a 2b 22 ab,当且仅当 a b 时,a 2 b 2 2 ab等号成立；注：定理成立的条件 a,b R；02“” 成立的条件是 a b；3 0 几何意义是分别以 a、 边长的正方形的面积不小于以 a, 为边长的矩形的面积的 2 倍；2 定理 ：如 、b R,就 a b ab,当且2仅当 a b 时,取 “”注：定理成立的条件是 a,b R；2 0 等号成立的条件是 a b；3 0 几何意义是 1 直角三角形斜边上的中线不小于斜边上的高；2 圆的半弦长不小于半径长4 0

2、 主要应用：1 证明不等式；2 求最值或取值范畴；0 5如a bR,就a2b为a b 的算术平均,ab 为第 1 页,共 8 页a b 的几何平均；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二、题组 2：利用基本不等式证明不等式直通车P 272例 、所用基本学问：不等式的有关性质、两个基本定理、仍有柯西不等式、排序不等式；证明不等式的基本方法：比较法（最基本、最重要的 方法）、综合法、分析法、反证法、放缩法、构造法等；证题的基本思路：仔细分析已知条件,懂得好关键条 件条件,分析好条件与所求证式之间的关系,分析好条 件、结论与有关

3、定理的关系, 从而找出适当的证明方法；常用已证过的不等式：a20（a R）; a0（a R）; 第 2 页,共 8 页a2b22ab 及其变形；a2b22abb2ab;a22b2a2b2 ;a2b21 2ab ,a24ab ;a2bab （a0,b 0 ）及其变形ba2ab0,ba2ab0.abab121aba22b2ab名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载.k2k1,注：应用基本不等式进行放缩a123a12 ;242111,111,1k2k kk2k kkk1k2k1 以上k2 且Nk0 2应用反证法的情形： 1 直接证明

4、困难 ; 2 需分成许多类进行争论（3 结论为“ 至少” 、“ 至多” 、“ 有无穷多个” 等命题；（4）结论为“ 唯独” 类命题；第 3 页,共 8 页b2c2abbcac1. 求证：a22. 已知 a,b0,+ ,且 a+b=1,求证：1（ ）122 a18；2（1）ab2b2（3） a+12b1225；ab2（ ） a+1 ab125.b4名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3. 已知 a b c 01 , 求证：1 a b , 1 b c , 1 c a中至少有一个不大于 143 3 如 p 0, q 0, 且 p

5、 q 2, 求证：p q 25. 已知 x 0, 求证：2 x 1 x x 1x 1 x 2 2 x 16. 已知 a b c , 求证：1 1 4a b b c a c7. 已知 a b c R , 且 a 2b 2c 2,求证：a nb nc n , 其中, , n N在直角坐标系 xOy 中,点 P到两点0,3,0,3 的距离之和等于 4,设点 P的轨迹为 C,直线 y kx 1 与C交于 A,B两点（）写出 C的方程；（）如OA OB ,求 k 的值；（）如点 A在第一象限,证明：当 k0 时,恒有| OA | OB | 数列an为等差数列,a 为正整数,其前 n项和为S ,第 4 页

6、,共 8 页数列nb为等比数列, 且a 13, b 11,数列 b an是公比为 64 的等比数列,b S 264. 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）求 a b ；（2）求证 n n S 11 S 12 S 1n 34 . 设数列 a n 满意 a 1 0, a n 1 ca n 31 c n N *, 其中 c为实数；（）证明：a n 0,1 对任意 n N 成立的充 *分必要条件是 c 0,1；（）设 0 c 1,证明：a n 1 3 n 1, n N ; *3（）设 0 c 1,证明：32 2 2 2 *a

7、 1 a 2 a n n 1 , n N1 3 c三、题组 2 利用基本不等式求最值：1.定理：和为定值积最大；积为定值和最小；2. 重要结论：2ab12；baa2；aba2b2ab；a2b2a22；a3b3c33abcabcabc3, 其中, , , b cR3求最值的基本方法：函数单调性、配方法、判别式法、名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载有界性、导数法等；注；01 运用定理时在留意“ 肯定、二正、三相等”；直通车 P 1 2 2 解题技巧：等分某一个式子；两 0边平方后再处理或运用换元法进行转

8、化；直通车 P 179 4加 减 同一个数或乘 除 同一个数；直通车 P 1 3 P 270 例 2,“1” 的逆用；直通车 P 176 例 , 2 P 271 真题 4 , 3 解题步骤：先把所求式化 0为熟识的基本不等式,然后判定其是否为正数,再判定是否为定值,最终判定等号是否成立；0 4 敏捷运用各种方法求最值；直通车P 1763 1- 、P 3直通车P 272、P 275名校联考x 32 x 的最大值 . 已知0x3, 求函数y22. 如 , a bR,且满意abab3,就ab 的取值范畴是求函数y2x2y1x2第 6 页,共 8 页3x3的最小值 .xx求函数yx 23 2的最小值

9、. x2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 已知a0,b0学习必备欢迎下载10, 求3 b2 a, 2 a3 b的最大值；已知x0,y0,且x2y1,就u11xy的最小值；7. 已知 : x y R , 且 1 9 1, 求 x y 的最小值；x y28. 已知 : a b R , 且 a 2 b1, 求 a 1 b 2的最2大值 .已知函 f x kx b 数的图象与 x、y 轴分别相交于点 A、B, AB 2 i 2 j i、j 分别是与 x、y 轴正半轴同方2向的单位向量 , 函数 g x x 2 x 61 求 k、b 的值 ; 2

10、当 x 满意 fx gx 时, 求函数gx1的最小值 . fx 四、题组 3 基本不等式在实际中的应用解题思路：仔细审题,懂得好关键字眼,明确各个条件的关系,明白在做一件什么事；依据审题,建立合名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载适的数学模型；求解数学模型；检验所得结果是否满意题意；得出实际问题的解,并作答；某村方案建造一个室内面积为 800 m 的矩形蔬菜温室；在温室内, 沿左右两侧与后侧内墙各保留 1m 宽的通道,沿前侧内墙保留 3m 宽的空地；当矩形温室的边长各为多少时？蔬菜的种植面积最大；最大种植面积是多少？如图,为处理含有某种杂质的污水, 要制造一底宽为 2米的无盖长方体沉淀箱,污水从A 孔流入,经沉淀后从B孔流出,设箱体的长度为 a米,高为 b米,已知流出的水中该杂质的质量分数与a b的乘积 ab 成反比,现有制箱材料 60 平方米,问当 a b 出的水中该杂质的质量最小（各为多少米时, 经沉淀后流 A,B孔的面积忽视不计）名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页