2022年高考对数学文化的考查教师用书-理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 【三维设计】通用版 2022 届高三数学二轮复习其次部分考前 30天 策略三 重视高考对数学文化的考查老师用书 理2022 年考试大纲修订内容中增加了数学文化的要求,其主要目的是留意传统文化在现实中的制造性转化和创新性进展,从而实现考试的社会意义和现实目的其实,近几年高考数学试卷早已显现以数学文化为背景的新奇命题,将数学学问、方法、文化融为一体,有效考查同学在新情境下对学问的懂得及迁移运用才能只不过前几年考纲未做明确要求,未引起宽阔师生的重视 .2022 年考纲作出明确要求后,信任以后的高考关于数学文化的命题会加大,应引起师生们的重点关注高考将

2、会从以下几个角度实现数学学问与数学文化的有效“ 嫁接” 典例 1 2022 湖北高考 如以下图,“ 嫦娥一号” 探月卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球邻近一点 P 变轨进入以月球球心 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,之后卫星在 P点其次次变轨进入仍以 F 为一个焦点的椭圆轨道绕月飞行,最终卫星在 P 点第三次变轨进入以 F为圆心的圆形轨道绕月飞行,假设用 2c1和 2c2分别表示椭圆轨道和的焦距,用 2a1 和 2a2 分别表示椭圆轨道和的长轴的长,给出以下式子：a1c1a2c2； a1c1a2c2；c1a2a1c2；c1 a1c2 a2. 其中正确式子的序号是 A B C D 解析 由题图

3、知2a12a2,2c12c2；即 a1a2,c1c2,a1c1a2c2,不正确 a1c1| PF| , a2 c2 | PF| ,a1c1a2c2,正确 a1a20,c1c20. a2 1a2 22,c 1c2 2,又 a1c1a2c2. 即 a1c2a2c1,2 2 2 2即 a 1c 22a1c2a 2c 12a2c1. 2 2 2 2a 1c 1c 2a 22a1c22a2c1,即 a1c1 a1c1 a2c2 a2c2 2a1c22a2c1,整理得 a1c1 a1a2c1c2 2a1c22a2c1. a1c1,a1a2,c1c2, 2a1c2 2a2c1. 即 c1a2a1c2,正确

4、c1a2a1c2,a10, a2 0,c1a2 a1a2a1c2 a1a2. 1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 即c1 a1c2 a2,不正确 答案 B 出色赏析 本例以“ 嫦娥一号” 卫星为背景,抽象出一条对称轴、一个焦点和一个顶点的两个椭圆间 的几何性质,并采纳数形结合的方式构筑成题,题中所给的有关椭圆基本量的四个式子,形式 上采纳加、减、乘、除四就运算,并结合相等与不等关系组合而成,搭配对称和谐,富有数学 美感,该题对于引导中学数学训练,理论联系实际,关注科普学问、重视数学文化有着特别重 要的导向作用 类

5、题尝试 1. 2007 北京高考 2002 年在北京召开的国际数学家大会,会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计的,弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形 如图 ,假如小正方形的面积为 1,大正方形的面积为 25,直角三角形中较小的锐角为 . 那么 cos 2 的值等于 _解析：小正方形的面积为1,大正方形的面积为25. 每一个直角三角形的面积是6,设a2b225,普州 现四川省安岳县直角三角形的两条直角边长分别为a,b,就1 2ab6,两条直角边的长分别为3,4,又直角三角形中较小的锐角为 ,cos 4 5,cos 2 2cos2 17 25. 答案：7 25 典例

6、2 12022 四川高考 秦九韶是我国南宋时期的数学家,人,他在所著的 数书九章 中提出的多项式求值的秦九韶算法,至今仍是比较先进的算法如以下图的程序框图给出了利用秦九韶算法求某多项式值的一个实例3,2,就输出 v 的值为 假设输入 n,x 的值分别为名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A9 B18 C20 D35 22022 全国卷 九章算术 是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题：“ 今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺问：积及为米几何？” 其意思为：“ 在屋内墙角处堆放米 如图,米堆为一个圆锥的四分之一

7、 ,米堆底部的弧长为8 尺,米堆的高为5 尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少？” 已知1 斛米的体积约为1.62 立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有 A14 斛 B22 斛C36 斛 D66 斛32022 湖北高考 算数书 竹简于上世纪八十岁月在湖北省江陵县张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“ 囷盖” 的术：置如其周,令相乘也又以高乘之,三十六成一该术相当于给出了由圆锥的底面周长 L与高 h,运算其体积 V 的近似公1 2式 V36L 2h. 它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率 近似取为 3. 那么,近似公式 V75L 2h相当于将圆锥体积公式中的 近似取为 2

8、2 25A. 7 B. 8157 355C. 50 D. 11342022 湖北高考 我国古代数学名著数书九章中有“ 天池盆测雨” 题：在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸假设盆中积水深九寸,就平地降雨量是 _寸 注：平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；一尺等于十寸 解析 1 由程序框图知,初始值：n3,x2, v1,i 2,3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第一次循环： v4,i 1；其次次循环： v9,i 0；第三次循环： v18, i 1. 终

9、止循环,输出当前v 的值 18. 应选 B. 1 41 3 r22 设米堆的底面半径为r 尺,就 2r 8,所以 r 16 ,所以米堆的体积为V 5 12162320 9 立方尺 故堆放的米约有320 9 1.62 22 斛 应选 B. 53 由题意知2 75L2h1 3 r2h.75L 2 21 3 r2,而 L2 r ,代入得 25 8 . 4 以我国数学名著数书九章为题材,考查台体的体积圆台中截面圆的半径为十寸,圆台内水的体积为V1 3 h r2 中r2 下r中 r下 3 9 1026210 6 588 立方寸 ,降雨量为V 14 2 588 196 3 寸 答案 1B 2B 3B 43

10、 出色赏析 本例 1 4 是以九章算术 、数书九章和算数书为背景,相应考查算法、圆锥的体积公式和圆台的体积公式等数学学问九章算术 大约成书于公元 1 世纪, 是中国古代最 闻名的传世数学著作,它的显现标志中国古代数学形成了完整的体系；数书九章 成书于 1247年 9 月,是对九章算术的继承和进展,它概括了宋元时期中国传统数学的主要成就,标志着中国古代数学的高峰； 算数书 成书于公元前186 年以前,是目前已知最早的中国数学著作,它不仅系统地总结了秦和先秦的数学成就,为中国古代数学的进展奠定了基础,同时对后世的九章算术的产生也有肯定的影响,而且开创了我国古代数学重应用的特色,标志着我国古 代数学

11、理论体系开头初步形成以上高考试题,介绍了三部数学名著,让同学更加明白九章 算术数书九章和算数书等数学名著,从这个意义上讲,这些试题的价值实际上已远远 超出了试题本身 类题尝试 如图是实现该算法的程序框 22022 全国丙卷 中国古代有运算多项式值的秦九韶算法,图执行该程序框图,假设输入的 x2,n2,依次输入的 a 为 2,2,5,就输出的 s 4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - A7 B12 C17 D34 解析：选 C 第一次运算： s0 2 22,k1；其次次运算：s2 226,k2；第三次运算： s6 2

12、 517, k32,终止循环, s 17. 32022 全国卷 下边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著九章算术 中的“ 更相减损术” 执行该程序框图,假设输入的 a,b 分别为 14,18,就输出的 a A0 B2 C4 D14 解析：选 B a14,b18. 第一次循环： 14 18 且 144, a14410；第三次循环： 10 4 且 104, a1046；第四次循环： 6 4 且 64, a642；第五次循环： 2 4 且 24, b422；第六次循环： ab2,跳出循环,输出 a2,应选 B. 典例 3 2022 湖北高考 传奇古希腊毕达哥拉斯学派的数学家常常在沙滩上画点或用小石

13、子表示数他们讨论过如以下图的三角形数：将三角形数 1,3,6,10, 记为数列 an ,将可被 5 整除的三角形数按从小到大的次序组成一个新数列 bn 可以估计：5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 b2 012 是数列 an 中的第 _项；2 b2k1_ 用 k 表示 解析 由题意可得 an123 nnn12,n N *,故 b1a4,b2a5,b3a9,5k5k1b4a10,b5a14,b6a15,由上述规律可知：b2ka5k2 k 为正整数 ,b2k1 a5k15k1 5k 1125k5k12,故 b2

14、012b2 1 006 a5 1 006 a5 030 ,即 b2 012 是数列 an 中的第 5 030 项 答案 15 030 25k5k12 出色赏析 此题是以形为载体,考查数列的通项公式等基础学问,考查特别与一般的数学思想方法,考查归纳与猜想、推理与运算的才能,试题既合理引用了经典史料,又不刻意增加难度,同时 对同学的数感进行了有效地考查,让同学在数学史的背景中,体验数学的理性精神在数学史 上,古希腊数学家毕达哥拉斯最早把正整数和几何图形联系在一起,把数描画成沙滩上的小石 子,又按小石子所能排列的外形,把正整数与正三角形、正方形等图形联系起来,得数分为三 角形数、正方形数,这样一来,

15、抽象的正整数就有了生动的形象,查找它们之间的规律也就容 易多了毕达哥拉斯学派数学家尼可麦丘在算术引论中将多边形数推广到多面体数,公元 前 6 世纪,仍没有纸,用小石子讨论数的性质,既便利又直观,这真是古希腊人的一种制造,也是熟悉数的一种好玩方法,英语中的“calculation” 一词来源于拉丁文“calculus” ,就是小石子的意思 类题尝试 4古希腊毕达哥拉斯学派的数学家讨论过各种多边形数如三角形数 1,3,6,10, ,第 n 个三角形数为nn121 2n 21 2n. 记第 n 个 k 边形数为 N n,k k3 ,以以下出了部分k 边形数中第 三角形数 正方形数五边形数 六边形数n

16、 个数的表达式：N n,3 1 2n21 2n,N n,4 n 2,N n,5 3 2n21 2n,N n,6 2n2n, 可以估计 N n, k 的表达式,由此运算N10 ,24 _解析：由 N n, 4 n 2,N n,6 2n 2 n, ,可以估计：当 k 为偶数时, N n, k k 21 n2k 22 n,于是 N n,24 11n 210n,故 N10 , 2411 10210 10 1 000. 6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 答案： 1 000 即时体会领会 致同学 数学文化只是一种命题载体,

17、没必要引起宽阔师生的紧急和恐慌只要平常多 积存和明白一些这方面的常识,解题中留意审题,实现载体与考点的有效转化,透过表象看本 质,问题便可迎刃而解一、挑选题 1九章算术是人类科学史上应用数学的最早巅峰,在讨论比率方面的应用特别丰富,其中有“ 米谷粒分” 问题：粮仓开仓收粮,粮农送来1 534 石,验其米内杂谷,随机取米一把,数得 254 粒内夹谷 28 粒,就这批米内夹谷约 A134 石 B169 石C268 石 D338 石解析：选 B 设这批米内夹谷约为 x 石,x 28依据随机抽样大事的概率得 1 534254,得 x169.应选 B. 2我国古代数学名著九章算术中“ 开立圆术” 曰：置

18、积尺数,以十六乘之,九面一,所得开立方除之,即立圆径“ 开立圆术” 相当于给出了已知球的体积V,求其直径d 的一个近似公式 d316 9V. 人们仍用过一些类似的近似公式,依据 3.141 59 判定,以下近似公式中最精确的一个是 Ad316 9V Bd32VCd3300 157V Dd321 11V解析：选 D 由球体积公式得d36 V31.909 860 93V. 由于16 91.777 777 78 ,300 1571.910 828 03,21 111.909 090 91.而21 11最接近于6 ,所以选 D. 3我国古代数学名著九章算术中,有已知长方形面积求一边的算法,其方法的前两

19、步为：第一步：构造数列1,1 2,1 3,1 4, ,1 n. 其次步：将数列的各项乘以n,得数列 记为 a1, a2, a3, , an. 就 a1a2a2a3 an 1an 等于 2An2B n17 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - Cn n1 Dn n1 解析：选 C a1a2a2a3 an1ann 12n 2n3 n1n nn2 1 1 1n 1 2 2 3 n1nn 2 11 21 21 3 n11n 2n 1nn n1 4九章算术是我国古代闻名数学经典,其中对勾股定理的论术比西方早一千多年,其中有这样一

20、个问题：“ 今有圆材埋在壁中,不知大小；以锯锯之,深一寸,锯道长一尺问径几何？” 其意为：今有一圆柱形木材,埋在墙壁中,不知其大小,用锯去锯该材料,锯口深 1寸,锯道长 1 尺问这块圆柱形木料的直径是多少？长为1 丈的圆柱形木材部分镶嵌在墙体中,截面图如以下图 阴影部分为镶嵌在墙体内的部分 已知弦 AB1 尺,弓形高CD1 寸,估算该木材镶嵌在墙中的体积约为注： 1丈 10尺 100寸, 3.14 , sin 22.5 513A600 立方寸 B 610 立方寸C620 立方寸 D 633 立方寸解析：选 D 连接 OA,OB, OD,设 O的半径为 R,就 R125 2R 2, R13. .

21、 sin AODAD AO5 13. AOD22.5 ,即 AOB45故 AOB 4 . S弓形 ACBS扇形 OACBS OAB1 2 4 1321 2 10 126.33平方寸8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 该木材镶嵌在墙中的体积为VS弓形 ACB 100 633 立方寸选 D. 二、填空题5九章算术 “ 竹九节” 问题： 现有一根 9 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列上面 4 节的容积共为 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,就第 5 节的容积为 _升解析：设该数列 an 的首项为 a1,公差

22、为 d,依题意a1a2a3a43,a7a8a94,即4a16d3,解得a17d4 3,67 66. 3a121d4,d7 66,就 a5a14d a1 7d3d4 321 66答案：67 666中国古代数学名著 九章算术 中记载了公元前 铜方升,其三视图如以下图 单位：寸 344 年商鞅督造一种标准量器商鞅假设 取 3,其体积为12.6 立方寸 ,就图中的x 的值为 _解析：由三视图知, 商鞅铜方升由一圆柱和一长方体组合而成, 12x12.6. 2解得 x1.6. 答案： 1.6 由题意得： 5.4 x 3 17我国古代数学名著九章算术中割圆术有：“ 割之弥细,所失弥少,割之又割,以至 于不行

23、割,就与圆周合体而无所失矣” 其表达的是一种无限与有限的转化过程,比方在222 中“ ” 即代表无限次重复,但原式却是个定值x,这可以通过方程2xx 确定 x 2,就 111_119 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - x解析：由题意,可令111x,即 11 xx,即 x 2x10,解得 x151215. 15舍 ,故 11112121答案：152三、解答题8. 中国古代数学名著九章算术中的“ 引葭赴岸” 是一道名题,其内容为：“ 今有池方一丈,葭生其中心,出水一尺,引葭赴岸,适与齐,问水深葭长各几何” 意为：今有边

24、长为 1丈的正方形水池的中心生长着芦苇,长出水面的部分为1 尺,将芦苇牵引向池岸,恰巧与水岸齐接,问水深芦苇的长度各是多少？将该问题拓展如图,记正方形水池的剖面图为 ABCD,芦苇根部 O为 AB的中点,顶端为 P注芦苇与水面垂直 ,在牵引顶端 P 向水岸边点 D的过程中,当芦苇经过 DF的中点 E时,问芦苇的顶端离水面的距离为多少？ 注：1 丈 10 尺,60124.5解：设水深为 x 尺,就 x 2 5 2 x1 2,解得, x12. 水深为 12 尺,芦苇长为 13 尺,以 AB所在的直线为 x 轴,芦苇所在的直线为 y 轴,建立直角坐标系,在牵引过程中,P 的轨迹是以 O为圆心,半径为

25、 13 的圆,其方程为 x 2 y 2169 5 x5, 12 y13 ,5E 点的坐标为2,12 . 24OE所在的直线方程为 y5x,169 576 13 24 624由联立解得 y60124.549 . 624 36就此时芦苇的顶端离水面的距离为 491249尺10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 92022 湖北高考 九章算术中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的四周体称之为鳖臑如图,在阳马 P- ABCD中,侧棱PD底面 ABCD,且 PDCD,过棱 PC

26、的中点 E,作 EFPB交 PB于点 F,连接 DE,DF,BD,BE. 1 证明： PB平面 DEF. 试判定四周体DBEF是否为鳖臑, 假设是, 写出其每个面的直角 只需写出结论 ；假设不是,说明理由 DC2 假设面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为 3,求 BC的值解： 1 证明：如图,以 D为原点,射线 DA,DC,DP分别为 x,y,z 轴的正半轴,建立空间直角坐标系设 PDDC1,BC 0 ,就 D0 ,0,0 ,P0 ,0,1 ,B ,1,0 ,C0 ,1,0 , ,1, 1 ,由于点 E 是棱 PC的中点,所以 E 0,1 2,1 2, 0,1 2,1 2,于是0,所以

27、PBDE. 又已知 EFPB,而 DEEFE,所以 PB平面 DEF. 由于0 ,1, 1 ,所以0,所以 DEPC,而 PBPCP,所以 DE平面 PBC. 由 DE平面 PBC,PB平面 DEF,可知四周体 BDEF的四个面都是直角三角形,即四周体 BDEF是一个鳖臑,其四个面的直角分别为2 由 PD平面 ABCD,所以0 ,0,1 是平面 ABCD的一个法向量由1 知, PB平面 DEF,DEB, DEF, EFB, DFB. 所以 , 1,1 是平面 DEF的一个法向量假设面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为 3,11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 结合 0,解得 2,所以DC BC1 2 2 . 故当面 DEF与面 ABCD所成二面角的大小为3时, DC BC2 2 . 12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页