2022年人教版高中数学《数学归纳法》教学设计 .pdf

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1、构设原形情景提高课堂教学效率数学归纳法第一课时教学设计1 教材分析1.1 教材的地位与作用数学归纳法在讨论涉及正整数无限性的问题时是一种非常重要的方法,它的地位和作用可以从三个方面来看：（1）中学数学的许多重要结论，如等差数列、等比数列的通项公式与前n项和公式，二项式定理等都可以用数学归纳法进行证明由归纳、猜想得出一些与正整数有关的数学命题，用数学归纳法加以证明，可以使学生对有关知识的掌握深化一步（2）运用数学归纳法可以证明许多数学命题，既可以开阔学生的眼界，又可以使他们受到推理论证的训练（3）数学归纳法在进一步学习数学时要经常用到，因此掌握这种方法为今后的学习打下了基础1.2 教学的重点与难

2、点数学归纳法的基本思想，即先验证使结论有意义的最小的正整数0n，如果当0nn时，命题成立，再假设当),(*0Nknkkn时，命题成立（这时命题是否成立不是确定的），根据这个假设，如能推出当1kn时，命题也成立，那么就可以递推出对所有不小于0n的正整数,2,100nn，命题都成立，这是问题的重点和难点数学归纳法原理及其简单的应用是本节课的教学重点2 教学目标分析2.1 知识与技能培养学生分析问题、解决问题的能力，更重要的是可以开阔学生的眼界，还可以使他们受到推理论证的训练，也让学生感受到数学文化的熏陶，培养学生的科学文化素质2.2 过程与方法建构主义观点在高中数学课堂教学中的实践的教学方法数学归

3、纳法原理是很抽象的，但又与生活中的许多实例是相关的，可以例举大量的实例让学生感受或进行实验，即从做中学，从而上升到理论认识，这就需要抽象概括的能力于是，学生就主动建构了数学归纳法的原理和解决问题的两个步骤这样课堂教学方法不仅突破了教学的难点，同时也解决了数学课堂枯燥无味的感觉，培养了学生观察社会、热爱生活，真正发挥数学的文化教育功能2.3 情感态度与价值观教学中注重数学与文化的教学，让学生充分认识到数学中处处有人文精神，鼓励学生探索创造，充分体现课程改革的精神3 学情分析3.1 学生学习本课内容的基础其实在上这节课之前时，学生早就接触过归纳法了例如在高一年级学习数列时，经常遇到给出数列的前几项

4、，求它的一个通项公式，用的方法就是数学归纳法，确定等差数列、等比数列的通项公式，用的也是归纳法3.2 学生学习本课内容的能力学生通过学习数列有关内容，已经掌握根据事物的部分（而不是全部）特例得出一般结论的推理方法，即不完全归纳法不完全归纳法所得到的命题并不能保证它成立，但同时也应看到，它是研究数学的一把钥匙，是发现数学规律的一种重要手段3.3 学生学习本课内容的心理根据皮亚杰(J Piaget)关于心理发展阶段学说,他提出儿童青少年认知发展经历四个阶段,即感知运算、前运算、具体运算和形式运算阶段高三学生经过二年的高中学习，认知水平已经从形象转向抽象，思维能力也得到了提高他们有能力学会由特殊到一

5、般的思维方式，并且使自己的感性认识上升到理性认识4 教学过程设计4.1 构设原形情境当学生在学习某种新知识之前，如果他们先了解这项知识在生活中的原型材料，那么对知识的理解会自然，接受也坦然，记忆长远，学习态度也会表现得更主动更有兴趣在教学时,我先让学生看了这样一段录象：新华社 2000 年 12 月 31 日和中央电视台2001年元月 6 日先后报道：在20 世纪的的最后几分钟里,一项新的多米诺骨版吉尼斯纪录,在北京颐和园体育健康综合馆和网球馆诞生了中国、日本和韩国的62 名青年学生成功推倒了340 多万张骨牌，一举打破了此前由荷兰人所保持的297 万张的世界纪录从电视画面可以看到，骨牌瞬时依

6、次倒下的场面蔚为壮观，期间显示的图案丰富多彩，令人叹为观止，学生赞口叫绝这就是“多米诺骨牌效应”，其中蕴含的科学道理简单地说，就是能确保前一张骨牌倒下则后一张骨牌必倒，这个较为新异的情景场面是数学归纳法原理的直观展示，有助于学生对数学归纳法原理的理解和证题步骤的把握4.2 挖掘生活原形，发现定义 追问 1：你们还可以举一些生活中的例子吗？生 1：一排排放得很近的自行车，只要碰倒第一辆，就会倒下一排 生 2：过年的时候,有放鞭炮的传统,只要前排的鞭炮响,则它的后一排鞭炮就会响 生 3：一列由 n 节车厢连接好的火车，第一节车厢运动，第二节车厢也跟着运动，第三节车厢也跟着运动第节车厢也跟着运动（同

7、学们的思维很活跃，课堂气氛好）追问 2：那么这些游戏或生活中的实例要取得成功，必须有什么条件做保证呢？生：例如骨牌中，第一张牌被推倒，后面所有的都倒了 追问 3：是这样吗？请同学们再思考 生：还应该有：任何相邻两张牌的距离不能太大，必须保证前一张牌倒后一张牌也必定倒，这样就有传递性，即进入循环递推系统 师：正确！用这种思想设计出来的，用于证明不完全归纳法推测所得的命题的正确性的证明方法就叫做数学归纳法即先证明当n取第一个值0n（例如0n）时，命题成立 然后假设当kn（0*,nkNk）时，命题也成立，那么就证明这个命题成立因为证明了这一点，就可以判定这个命题对于n取第一个值后面的所有正整数也都成

8、立文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5

9、C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U

10、7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F

11、4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4

12、W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T

13、3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O1

14、0F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F44.3 问题解决，加深理解我们用上面的方法来证明题目：等差数列na的通项公式)()1(*1Nndnaan证明：(1)当1n时,左边=1a,右边=110ada,左边=右边,等式成立(2)假 设 当kn时 等 式 成 立,即dkaak)1(1,那 么 当1kn时有:

15、dkaddkadaakk 1)1()1(111当1kn,公式成立.由(1)(2)知,公式对一切正整数均成立.4.4 例题示范,学会应用用上面的方法来证明题目：等差数列na的通项公式)()1(*1Nndnaan证明：(1)当1n时,左边=1a,右边=110ada,左边=右边,等式成立(2)假 设 当kn时 等 式 成 立,即dkaak)1(1,那 么 当1kn时有:dkaddkadaakk 1)1()1(111当1kn,公式成立.由(1)(2)知,公式对一切正整数均成立.4.5 解法剖析,掌握原理例 1 证明 1+3+5+(32n)+(12n)=)(*2Nnn方法一:观察左边可知:它表示一个首项

16、为1,公差为 2 的等差数列的前n项和.左边=22)12(21nnn=右边,故等式成立.方法二:(1)当n=1 时,左边=1,右边=112,等式成立.(2)假设当kn时,等式成立,即:2)12(531kk,当1kn时,代入,2)12()32(531nnn得:2)1()12(531kk,所以等式成立.综合(1)(2)等式对一切正整数n均成立.说 明 方 法 一 不 是 数 学 归 纳 法,方 法 二 也 不 是 数 学 归 纳 法,而 且 是 错 误 的.这 是 因为,1kn时的等式是有待于利用归纳假设和已知条件加以证明,不能直接将1kn代入要求证的等式.文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6

17、G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z

18、5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:

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21、8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编

22、码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3

23、 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F44.5 例题示范,学会应用例 2:用数学归纳法证明:6)12)(1(321222nnn.先由学生自己独立完成,然后进行讲评,证明过程见课本64 至 65 页.例3:用数学归纳法证明:若,131211)(nnf则).,2)()1()2()1(Nnnnfnnfffn 启发(1)分析要证的等式.当2n时,左边

24、等于什么?右边等于什么?(2)有已知)(nf的表达式,写出)(kf与)1(kf的关系.证明:(1)当2n时,等式左边=312)1(2f,等式右边=)2(2 f=3)211(2,所以对2n时,等式成立.(2)假设kn时,等式成立,即:)()1()2()1(kfkkfffk由已知条件可得11)()1(kkfkf,右边=)1()1(kfk(先写出右边,便于对照变形)那么当1kn时,左边=)()1()2()1()1(kfkfffk=)(1)1()2()1(kfkfffk(凑成归纳假设)=)(1)(kfkfk(利用归纳假设得)=1)()1(kfk=111)1()1(kkfk=)1()1(kfk=右边当1

25、kn时,等式也成立.由(1)(2)可知,对一切2n的正整数等式都成立.说明 验证并不是讲过场,要注意观察当n取第一个正整数时,左边是什么,右边是什么;第二步的关键是将左边配凑成归纳假设,然后利用归纳假设.5 教学设计说明数学来源于现实生活，数学的发展归结为现实所需因而，在教学过程中，选择一些合适的教学内容，融入到现实的教学情境中，不仅可调动学生的非智力因素，让学生从内心情感上接受数学课，喜欢数学课，而且还可以培养学生用数学的眼光审视世界、用数学的方法解决现实问题 在教学中创设有趣的教学情景，激活学生的思维，无疑是提高课堂教学效率的一种好方法文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X

26、3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F

27、4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5C3D3 HB6G2T3U7X3 ZI8Z5O10F4F4文档编码:CG1Q4W5

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