2022年第二章数的运算第一节整数的运算.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第一节 整数的运算教学目标1. 懂得整数的四就运算的定义； 2. 把握整数运算性质和运算定律； 3. 敏捷运用运算性质和运算定律进行整数的混合运算；教学过程整数的运算含义的懂得及运算性质的把握是本节的重点；教学过程一、整数的运算（一）整数加法1.基本定义一般来说,在一个集合 F 上定义一个二元关系“+ ” ,满意：（1）交换律：对任意的 a , b F ,a + b = b + a F；（2）结合律：对任意的 a , b , c F , a + b + c = a + b + c；（3）单位元：存在一个元素 0 F ,

2、满意对任意的 a F ,a + 0 = 0 + a = a；（4）逆元：对任意的 a F ,存在一个元素 -a F ,满意 a + -a = 0；“+”称作定义在集合 F 上的加法；“+”是加号,加号前面和后面的数是加数,“=”是等于号,等于号后面的数是和；100（加数） + （加号） 300 （加数） = （等于号） 400 （和）定义 1（序数理论）：假如数a 与数 b 都是自然数,在自然能数列中的数a 之后,在数出 b 个数来,恰好对应于自然数列中的数c,那么数 c 就叫做 a 与 b 的和；求两个名师归纳总结 数和的运算叫做加法；c 是 a 与 b 的和,记作： a+b=c, 读作：

3、a 加 b 等于 c,a 和 b 都叫第 1 页,共 10 页做加数,符号 “+”叫做加号；定义 2（基数理论）：设A、 B是两个不相交的有限集合,它们的基数分别是a和 b,假如集合 A 与 B 合并所得的并集是C,那么并集C 的基数 c 就叫做 a 和 b 的和,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆求两个数和的运算叫做加法；c 是 a 与 b 的和,记作： a+b=c, 读作： a 加 b 等于 c,a 和b 都叫做加数,符号“+”叫做加号；2.主要性质（1）加法交换律：a+b=b+a 例： 8+1=1+8=9 （2）加法结合

4、律 :a+b+c=a+b+c 例： 7+4+1=7+（4+1 ）= （7+4 ）+1=12 （3）推广：如干数加上如干数的加法,可以任意交换,任意结合,和不变；3.和的变化规律假如 a+b=c, 那么 a+m+b=c+b 假如 a+b=c, 那么 a-m+b=c-b 假如 a+b=c, 那么 a+m+b-m=c 4.加法表5.加法法就数位对齐,个位加起,满十进一；6.运算符号 “+” “-”的由来四就运算种种符号是从十五世纪才开头逐步使用的；德国数学家魏德曼在 1489年他的著作简算与速算一书中第一使用“+” “-”,他认为,一条横线与一条竖线合并在一起来表示合并（增加）的意思,而从加号“+”

5、中去掉一竖,就表示拿去（削减）的意思；在 1514 年荷兰数学家赫克作为代数运算符号,后经法国数学家韦达的宣扬和提倡,才得以普及,直到 1630 年才得到大家公认；（二）整数减法1.基本定义名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆减法是四就运算之一,从一个数量中减去另一个数量的运算叫做减法 ;已知两个加数的和与其中一个加数,求另一个加数的运算叫做减法；表示减法的符号是 - ,读作减号；用来运算减量 . 算式名称减号 - 是减号,减号前面的数是被减数,减号后面的数是减数,= 是等于号,等于号后面的

6、数是差；10000 被减数 - 减号 6000 减数 = 等于号 4000 差 减法定义的懂得设 A 是一个有限集合（基数为 a）, B 是 A 的一个子集（基数为 b）,从集合 A中取出集合 B 的全部元素以后,得到集合 C（基数为 c）是集合 A 与集合 B 的差集；因此,已知 a 与 b,求它们的差 c 的运算,就是求集合 A 与集合 B（B 是 A 的子集）的差集的基数；注：整数减法在非负整数集中不是总是可以施行的,但是,假如两个数的差存在,那么它肯定是唯独的；2.性质（1）减去一个数,等于加这个数的相反数；（2）a-b+c=a-b-c （3）a-b-c=a-b+c 4 如干数的和减去

7、如干数的和3.差的变化规律 1 假如 a-b=c, 那么（ a+m ）-b=c+m 2 假如 a-b=c, 那么（ a-m ）-b=c-m 3 假如 a-b=c, 那么 a+m-b+m=c 假如 a-b=c, 那么 a-m-b-m=c 4 减法口诀表10-1=9 10-2=8 9-1=8 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆10-3=7 9-2=7 8-1=7 10-4=6 9-3=6 8-2=6 7-1=6 10-5=5 9-4=5 8-3=5 7-2=5 6-1=5 10-6=4 9-5

8、=4 8-4=4 7-3=4 6-2=4 5-1=4 10-7=3 9-6=3 8-5=3 7-4=3 6-3=3 5-2=3 4-1=3 5.减法的运算法就数位对齐,个位减起,借一当十；6.加减法的关系加减法的验算（三）整数乘法1.基本定义定义的第一种懂得 b （大于 1 的整数）个相同加数 求两个数积的运算叫做乘法；记作 a b=c ,或 a.b=c ；也可以记作 b a=c, 或 b.a=c a 的和 c 叫做 a 与 b 的积；读作 “ b乘 a 等于 c ”或“ a乘 b 等于 c ”补充定义当 b=1 时, a 1=a 当 b=0 时, a0=0 定义的其次种懂得设有 b 个没有公

9、共元素的等价集合A1A2.Ab, 它们的基数是a,它们并集 C 的基数为 c,那么 c 叫做 a 与 b 的积；求两个数积的运算叫做乘法；意义名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆3 5 表示 5 个 3 相加或 3 个 5 相加；名称 是乘号,乘号前面和后面的数叫做因数,叫做积；= 是等于号,等于号后面的数10 因数 乘号 200 因数 = 等于号 2000 积 因数也叫乘数；2.运算性质整数的乘法运算满意 : 交换律,结合律,安排律,消去律；1 乘法交换律： ab=ba ,注 :字母与字母

10、相乘,乘号不用写,或者可以写成；2 乘法结合律： abc=abc ,3 乘法安排律： a+bc=ac+bc；4 乘法消去律：如 AX=AY ,且 A O,就 X=Y 5 如干数的和与一个数的积 6 如干数的和与如干数的和的积7 如干数的差与一个数的积 3.积的变化规律（1）假如 a b=c ,那么（ a n） b=c n （2）假如 a b=c ,那么（a n） （b n）=c 4.乘法的运算法就（1）表内乘法 小九九 的由来九九乘法歌诀,又常称为小九九 ；现在同学学的小九九 口诀,是从 一一得一 开头,到 九九八十一 止,而在古代,却是倒过来,从九九八十一 起,到 二二得四 止；由于口诀开头

11、两个字是九九 ,所以,人们就把它简称为九九 ；大约到13、14 世纪的时候才倒过来像现在这样一一得一 九九八十一 ；名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆中国使用 九九口诀 的时间较早；在荀子、管子、淮南子、战国策等书中就能找到 三九二十七 、六八四十八 、四八三十二 、六六三十六 等句子；由此可见,早在 春秋 、战国 的时候,九九乘法歌诀就已经开头流行了；大九九有 81 句,小九九 45 句；（2）多位数乘法及积的位数两个因数的积的位数,等于这两个因数的位数的和,或者比这个和少 1. 5.符

12、号 “=” “ ” “ ”的由来16 世纪英国皇家法庭医生罗伯特；雷克达在进行数学讨论时 ,常常遇到两个数相等而无法标记 ,就决心制造一个符号.他觉得 世界上再也没有两条平行而又相等的直线更相同了 ,于是就用两条平行线来表示两个相等的数 ,这就产生了 = 号. 18 世纪 ,英国数学家欧德莱认为乘法也是增加数目,但与加法不同 .于是他把 +号斜写成 号,表示数学中增加数目的另一种运算法 .而学者哈纳在算帐时遇到要把一个整数分成数份 .由于没有可用的符号 ,于是就用一条横线分开两个圆点来表示这种算法 ,这就是 号. 符号 “；” “： ” “ 【】 ” “ ” “ ” ,十七世纪哈利阿；：,莱布

13、尼兹【】瓦里士 韦达（四）整数除法1.基本定义除法是四就运算之一；已知两个因数的积与其中一个因数,求另一个因数的运算,叫做除法；如 ab=c （b 0）,用积数 c 和因数 b 来求另一个因数 a 的运算就是除法,写作 c/b ,读作 c 除以 b（或 b 除 c）；其中, c 叫做被除数, b 叫做除数,运算的结果 a叫做商；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆为什么不再区分“等分除 ” “包含除 ”（1）把 12 根香蕉,平均分成2 份,得出每份6 根,这一分物活动用算式表示为：12 2

14、=6 ,这就是所谓的 “等分除 ”；为：（2）把 12 根香蕉,每 4 根发一盘,求需要几个盘子,这一分物活动用算式表示12 4=3 这就是所谓的 “包含除 ”；0 不能作除数的缘由1.假如除数是0,被除数是非0 的自然数,就没有任何一个数（商）与（0）相乘能得到一个非 0 的自然数,它们相乘只能得到 0,在这种情形下,商是不存在的；2.假如被除数和除数都等于 0,就有很多数（商）与 0（除数）相乘,结果都得到 0（被除数）,在这种情形下,商是不唯独的；所以 0 不能作除数；注：整数除法在非负整数集中不是总是可以施行的,但是,假如两个数的商存在,那么它肯定是唯独的；名师归纳总结 - - - -

15、 - - -第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆 1. （ab）.b=a 2.a.bb=a 2.有余数的除法已知两个数 a、b（b 是自然数）,要求两个整数 a=bq+r, 并且 rb, 这种运算叫做有余数的除法；记作 a b=q 余 r q、 r 满意以下条件：a 叫做被除数, b 叫做除数, q 叫做商, r 叫做余数；a-b-b-b-.-b=r 3.除法的运算性质（1）a b.c=a b c （2）a b c=ab.c c.b （3）a.b c=a（4）a b c=ac b 5 两个数的差除以一个自然数（6）如干个数的和除以

16、一个自然数 4.除法的运算法就及商的位数 两个数的商的位数,等于被除数与除数的位数差,或者比这个差多一；5.商的变化规律（1）假如 a b=q, 那么（ an） b=q n 假如 a b=q, 那么（ a n） b=q n （2）假如 a b=q, 那么 ab n=q n 假如 a b=q, 那么 a b n=q n （3）假如 a b=q, 那么（ an） b n=q 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆假如 a b=q, 那么（ a n） b n=q （4）假如 a b=q （余 r ）

17、那么（a n） b n=q （余 r n）（a n） b n=q 余 r n 二、估算对事物的数量或运算结果作出粗略的判定或猜测的过程叫做估算；作用：对运算结果经行猜测对运算后结果的考查1.依据已知数据的最高位数字和最低位数字估算 1 547+4 084-2 369 3 094 507 2.依据已知数据的部分高位估算 3 543+446+55 3 458 23 3.利用四舍五入法进行估算 8732 639 48327 623 三、简便运算1.转变运算次序 78+45+35+22 723- （420-277 ）5600 （25 7）2.把已知数凑成整十整百；的数 560 125 573-99 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆3.应用数的分解的方法45 14 125 42 25 28 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页