2022年等差数列的性质、求和知识点及训练.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结 优秀学问点等差数列的性质、求和学问点及训练 重点：把握等差数列的通项公式、 求和公式以及等差中项的求法难点: 对等差数列的综合考察一学问梳理1. 定义：anan1d（ d为常数）（n2）；2等差数列通项公式：ana 1anna1 dndna 1d nN*d,首项 :1a ,公差 :d ,末项 :a n推广：mm d从而anam；nm3等差中项2A（1）假如 a , A , b 成等差数列,那么A叫做 a 与b的等差中项即：Aab或2abn2（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列an是 等 差 数 列2anan-1an12an1anan

2、21d n4等差数列的前n 项和公式：s nn a 12a nna 1n n1dd n 22a 122An2Bn（其中 A、B是常数）（当 d 0时, Sn是关于 n的二次式且常数项为0）5等差数列的判定方法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）定义法：如anan1d名师总结优秀学问点nNan是等差数列或an 1and 常数（ 2 ） 等 差 中 项 ： 数 列an2是 等 差 数 列2anan-1an1n22an1anan2knb（其中k,b是常数）；（3）数列an是等差数列a n（4）数列an是等差数列S n

3、AnBn , （其中 A、B是常数）；6等差数列的证明方法定义法：如 a n a n 1 d 或 a n 1 a n d 常数 n N a n 是等差数列7. 提示 ：（ 1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中, 涉及到 5 个元素：1a 、d 、 n 、a n及 S ,其中 a 、 d 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）通常把题中条件转化成只含 a 和 d 的等式！8. 等差数列的性质：（1）如公差d0,就为递增等差数列,如公差d0,就为递减等差数列,如公差d0,就为常数列；名师归纳总结 （ 2） 当 mnpq时 , 就

4、有amaan,apaq, 特 别 地 , 当mn2p时 , 就 有第 2 页,共 12 页aman2 a . S 2nS nS 3nS 2n, 也成等差数列（公差为 md ）3 如a 是等差数列,就S n,图示：a 1a2a3mamS 3ma 2ma2 m1a 3m1S mS2mS mS 3mS2m- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）如等差数列 a n、 b n名师总结优秀学问点A nf n ,的前 n 和分别为A 、B ,且Bn就 a b n n 2 2 n n 1 1 a b n n A B 22 nn 11 f 2 n 1 . （5）如 a

5、n、nb 为等差数列,就 a n b n 为等差数列6 求 S 的最值法一：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数,故 n取离二次函数对称轴最近的整数时,为np2q法二：“ 首正” 的递减等差数列中,前S 取最大值（或最小值） ；如 S p = S q就其对称轴n 项和的最大值是全部非负项之和即当a10,d0,由an100可得S 达到 最大值 时的 n 值an“ 首负” 的递增等差数列中,前n 项和的最小值是全部非正项之和；即 当a 10,d0,由a n10可得S 达到 最小值 时的 n 值S 是前 n 项的a n0或求an中正负分界项S 奇是奇数项的和,S

6、偶是偶数项的和,（7）设数列an是等差数列,和,就：1. 当项数为偶数2 时,S 偶S 奇n d,其中 n 为总项数的一半,nd 为公差；2、在等差数列2n1项,就1an中,如共有奇数项S 2n1S 奇S 偶2n1an1S 奇n1 a n1S 奇S 奇S 偶a n1S 偶nan1S 偶n留意：解决等差数列问题时,通常考虑两类方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师总结优秀学问点的方程；基本量法：即运用条件转化为关于a 和d q 奇妙运用等差数列和等比数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,削减运算量【类型 1】

7、求等差数列通项【例 1】 .等差数列a 中,a 510,a 1231,求a 1, , d a n. 【变式 1】四个数成等差数列,它们的和为28,中间两项的积为40,求这四个数 . 【例 2】 等差数列a n中,a 3a 8a 1312,a a a 3 8 1324,求通项公式a . 【变式 1】等差数列a n中,a 510,a 1525,就a25的值是名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 2】已知等差数列 a n名师总结a 10优秀学问点1,就a 13 中a 618a 3【变式 3】 等差数列a n中, 1

8、aa 3a5105, 2 aa 4a699,就a20【变式 4】如等差数列a n的前 5 项和S 525,且a 23,就a7【例 3】 已知数列a n中,1a=1,a n1n21 a n,就数列a n的通项公式为 _ n【变式1】已知数列 an 中,1a=2,2a=3,其前 n项和S n满意S n1S n12S n1 n2,nN ,就数列 a n 的通项公式为 S nn22n ,数 A an=n Ba n=n2 Cna= n-l Dna=n+l 【例 4】在数列a n和数列nb中,S 为数列na的前 n 项和,且满意名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料

9、- - - - - - - - - 列b n的前 n 项和T 满意3 T nnb n名师总结b 1优秀学问点1,且1（1）求数列an的通项公式1, a n15 an5,求数列an的通项公式；（2）求数列b n的通项公式【例 5】数列a 中,a 1an【类型 2】求等差数列前 n 项和【例 1 已知a n为等差数列,S 为其前 n 项和,n* N ,如a316,S 2020,就S 10的值为_ 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 1】假如S nan2bnc名师总结优秀学问点n 项和,其中a, b,c 为常数,就

10、c是一个等差数列的前的值为6） 等差数列a n中,a 3a4a512,那么a 的前7 项和【例2】（ 10 年全国文S 7an、b n都是公差为 1 的等差数列, 其首项分别为a 、 1 b ,【变式 1】已知数列且a 1b 15,a1,b 1N*设cnab n（nN*）,就数列cn的前 10 项和等于（）B701nD100 C85A55【例 3】a n通项公式为an,就S n_n2名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【变式 1】a n通项公式为ann名师总结n优秀学问点1就S n1a n通项公式为ann1n1,如其

11、前 n 项和为 10,就项数 n 为【例 4】 等差数列a n中,a n2n49,前 n 项和记为S ,求S 取最小值时n 的值 .【变式 】差数列a n中,an213 n ,就 n时S 有最大值；【类型 3】等差数列性质的应用【例 1】（1）等差数列a n中,S m30,S 2m100,求S 3m的值 .a20的值 . 9,S 636,（2）等差数列a n中,S 41,S 84,求a 17a 18a 19【例 2】（2022 年辽宁理科 14）等差数列a n中,a 的前 n 项和为S ,假如S 3名师归纳总结 就a 7a 8a9第 8 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料

12、- - - - - - - - - 【变式 1】（2022 年辽宁文）名师总结优秀学问点S ,S 36,S 624,等差数列a n中,a 的前 n 项和为就a 9a n中,a 1a2a 312,a 4a 5a 618,就【变式 2】已知等差数列a7a 8a 9a nb n的前 n 项和分别为A n,B ,且A n7 +1,求a 11的值 . 【变式 3】已知数列和B n4 n27b 11【例 3】 等差数列an的前 n 项和记为S n,如a2a6a 10为一个确定的常数,就以下各数中肯定是常数的是（）CS 1224,就S 9（DS 13CS 6BS 1112,a【变式 1】等差数列an中,a

13、1）9名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - C -36 B48 名师总结优秀学问点D72 C54【变式 2】等差数列an中,已知前15 项的和S 1590,就a8等于（）A45B12 中,如S 9C45 44a6D6 2【变式 3】在等差数列an9,就a【类型 4】证明数列是等差数列【例 1】 知数列a n的前 n 项和为S nn2+1n,求通项公式a 并判定是否为等差数列2名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【例 2】在数列a n中,a1

14、1 ,an1名师总结优秀学问点an1,证明nb是等差数列2an2n,设bn2n【例 3】已知数列an的前 n 项和为S ,且满意an2S nS n10n2 ,a 11,2求证：数列1 S n是等差数列；求数列ann的通项公式；是否为等差数列. 【变式 1】数列a n中,a 11, a n15a5,判定1a na n【例 4】 数列a n中,an441,b nan12；an名师归纳总结 1） 求证b n是等差数列；第 11 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 2） 求a n的通项公式 . 名师总结优秀学问点【变式 1】已知数列a n满意a 15,a n4an11n2an122名师归纳总结 （1）设b na11,求证b n为等差数列；第 12 页,共 12 页（2）求a nn通项；- - - - - - -