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2022年函数单调性的判定方法 .pdf

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1、函数单调性的判定方法学生：日期;课时：教师：1.判断具体函数单调性的方法1.1 定义法一般地，设f为定义在D上的函数。若对任何1x、Dx2，当21xx时，总有(1)()(21xfxf，则称f为D上的增函数，特别当成立严格不等)()(21xfxf时，称f为D上的严格增函数；(2)()(21xfxf,则称f为D上的减函数，特别当成立严格不等式)()(21xfxf时，称f为D上的严格减函数。利用定义来证明函数)(xfy在给定区间D上的单调性的一般步骤：（1）设元，任取1x,Dx2且21xx；（2）作差)()(21xfxf；（3）变形（普遍是因式分解和配方）；（4）断号（即判断)()(21xfxf差与

2、 0 的大小）；（5）定论（即指出函数)(xf在给定的区间D上的单调性）。例 1.用定义证明)()(3Raaxxf在),(上是减函数。证明：设1x,),(2x，且21xx，则).)()()()(212221123132323121xxxxxxxxaxaxxfxf由于043)2(22221212221xxxxxxx，012xx则0)()()(2122211221xxxxxxxfxf，即)()(21xfxf，所以)(xf在,上是减函数。例 2.用定义证明函数xkxxf)()0(k在),0(上的单调性。证明：设1x、),0(2x，且21xx，则)()()()(221121xkxxkxxfxf)()(

3、2121xkxkxx)()(211221xxxxkxx)()(212121xxxxkxx)(212121xxkxxxx，又210 xx所以021xx，021xx，当1x、,0(2kx时021kxx0)()(21xfxf，此时函数)(xf为减函数；当1x、),(2kx时021kxx0)()(21xfxf，此时函数)(xf为增函数。综上函数xkxxf)()0(k在区间,0(k内为减函数；在区间),(k内为增函数。此题函数)(xf是一种特殊函数（对号函数），用定义法证明时通常需要进行因式分解，由于kxx21与 0 的大小关系)0(k不是明确的，因此要分段讨论。用定义法判定函数单调性比较适用于那种对于

4、定义域内任意两个数21,xx当21xx时，容易得出)(1xf与)(2xf大小关系的函数。在解决问题时，定义法是最直接的方法，也是我们首先考虑的方法，虽说这种方法思路比较清晰，但通常过程比较繁琐。1.2函数性质法函数性质法是用单调函数的性质来判断函数单调性的方法。函数性质法通常与我们常见的简单函数的单调性结合起来使用。对于一些常见的简单函数的单调性如下表：函数函数表达式单调区间特殊函数图像一次函数)0(kbkxy当0k时，y在 R 上是增函数；当0k时，y在 R 上是减函数。二次函数cbxaxy2),0(Rcbaa当0a时，abx2时y单调减,abx2时y单调增；当0a时，abx2时y单调增

5、，abx2时y单调减。文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档

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7、5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y

8、6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9

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10、8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L1

11、0Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9文档编码:CL4E8K7J8R5 HQ7H2H3L10Y6 ZT2O6G9A5R9反比例函数xkyRk(且0k)当0k时,y在0 x时单调减，在0 x时单调减；当0k时,y在0 x时单调增，在0 x时单调增。指数函数xay)1,0(aa当1a时，y在 R 上是增函数；当10a，时y在 R 上是减函数。对数函数xyalog)

12、1,0(aa当1a时，y在),0(上是增函数；当10a时，y在),0(上是减函数。一些常用的关于函数单调的性质可总结如下几个结论：)(xf与)(xf+C单调性相同。（C为常数）当0k时，)(xf与)(xkf具有相同的单调性；当0k时，)(xf与)(xkf具有相反的单调性。当)(xf恒不等于零时，)(xf与)(1xf具有相反的单调性。当)(xf、)(xg在D上都是增（减）函数时，则)(xf)(xg在D上是增（减）函数。当)(xf、)(xg在D上都是增（减）函数且两者都恒大于0 时，)(xf)(xg在D上是增（减）函数；当)(xf、)(xg在D上都是增（减）函数且两者都恒小于0 时，)(xf)(x

13、g在D上是减（增）函数。设)(xfy,Dx为严格增（减）函数，则f必有反函数1f，且1f在其定义域)(Df上也是严格增（减）函数。例 3.判断5)1(2log)(21323xxxxxfx的单调性。解:函数)(xf的定义域为),0(，由简单函数的单调性知在此定义域内323log,xxx均为增函数，因为021x,012x由性质可得)1(221xx也是增函数；由单调函数的性质知xxx23log为增函数，再由性质知函数)1(2log)(21323xxxxxfx+5 在),0(为单调递增函数。例 4.设函数)0()(babxaxxf，判断)(xf在其定义域上的单调性。解:函数bxaxxf)(的定义域为)

14、,(),(bb.文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:

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20、 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1先判断)(xf在),(b内的单调性，由题可把bxaxxf)(转化为bxbaxf1)(，又0ba故0ba由性质可得bx1为减函数；由性质可得bxba为减函数；再由性质可得bxbaxf1)(在),(b内是减函数。同理可判断)(xf在),(b内也是减函数

21、。故函数bxaxxf)(在),(),(bb内是减函数。函数性质法只能借助于我们熟悉的单调函数去判断一些函数的单调性，因此首先把函数等价地转化成我们熟悉的单调函数的四则混合运算的形式，然后利用函数单调性的性质去判断，但有些函数不能化成简单单调函数四则混合运算形式就不能采用这种方法。1.3 图像法用函数图像来判断函数单调性的方法叫图像法。根据单调函数的图像特征，若函数)(xf的图像在区间I上从左往右逐渐上升则函数)(xf在区间I上是增函数；若函数)(xf图像在区间I上从左往右逐渐下降则函数)(xf在区间I上是减函数。、例 5.如图 1-1 是定义在闭区间-5,5上的函数)(xfy的图像，试判断其单

22、调性。解：由图像可知：函数)(xfy的单调区间有 -5,-2），-2,1），1,3），3,5）.其中函数)(xfy在区间-5,-2），1,3）上的图像是从左往右逐渐下降的，则函数)(xfy在区间-5,-2），1,3）为减函数；函数)(xfy在区间-2,1），3,5 上的图像是从往右逐渐上升的，则函数)(xfy在区间-2,1），3,5上是增函数。例 6.利用函数图像判断函数1)(xxf；xxg2)(；12)(xxhx在-3,3上的单调性。分析：观察三个函数，易见)()()(xgxfxh，作图一般步骤为列表、描点、作图。首先作出1)(xxf和xxg2)(的图像，再利用物理学上波的叠加就可以大致作出

23、12)(xxhx的图像，最后利用图像判断函数12)(xxhx的单调性。解:作图像1-2如下所示：由以上函数图像得知函数1)(xxf在闭区间-3,3 上是单调增函数；xxg2)(在闭区间-3,3 上是单调增函数；利用物理上波的叠加可以直接大致作出12)(xxhx在闭区间-3,3上图像，即12)(xxhx在闭区间-3,3 上是单调增函数。事实上本题中的三个函数也可以直接用函数性质法判断其单调性。文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10

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29、:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1

30、HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1用函数图像法判断函数单调性比较直观，函数图像能够形象的表示出随着自变量的增加，相应的函数值的变化趋势，但作图通常较烦。对于较容易作出图像的函数用图像法比较简单直观，可以类似物理上波的叠加来大致画出图像。而对于不易作图的函数就不太适用了。但如果我们借助于相关的数学软件去作函数的图像，那么用图像法判断函数单调性是非常简单方便的。1.4 复合函数单调性判断法定理 1：若函数)(ufy在U内单调，)g(xu在X内单调，且集合u)g(xu，XxU（1）若)(ufy是增函数，)

31、g(xu是增（减）函数，则)(xgfy是增（减）函数。（2）若)(ufy是减函数，)g(xu是增（减）函数，则)(xgfy是减（增）函数。归纳此定理，可得口诀：同则增，异则减（同增异减）复合函数单调性的四种情形可列表如下：情形函数单调性第种情形第种情形第种情形第种情形内层函数)(xgu外层函数)(ufy复合函数)(xgfy显然对于大于2 次的复合函数此法也成立。推论：若函数)(xfy是 K(K 2),NK)个单调函数复合而成其中有Km个减函数：是减函数时，则当)(12xfykm；是增函数时，则当)(2xfykm。文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1

32、文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I

33、8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N

34、2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6

35、N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K

36、8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K

37、1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7

38、Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1判断复合函数)(xgfy的单调性的一般步骤：合理地分解成两个基本初等函数)(),(xguufy；分别解出两个基本初等函数的定义域；分别确定单调区间；若两个基本初等函数在对应区间上的单调性是同时单调递增或同单调递减，则)(xgfy为增函数，若为一增一减，则)(xgfy为减函数（同增异减）；求出相应区间的交集，既是复合函数)(xgfy的单调区间。以

39、上步骤可以用八个字简记“一分”，“二求”，“三定”，“四交”。利用“八字”求法可以解决一些复合函数的单调性问题。例 7.求)253(log)(2xxxfa（0a且1a）的单调区间。解：由题可得函数)253(log)(2xxxfa是由外函数uyalog和内函数2532xxu符合而成。由题知函数)(xf的定义域是),31()2,(。内函数2532xxu在),31(内为增函数，在)2,(内为减函数。若1a，外函数uyalog为增函数，由同增异减法则，故函数)(xf在),31(上是增函数；函数)(xf在2,上是减函数。若10a，外函数uyalog为减函数，由同增异减法则，故函数)(xf在),31(上是

40、减函数；函数)(xf在2,上是增函数。2判断抽象函数单调性的方法如果一个函数没有给出具体解析式，那么这样的的函数叫做抽象函数。抽象函数没有具体的解析式，需充分提取题目条件给出的信息。2.1 定义法通过作差(或者作商)，根据题目提出的信息进行变形，然后与0（或者 1）比较大小关系来判断其函数单调性。通常有以下几种方法：2.1.1 凑差法根据单调函数的定义，设法从题目中“凑出”“)()(21xfxf”的形式，然后比较)()(21xfxf与 0 的文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F

41、7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1

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44、2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:C

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46、10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV

47、5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1大小关系。例 11.已知函数)(xf对任意实数m、n均有)()()(nfmfnmf，且当0m时，0)(mf，试讨论函数)(xf的单调性。解：由题得)()()(nfmfnmf，令mxnmx21,，且21xx，021xxn又由题意当0m时，0)(mf0)()()(21nfxfxf，所以函数)(xf为增函数。2.1.2添项法弄清题目中的结构特点，采用加减添项或乘除添项，以达到能判断“)()(12xfxf”与 0 大小关系

48、的目的。例 12.（同例 11）解:任取2121,xxRxx，则012xx，)()(12xfxf)()(1112xfxxxf由题意函数)(xf对任意实数m、n均有)()()(nfmfnmf，且当0m时，0)(mf0)()()(1212xxfxfxf，所以函数)(xf为增函数。2.1.3 增量法由单调性的定义出发，任取2121,xxRxx设)0(12xx,然后联系题目提取的信息给出解答。例 13.（同例 11）解：任取2121,xxRxx设)0(12xx由题意函数)(xf对任意实数m、n均有)()()(nfmfnmf，)()()()()(1112fxfxfxfxf，又由题当0

49、m时，0)(mf)0(0)()()(12fxfxf，所以函数)(xf为增函数。2.1.4 放缩法利用放缩法，判断)(1xf与)(2xf的大小关系，从而得)(xf在其定义域内的单调性。例 14.已知函数)(xf的定义域为（0，+），对任意正实数m、n均有)()()(nfmfmnf，且当1m时1)(0mf，判断函数)(xf的单调性.文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8

50、I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1N2R2 ZV5C2F7Z6N1文档编码:CL1I6K8I8P1 HJ10X8K1

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4.3 金币

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