2022年等差等比数列知识点梳理及经典例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题 出题人：李老师A、等差数列学问点及经典例题一、数列由 a 与 S 的关系求 a n由 S 求 a 时,要分 n=1 和 n2 两种情形争论,然后验证两种情形可否用统一的解析式表示,如不能,就用分段S 1 n 1函数的形式表示为 a n；S n S n 1 n 2例 依据以下条件,确定数列 a n 的通项公式；分析：（1）可用构造等比数列法求解；（2）可转化后利用累乘法求解；（3）将无理问题有理化,而后利用a 与S 的关系求解；解答：（1）（2）累乘可得,故（3）1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共

2、 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二、等差数列及其前n 项和数列学问点梳理及经典习题出题人：李老师（一）等差数列的判定1、等差数列的判定通常有两种方法：第一种是利用定义,anan1d常数n2,其次种是利用等差中项,即2ana n1a n1n2；2、解挑选题、填空题时,亦可用通项或前n 项和直接判定；a 是等（1）通项法：如数列a 的通项公式为n 的一次函数,即a =An+B,就a 是等差数列；（2）前 n 项和法：如数列a 的前 n 项和S 是S nAn2Bn 的形式（ A,B 是常数）,就 差数列；注： 如判定一个数列不是等差数列,就只需说明任意连续三项不是等差数列

3、即可；例 已知数列 a 的前 n 项和为S ,且满意S nS n12S S n n10n2,a 11 是以1=1=22（1）求证： 1 S n 是等差数列；11的关系结论；（2）求a 的表达式；分析： （1）S nS n12S ng S n101与S nS n（2）由1 S n的关系式S 的关系式an+2=0,即1 S n-11=2（n2）. 1 S n解答：（1）等式两边同除以S ng S n1得11-1 S nS nS nS 1a 1为首项,以2 为公差的等差数列；2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 又数列学

4、问点梳理及经典习题, 当 n 2 时,出题人：李老师1；（2）由（1）知1 S n=1+（n-1 ）d=2+n-1 2=2n, S =1 2na =2S S n1=12 n nS 1a 11,不适合上式,故a n11 n1；221n22 n n【例】已知数列 an的各项均为正数,a11,2a12pa 2 1a1p,即 22p1p,得 p1. 于是 2Sn2a 2nan1. a11.其前 n 项和 Sn 满意 2Sn 2pa2nan ppR,就 an的通项公式为 _当 n2 时,有 2Sn12a2 n1an1 1,两式相减,得2an2a 2 n2a 2 n1anan1,整理,得2anan1 an

5、an11 20. an1n1 2n1.又an0,anan11 2,于是 an 是等差数列,故（二）等差数列的基本运算个量1、等差数列的通项公式a =1a +（n-1 ）d 及前 n 项和公式S nn a 12anna 1n n1d ,共涉及五21a ,a , d,n, S , “ 知三求二” ,表达了用方程的思想 解决问题；2、数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用,而1a 和 d 是等差数列的两个基本量,用它们表示已知和未知是常用方法；注： 由于S ndna 1da 1n1d,故数列 S nn 是等差数列；,且x ,14x ,5x 成等差数n222例 已知数列 x 的首项1x

6、 =3,通项nx2npnq nN,p q为常数列；求：（1）p q 的值；（2）数列 x 的前 n 项和 S 的公式；3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 分析： （1）由1x =3 与x ,1数列学问点梳理及经典习题出题人：李老师x ,5x 成等差数列列出方程组即可求出p q ；（ 2）通过nx 利用条件分成两个可求和的数列分别求和；解答 ：（ 1）由1x =3 得 2pq3 5 2p8 q 又x 424p4 , q x 55 2p5 ,且x 1x52x4,得35 2p5 q由联立得p1,q1；（2）由（ 1）得

7、,x n2nn（三）等差数列的性质1、等差数列的单调性：等差数列公差为d,如 d0, 就数列递增；如d0,d0, 且满意a n100,前 n 项和S 最大；a n（2）如 a10 ,且满意a n100,前 n 项和S 最小；a n（3）除上面方法外,仍可将a n的前 n 项和的最值问题看作函数的图象或配方法求解,留意nN；例 已知数列 a n是等差数列；（1）如a mn anm mn ,求am n;（2）如S mn S nm mn ,求S m n.6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题 出题

8、人：李老师解答： 设首项为 1a ,公差为 d ,（1）由 a m n a n m ,d n m1m na m n a m m n m d n n 1 0.m na 1 n n 1d a 1 n 2 m 2 mn m n（2）由已知可得 2 , 解得 mn .n ma 1 m m 1 d d 2 m n 2 mn m n m n 1S m n m n a 1 d m n 2【例】已知数列 an 的各项均为正数,Sn 为其前 n 项和,对于任意的 nN*,满意关系式 2Sn3an3. 1求数列 an 的通项公式；1解2设数列 bn 的通项公式是bn1,前 n 项和为 Tn,求证： 对于任意的正整

9、数n,总有 Tn1. log3anlog3an 1当 n1 时,由 2Sn3an3 得, 2a13a13,a13. 当 n2 时,由 2Sn 3an3 得,2Sn13an13. 两式相减得： 2SnSn13an3an1,即 2an3an3an 1,an3an1,又 a13 0,an 是等比数列, an3 n. 验证：当 n 1 时, a13 也适合 an 3 n. an的通项公式为 an 3 n. 1 12证明bnlog3anlog 3an1log 33 nlog 33 n1n1n1 nn1,1Tnb1b2 bn11 211 3 1n1 11n 1Sn,得5n12,nlog52114.9,最小

10、正整数n 1525656【其他考点题】1、设 an（ nN *）是等差数列,Sn 是其前 n 项的和,且S 5S ,S 6S 7S ,就以下结论错误选项（C）A. d0 B. a70 C.S9S5D.S6与 S7均为 Sn的最大值解析：由 S5S6得 a1+a2+a3+ +a50,又 S6=S7,a1+a2+ +a6=a1+a2+ +a6+a7, a7=0,由S7S8,得 a8S5,即 a6+a7+a8+a902（a7+a8）0,由题设 a7=0,a80,明显 C选项是错误的；2、 lim n123Ln（ C）D0 n2A 2 C 1 2B 4 12名师归纳总结 - - - - - - -第

11、12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数列学问点梳理及经典习题xy 0,那么出题人：李老师3、已知 a、b、c 成等比数列, a、x、b 和 b、y、c 都成等差数列,且ac的值为（ B ）；xy（A）1 （ B）2 （C）3 （D） 4 N4、已知等差数列a n的前n项和为S npn22nq p qR,n（）求 q 的值；（）如 a1 与 a5的等差中项为18,bn满意an2log2b ,求数列的 b n 前 n 项和；8 分 解法一：当n1时,a 1S 1p2q , 当n2时,anS nS n1pn22 nqp n2 12n1q2pnp2. Qa n是等差

12、数列 , p2q2pp2, q0 4 分解法二：当n1时,a 1S 1p2q , 当n2时,anS nS n1pn22 nqp n2 12n1q2pmp2. 当n3时,a 1an12pnp22p n1p22p . a2p2q2p3p2q . 又a22p2p23p2, 所以3p2q3p2, 得q0. 4 分 解：Qa3a 12a 5,a318. 又a 36pp2, 6pp218, p4a n8n6 又an2log2b 得nb24n3. b 12,b n14 2n1 14 216, 即b n是等比数列；b n24n3所以数列b n的前n项和T nn 21 16 2 16 15n1. 1 1613名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页