2022年高考数学总复习第三章导数及其应用第讲导数与函数的极值、最值学案..docx

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1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -第 3 讲 导数与函数的极值、最值最新考纲 明白函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值 其中多项式函数不超过三次 ；会求闭区间上函数的最大值、最小值 其中多项式函数不超过三次 . 知 识 梳 理1. 函数的极值与导数1 判定 f x0 是极值的方法一般地,当函数 f x 在点 x0处连续且 f x0 0,假如在 x0 邻近的左侧 f x 0,右侧 f x 0,那么 f x0 是极大值；假如在 x0 邻近的左侧 f x 0,右侧 f x 0,那么 f x0 是微小值 . 2 求可

2、导函数极值的步骤求 f x ；求方程 f x0 的根；检查 f x 在方程 f x 0 的根的左右两侧的符号 . 假如左正右负,那么 f x 在这个根处取得极大值；假如左负右正,那么 f x 在这个根处取得微小值 . 2. 函数的最值与导数1 函数 f x 在 a,b 上有最值的条件假如在区间 a,b 上函数 yf x 的图象是连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值 . 2 设函数 f x 在 a,b 上连续且在 a,b 内可导,求 f x 在 a, b 上的最大值和最小值的步骤如下：求 f x 在 a,b 内的极值；将 f x 的各极值与f a ,f b 比较,其中最大的一个是最大值,最小

3、的一个是最小值. 诊 断 自 测1. 判定正误 在括号内打“ ” 或“ ” 1 函数在某区间上或定义域内极大值是唯独的 . 2 函数的极大值不肯定比微小值大 . 3 对可导函数 f x ,f x0 0 是 x0点为极值点的充要条件 . 4 函数的最大值不肯定是极大值,函数的最小值也不肯定是微小值 . 解析 1 函数在某区间上或定义域内的极大值不唯独 .3 x0 为 f x 的极值点的充要条件是f x0 0,且 x0 两侧导数符号异号 . 答案 1 2 3 4 2. 函数 f x x 33x1 有 - 1 - 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -

4、 第 1 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -A. 微小值 1,极大值 1 C.微小值 2,极大值 2 B. 微小值 2,极大值 3 D.微小值 1,极大值 3 解析 由于 f x x 33x1,故有 y 3x 2 3,令 y 3x 230,解得 x 1,于是,当 x 变化时, f x ,f x 的变化情形如下表：x , 11 1,1 1 1 ,f x00f x 极大值 微小值所以 f x 的微小值为 f 1 1,f x 的极大值为 f 1 3. 答案 D 3. 选修 22P32A4 改编 如

5、图是 f x 的导函数 f x 的图象,就 f x 的微小值点的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 解析由题意知在x 1 处 f 1 0,且其左右两侧导数符号为左负右正. 答案A 4. 2022 武汉模拟 函数 y2x32x 2 在区间 1,2 上的最大值是 _. 解析y 6x 24x,令 y 0,得 x0 或 x2 3. . _；最小值为f 1 4,f 0 0,f2 38 27,f 2 8, 所以最大值为8. 答案8 5. 函数 f x ln xax 在 x1 处有极值,就常数a_. 解析f x 1 xa, f 1 1a 0, a1,经检验符合题意答案1 6. 2022 杭州调研 函数y

6、x2cos x 在区间0, 2上的最大值为_. 解析yx2cos x,x 0, 2,y 12sin x,x 0, 2,令 y 0,得 x 6,当 x 0,6 时, y0,当 x6,2时, y0 时,随着 x 的变化, f x 与 f x 的变化情形如下表：x , 000,222 a,aaf x00f x极大值微小值f x 极大值 f 0 13 a,f x微小值f2 a4 2a3 a1. 当 a3 B. a3 D.a0 在 R上恒成立, f x 无极值点；- 4 - 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 7 页 - - - - -

7、 - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -当 a0 得 a0 得 x1,令 f x0 得 x1. 所以函数 f x 在 , 1 上递减,在 1 , 上递增 . 当 m1 时, f x 在 m,m1 上递增, f xmin f m m2e m,当 0m1 时, f x 在 m,1 上递减,在 1 , m1 上递增, f x minf 1 e. 当 m0 时, m11, f x 在 m,m1 上单调递减,f x minf m1 m 1e m1. 综上, f x 在 m,m1 上的最小值为（m 2）e m,m1,f xmine, 0m1,

8、（m 1）e m1,m0. 思想方法 1. 利用导数争论函数的单调性、极值、最值可列表观看函数的变化情形,直观而且条理,减少失分 . 2. 求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全；含参数时,要争论参数的大小 . 3. 可导函数 y f x 在点 x0 处取得极值的充要条件是 f x0 0,且在 x0 左侧与右侧 f x的符号不同 . 4. 如函数 yf x 在区间 a,b 内有极值,那么 区间上单调函数没有极值 . 易错防范 yf x 在 a,b 内绝不是单调函数,即在某细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 6 页,共 7 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -1. 求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,削减失分的可能. 2. 求函数最值时,不行想当然地认为极值点就是最值点,要通过仔细比较才能下结论 . - 7 - 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 7 页,共 7 页 - - - - - - - - -