2022年等差数列、等比数列知识点梳理.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等差数列和等比数列学问点梳理第一节：等差数列的公式和相关性质1、等差数列的定义：对于一个数列,假如它的后一项减去前一项的差为一个定值,就称这个数列为等差数列, 记：anan1d（d为公差）（n2,n* N ）2、等差数列通项公式：a na 1n1 d ,a 为首项, d 为公差推导过程：叠加法推广公式：anamnm d变形推广：danamnm3、等差中项或2（1）假如 a ,A ,b 成等差数列,那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项即：Aa2bAab（2）等差中项：数列an是等差数列2anan-1an1n22an1anan2

2、4、等差数列的前 n 项和公式：S nn a 1a nna 1n n1d,特殊地,当mn2p22前 N相和的推导 : 当 mnpd n 22a 11 2d nAn2Bnnapaqq 时, 就有ama时,就有aman2 a ；（注：a 1ana 2an1a3an2,）当然扩充到 3 项、4 项 都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5、等差数列的判定方法（1） 定义法：如anan1d或an 1and 常数nNan是等差数列（2）等差中项：数列an是等

3、差数列22 an1anan22anan-1an1n（3）数列an是等差数列a nknb（其中k, 是常数）；（4）数列an是等差数列S nAn2Bn , （其中 A、B是常数）；6、等差数列的证明方法定义法或者等差中项发an是等差数列7、等差数列相关技巧：（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：1a、 d 、n、a 及 S ,其中 1a 、 d 称作为基本元素；只要已知这 5 个元素中的任意 3 个,便可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）设项技巧：一般可设通项ana 1n1 da2 , d ad a ad a2d （公差为 d ）；奇数个数成等差,可设为 ,偶数

4、个数成等差,可设为 ,a3 , d ad ad a3d , （留意；公差为2d ）8、等差数列的性质：名师归纳总结 （1）当公差d0时,等差数列的通项公式ana 1n1 dndna1d 是关于 n 的第 2 页,共 8 页一次函数,且斜率为公差 d ；前 n 和S nna 11dd2n ndn 是关于 na 1222的二次函数且常数项为0；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）如公差d0学习必备欢迎下载d0,就为递减等差数列,如,就为递增等差数列,如公差公差d0,就为常数列；amanapaq,特殊地,当mn2p 时,就有（3）当 mnpq 时 , 就

5、有aman2 a ；（注：a 1ana2a n1a 3an2,）当然扩充到 3 项、4 项 都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等；（4）a n、b n为等差数列,就a nb,1 a n2b n都为等差数列【新数列可以化为一次函数的形式】 5 如a 是等差数列,就S n,S 2nS n,S 3 nS 2n, 也成等差数列推导过程： 6 数列 an为等差数列 ,每隔 kk* N 项取出一项 a m,a m k,am2k,am3k,仍为等差数列推导过程：（7）an、b n的前 n 和分别为A 、B ,就anA 2n1b nB 2n1（8）等差数列 a n中,推导：如S mn ,S

6、nm ,就S m nmn（1）如a nm a mn ,就am n0（2）S nAn2Bn解出 A和 B 就可以推导出（ 1）（2）式直接用推广公式即可名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9 求S 的最值学习必备欢迎下载法一：因等差数列前n 项和是关于 n的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要留意数列的特殊性n* N ；和法二：（1）“ 首正” 的递减等差数列中,前 n 项和的最大值是全部非负项之即当 a 1 0,d 0,由 a n 0可得 S 达到最大值时的 n 值a n 1 0（2） “ 首负” 的递增等差数列

7、中,前 n 项和的最小值是全部非正项之和；即 当a10,d0,由an100可得S 达到最小值时的 n 值a或求an中正负分界项n法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前 n项和的图像是过原点的二次函数,故 n取离二次函数对称轴最近的整数时,如S p = S q就其对称轴为np2qS 取最大值（或最小值） ；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载等比数列的相关公式和性质1、等比数列的定义：an1q q0n2, q 为公比an2、通项公式：推广公式：annaa qn1,a 为首项, q 为公比a qn

8、 mqnma nam3、等比中项A（1）假如a A b 成等比数列, 那么 A 叫做 a 与 b 的等差中项 即：A2ab 或ab留意：同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个（两个等比中项互为相反数）（2）数列an是等比数列a2an1an1n4、等比数列的前 n 项和S 公式：a q n1 当q1时,S nna 12 当q1时,S na 11qna 11q1q1a 11a 1qqnAA BnA BnA（A B A B 为常数）q推导过程：名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载5、等比数列的判

9、定方法（1）用定义：对任意的n,都有an1qan或a nn1q q 为常数,a n0an为a等比数列（2） 等比中项：a n2a n1a n1（an1a n10）an为等比数列（3） 通项公式：a nA BnA B0an为等比数列（4） 前 n 项和公式：S nAA Bn 或S nA BnAA B A B为常数a n为等比数列6、 等比数列的证明方法依据定义：如an1q q0n2,且nN*或an1qana n为等比数列an7、等比数列相关技巧：（1）等比数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5 个元素：1a 、 q 、 n 、a 及 S ,其中 1a 、 q 称作为基本元素；只要已知这 5

10、 个元素中的任意 3 个,便 可求出其余 2 个,即知 3 求 2；（2）为削减运算量,要留意设项的技巧,一般可设为通项：a n a q n 1如奇数个数成等比, 可设为 ,a 2, a a aq aq 2（公比为 q ,中间项用 a 表示）；q q 留意隐含条件公比 q 的正负8、等比数列的性质：名师归纳总结 1 当q1时n a q1a 1qnn A BA B0是关于 n 的带有系数的第 6 页,共 8 页等比数列通项公式a nq类指数函数,底数为公比q- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 前 n 项和S na 11qna 1学习必备1a 1欢迎下载nA

11、A Bnn A BA,系数a qna1q1q1qq1q和常数项是互为相反数的类指数函数,底数为公比q,特殊的 ,当 m=1 时,便得到2 对任何 m,n* N ,在等比数列 an中,有ana qn m等比数列的通项公式；因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性；3 如 mknst m n s tN ,就 *a namasa ；特殊的 ,当mn2 k 时 ,得anama24 列na,b n为等比数列 ,就数列 k,k an,a nk,k anb na nb nk 为非零an常数 均为等比数列；【可以化为a nA BnA B0a n为等比数列】am,am k,am2 k,am3 k,仍为5 数

12、列 a n为等比数列 ,每隔 kk* N 项取出一项 等比数列6 假如 a n是各项均为正数的等比数列,就数列 logaa n是等差数列7 如 an为等比数列 ,就数列S ,S 2nS ,S 3 nS 2,成等比数列8 如 an为等比数列 ,就数列a 1a 2a ,an1a n2a2n, a 2n1a 2n2a 成等比数列 备注：和（ 7）本质上是一样的；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 9 当q1时,学习必备欢迎下载当0q1时,a 10,就 a n为递增数列a 10,就an为递减数列a 10,就 a n为递减数列 , a 10,就an为递增数列当 q=1 时,该数列为常数列（此时数列也为等差数列）; 当 q0 时,该数列为摇摆数列；10在等比数列 a n中, 当项数为 2n nm* N 时,S 奇S 偶S m1,；q11如 an是公比为 q 的等比数列 ,就S nS nqn名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页