2022年线性代数完美总结版.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数及其应用一、行列式1、余子式,代数余子式2、几个定理 定理 2.2 ,2.3 ,2.4 按行绽开：Aj1a A i1ja A i2jLa A in,i1,2,L,nn按列绽开：Aa A 1 j 1ja A 2 j 2La A nj nj,j1,2,L,定理 2.4 a Aa A2La Ajn0,ij ；a A 1ja A 2jLa A nj0,ij . 3、行列式的性质1 |A| |AT|. 2 如行列式的某一列 之和,即行 可以拆成两列 行 之和,就行列式可以拆成两个行列式1,L,jj, L,n1, L,j, L,n. 1, L,j,

2、L,n. 2 如行列式有两列 行 成比例,就行列式等于零3 初等变换性质Ar ic ikkjBA1B;.或kAri+lr jc iBAB;或cj+lArirjBAB或c ic4、行列式运算：三角化法 性质 ；降阶法 性质 +绽开定理 ；范德蒙德、三对角行列式的结论 . 5、分块矩阵的行列式AOACCAAOAA BA BOBOBDBOA mOmn 1BnOBOBD二、矩阵1、矩阵及其运算 加法、数乘、乘法、幂、转置、方阵的行列式、分块运算 1 乘法的 结合律名师归纳总结 2 方阵的幂的求解二项式定理 - 例3.7第 1 页,共 6 页矩阵列行- 例 3.8 、例 3.38可对角化例5.9- -

3、- - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ATT A3 转置的性质：ABTATBT k ATk AT4 方阵的行列式：ABT T B AT|.|A| |AT|;| k A|kn|A|;|AB| |A|B5 分块运算 转置、乘法 - 例 3.13 、3.14 2、初等变换及初等矩阵1 左行右列 矩阵的初等变换可用矩阵乘法来表示 B;Ar ikBEm AB;初等行变换Ar i+lrjBEmij l AAr irjBEmi, jAB;C;Ac ikCAEn C;初等列变换Acj+lc iCAEn ij l Ac icjCAEni, jC.2 初等矩阵都是可逆的,且初等矩阵的

4、逆仍是初等矩阵,即Ei k 11Ei ; kEij l 1Eijl ;Ei jEi j.3、可逆矩阵名师归纳总结 |A1 | |11第 2 页,共 6 页A11A1 定义、性质AT1A1T k A 1k1A1AB1B1A1A AAA|A|E2 相伴矩阵|A| |An |1rA与rA 的关系 书111页38题3 判定： A 可逆|A|0相伴矩阵法 :A1AA4 逆矩阵的求法ABE及运算律命题3.7初等变换法 :A E行E A- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5 分块矩阵的逆AO1A1nO1,OA1O1B1.OBBO. OBAO 6 矩阵方程的求解：AXC

5、 ,其中 A 可逆 . 法 1 X1 A C . E,XXA C 1法 2 , A C初等行变换4、矩阵的秩与矩阵的相抵1 矩阵的秩与性质 101 页, 105-107 页 0 r A min m n , ； 子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩；就 r k ArA,k0;BPn s. rATrA ；rAOr rB；OBrABrArB ；rArBnrABrA或rB；如 ABO ,就rA+rBn,其中APm n, 设ARm n,就rAATrT A A= rA. 2 求矩阵的秩 理论依据：矩阵的初等变换不转变矩阵的秩A初等变换R 行阶梯形矩阵 ,ArR R 的非零行的个数.3 矩阵的相抵 等价 ABrAr

6、B可逆P Q,使得PAQB.rPAQrPArAQrA ,其中P Q 可逆 . ErO或APErOQ.rArPAQOOOO三、线性空间1、向量组的线性相关性的判定 命题 4.2 、4.3 、4.4 、4.5 、定理 4.1 、4.2 、4.4 1 证明方法 -定义-转化为齐次线性方程组的求解秩-矩阵、向量组的秩 定理4.1 定理4.4 命题 4.5-4.6坐标化方法-定理4.14基本结论名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2 基本结论判定向量组线性相关s（命题 4.2 ,命题 4.32,定理 4.1 及推论 1,定理 4

7、.2 ）充要：1,2, L,线性相关其中至少有一个向量可由其余向量线性表示.某一个部分向量组线性相关充分：1,2, L,s线性相关向量的个数s 大于向量重量的个数1,2,L,s 被个数少于s 的向量组线性表示判定向量组线性无关 2、等价向量组（命题 4.33 ,命题 4.4 的推论）1 可由 线性表示,就r r . 2 与 等价,就 r r . 3、子空间的验证1 非空、加法和数量乘法的封闭；2 命题 4.1 生成子空间 - 例 4.9 ,例 4.35 4、向量组的秩及极大无关组 命题 4.6 ,定理 4.4 及推论 2 、 线性 子空间的基与维数1 写成列向量作初等行变换,确定向量组的秩与极

8、大无关组,s. 2对于WL1,2,L,s,就dimWr1,2,L, 即生成子空间的维数与基就是向量组1,2, L,s的秩与极大无关组. 5、坐标的概念、基变换公式与坐标变换公式坐标：x 111,x 222Lnx nn在基L1,2, L,n下的坐标x x 1 2, L,x nT.基变换公式：,L,1,2,nS坐标变换公式：1,2, L,n1,2,L,nSXSY或YS1X1,2, L,nX1,2,L,nY四、线性方程组 含参量、不含参量 1、解的情形rArA % ,无解无穷多解 无解1 AXrArA % n ,唯独解无穷多解n ,A0,唯独解如 A 是方阵,就AXA0r r , %r rA % ,

9、A0. 2 齐次线性方程组AX0有非零解rAn. 如 A 是方阵,就齐次线性方程组AX0有非零解2、解的结构名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 齐次AX0：1 解空间 NA 、 dimNrAnrA基础解系所含向量的个数.2 基础解系不唯独,nA的线性无关的解均可作为AX0的一个基础解系2 结构式：通解 =基础解系的任意线性组合非齐次 AX：1 非- 非=齐2 结构式：通解 =特解导出组AX0的通解五、线性变换1、线性变换的验证 定义 5.4 AX1AS2、线性变换在一个基下的矩阵 定义 5.7 、命题 5.8 1,2,

10、 L,n1,2,L,nA1,2,L,nXY 1,2,L,nYS3、线性变换在不同基下的矩阵之间的关系 相像 定理 5.9 1,2,L,n1,2, L,nA1,2,L,n1,2,L,nBB1,2, L,n1,2,L,nS六、内积空间Rn1、内积的概念、长度、正交 正交向量组必线性无关 2、施密特正交化3、正交矩阵1 定义、性质；基. 2 n 阶实矩阵 A 是正交矩阵的充要条件是A 的列 行 向量组是Rn的一个标准正交命题 6.2 七、矩阵的相像对角形1、特点值和特点向量的定义、性质1 trA 12Ln;A12Ln； ；2 A 与T A 具有相同的特点值 特点向量未必相同3 名师归纳总结 矩阵已知

11、k AAmfAA1A 可逆 |第 5 页,共 6 页AA特点值Xkf1m1|AXXXXX特点向量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - WAWf fA；WAW1A1. 4 属于不同特点值的特点向量线性无关 定理 5.3 、定理 5.4 及推论 . 2、相像矩阵的定义、性质 秩、行列式、迹、特点值相等,但特点向量未必相同 相像的判定： 如 A 与 B 可对角化 实对称矩阵 ,且 A 与 B 具有相同的特点值,就 A 与B 相像 . 如 A 与 B 相像,就矩阵多项式fA与fB也相像 . 3、矩阵的相像对角化A 可对角化 A 有 n 个线性无关的特点向量数域 P

12、 内有 n 个特点值,每一个特点值的几何重数等于代数重数 充分条件 A 有 n 个互不相同的特点值 A 可对角化4、实对称矩阵 1 特点值： n 阶实对称矩阵有 n 个实特点值 . 2 特点向量：实对称矩阵的属于不同特点值的特点向量正交 . 3 实对称矩阵必正交相像于实对角矩阵 几何重数等于代数重数 . 4 如 A 与 B 均为实对称矩阵,就 A 与 B 正交相像 相像 A 与 B 具有相同的特点值. 正交相像 既相像,又合同 八、二次型1、二次型的矩阵及秩f1 1A 对称 2、矩阵的合同：合同必相抵；正交相像 既相像,又合同实对称矩阵 A B 合同 A B 的正惯性指数与秩相同3、化二次型为标准形 不唯独 - 正交替换法、配方法 满秩线性替换 4、惯性定理：实二次型的规范形唯独 正、负惯性指数,符号差 5、正定二次型名师归纳总结 1 判定：定义；第 6 页,共 6 页A 的特点值都大于零 A 的正惯性指数等于n ；A 与 E 合同 与正定矩阵 A 合同的实对称矩阵B 正定 ；存在可逆矩阵S,使得AT S S ；A的全部次序主子式都大于零2 必要条件： iaii0,i1,2, L,n； ii |A| 0- - - - - - -