2022年第四章圆与方程知识点总结及习题答案.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第四章 圆与方程1、圆的定义： 平面内到肯定点的距离等于定长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的 半径；2、圆的方程（1）标准方程xa2yb2r2,圆心a,b,半径为 r；r1D2E24F点M x 0,y 0与圆xa 2y2 b r2的位置关系：当x 0a 2y 0b 2r2,点在圆外当x 0a 2y 0b 2=r2,点在圆上当x 0a 2y 0b 2r2,点在圆内（2）一般方程x2y2DxEyF0当D2E24F0时,方程表示圆,此时圆心为D,E,半径为222当D2E24F0时,表示一个点；当D2E24F0时,方程不表示任何图形；（3）求圆方

2、程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求； 确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程,需求出 a,b, r；如利用一般方程,需要求出 D,E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；3、直线与圆的位置关系：名师归纳总结 直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形：第 1 页,共 8 页（1）设直线l:AxByC0,圆C:xa2yb2r2,圆心Ca ,b到 l 的距离为dAaA2BbC,就有drl与 C相离；drl与C相切；drl与C相交B2（2）过圆外一点的切线：k 不存在,验证是否成立k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 =半径,求解k,

3、得到方程【肯定两解】3过圆上一点的切线方程： 圆x-a2+y-b2=r2,圆上一点为 x0,y0,就过此点的切线方程为x0-ax-a+y 0-by-b= r24、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定；设圆 C 1: x a 1 2y b 1 2r 2,C 2: x a 2 2y b 2 2R 2两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定；当 d R r 时两圆外离,此时有公切线四条；当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当RrdRr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；- - - -

4、- - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当dRr时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当dRr时,两圆内含；当d0时,为同心圆；留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上；已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点圆的方程基础自测1. 方程 x2+y2+ax+2ay+2a 2+a-1=0 表示圆,就a 的取值范畴是（A. a-2 或 a2 32+yB.-2 a0 3ab 的取值范畴C.-2 a0D.-2 a2 3答案D2+2x-4 y+1=0 关于直线 2ax- by+2=0（a、b R）对称,就2. （ 2022河南新郑模拟 ）圆 x是

5、（A.,14B.1 0,4C.10,D.,1）44答案A3. 过点 A（ 1,-1 ）, B（ -1 , 1）,且圆心在直线x+y-2=0 上的圆的方程是（A. （x-3 ）2+ y+12=4B. x+32+ y-12=4C. （x-1 ）2+ y-12=4D. x+12+ y+12=4答案C4. 以点（ 2,-1 ）为圆心且与直线3x-4 y+5=0 相切的圆的方程为（A. x-22+ y+12=3 B. x+22+ y-12=3C. x-22+ y+12=9 D. x+22+ y-12=9答案C2=r2 r 0 的圆心位于 （5.（2022 宜昌模拟 ）直线 y=ax+b 通过第一、 三、

6、四象限, 就圆（x+a）2+ y+bA. 第一象限B.C. 第三象限D.答案B例 1 已知圆 C的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上, 直线 3x+4y+4=0 与圆 C相切, 就圆 C的方程为 （名师归纳总结 A. x2+y2-2 x-3=0B. x2+y2+4x=0第 2 页,共 8 页C. x2+y2+2x-3=0 D. x2+y2-4 x=0答案D- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 已知圆 x2+y2+x-6 y+m=0 和直线 x+2y-3=0 交于 P,Q两点,且 OPOQ（O为坐标原点）,求该圆的圆心坐标及半径 .解 方法一 将

7、x=3-2 y,代入方程 x2+y2+x-6 y+m=0,5y2-20 y+12+m=0.125m.设 P（x1, y 1） , Q x 2, y2, 就 y1、y 2y 1+y2=4, y1y2= OP OQ, x1x 2+y1y 2=0.x1=3-2 y1, x2=3-2y2.x1x2=9-6 y1+y2+4y1y2.m=3, 此时 0, 圆心坐标为1, , 半径 r = 25 . 21,方法二如下列图,设弦PQ中点为 M,O1M PQ,kO 1 M2.O1M的方程为 : y-3=2x2即： y=2x+4.y2x4.0x2y3解得 M的坐标为（ -1 ,2）.就以 PQ为直径的圆可设为（x

8、+1）2+（y-2 ）2=r2.OP OQ,点 O在以 PQ为直径的圆上 .（ 0+1）2+（0-2 ）2=r2,即 r2=5, MQ 2=r2.2+2-3 y=0.在 Rt O1MQ中, O1Q 2=O1M 2+MQ 2.1123-22+5=16 24 m24m=3. 半径为5 , 圆心为 21,3.2方法三设过 P、 Qx2+y2+x-6 y+m+ x+2y-3=0.OPOQ知,点 O（0,0）在圆上 .m-3=0,即 m=3.x2+y2+x-6 y+3+x+2y-3=0x2+1+ x+y圆心 M12,23,又圆在PQ上.5 . 22-12+2（3-） -3=0 ,=1, m=3.1,3,

9、半径为2例 3 （ 12 分）已知实数x、y 满意方程 x2+y 2-4 x+1=0.（ 1）求 y- x名师归纳总结 （ 2）求 x2+y2的最大值和最小值. 第 3 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解 （1）y- x 可看作是直线y=x+b 在 y 轴上的截距,当直线y=x+b 与圆相切时,纵截距b 取得最大值或最小值,此时20b3,解得 b=-2 6 . 5 分 6 分 8 122所以 y- x 的最大值为 -2+6 ,最小值为 -2-6 . （ 2）x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何学问知,在原点与圆心连线与圆

10、的两个交点处取得最大值和最小值. 又圆心到原点的距离为（20）（00）=2所以 x2+y2的最大值是（ 2+3 ）2=7+43x2+y2的最小值是（ 2-3 ）2=7-43 . 圆与直线方程例 1 已知圆 x 2+y 2-6 mx-2 （m-1 ） y+10m 2-2 m-24=0 （ m R）. （ 1）求证：不论 m为何值,圆心在同始终线 l（ 2）与 l（ 3）求证：任何一条平行于l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明 配方得：（ x-3 m）2+ y- （m-1 ）2=25名师归纳总结 设圆心为（ x, y）,就x3 m, 1消去 ml 1的第 4 页,共 8 页yml

11、：x-3 y-3=0 ,就圆心恒在直线l ：x-3 y-3=0 上 .（ 2）解 设与 l 平行的直线是l 1：x-3 y+b=0d=3 m3 m1b3b.1010圆的半径为r =5当 dr ,即 -510 -3 b510 -3当 d=r , 即 b= 510 -3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 当 dr ,即 b -510 -3 或 b 510 -3 时,直线与圆相离.（ 3）证明 对于任一条平行于 l 且与圆相交的直线 l 1：x-3 y+b=0,由于圆心到直线 l1 的距离 d= 3 b10（ 4）弦长 =2 r d 且 r 和 d 均为常量

12、. 2 2任何一条平行于 l 且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等 .例 2 从点 A（-3 ,3）发出的光线 l 射到 x 轴上,被 x 轴反射,其反射光线所在直线与圆 x 2+y 2-4 x-4 y+7=0相切,求光线 l 所在直线的方程 .解 方法一 如下列图,设 l 与 x 轴交于点 B（ b,0 ,就 kAB= 3 , 依据光的反射定律,b 3反射光线的斜率 k 反 = 3 . y= 3 x- b, 3x- b+3y-3 b=0.b 3 b 3已知圆 x 2+y 2-4 x-4 y+7=0 的圆心为 C（2,2 1,6（b 3）2 3 b =1, 解得 b1=-3 , b2=1.9

13、b 23 4 kAB=-4 或 kAB=-3 . l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.3 4方法二 已知圆 C： x 2+y 2-4 x-4 y+7=0 关于 x 轴对称的圆为 C1： x-2 2+ y+2 2=1,其圆心 C1的坐标为（ 2,-2 ）,半径为 1,由光的反射定律知,入射光线所在直线方程与圆 C1 相切 .设 l 的方程为 y-3=k x+3, 就 5 k 5=1, 12k 2+25k+12=0.221 k k1=-4 , k2=-3 . l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.3 4方法三 设入射光线方程为 y-3=k x+3, 反射光

14、线所在的直线方程为 y=- kx +b, 由于二者横截距相等,且后者与已知圆相切 .3 3 k bk k, 消去 b 得 5 k 5=1. 12k 2+25k+12=0, k1=-4 , k2=-3 .2 k 2 b1 1 k 2 3 41 k 2就 l 的方程为 4x+3y+3=0 或 3x+4y-3=0.名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 3 已知圆 C1：x2+y2-2 mx+4y+m 2-5=0, 圆 C2： x2+y2+2x-2 my+m 2-3=0, m为何值时,（1）圆 C1 与圆 C2相外切；（ 2

15、）圆 C1与圆 C2解 对于圆 C1与圆 C2C1: x- m 2+ y+2 2=9; C 2: x+1 2+ y- m 2=4.1 假如 C1 与 C2外切,就有（m 1） m 2 2=3+2. m+1 2+ m+2 2=25. m 2+3m-10=0, 解得 m=-5 或 m=2.（ 2）假如 C1 与 C2内含,就有（m 1） m 2 2 3-2. m+1 2+ m+2 2 1, m 2+3m+20,-2 m-1,当 m=-5 或 m=2 时,圆 C1 与圆 C2当 -2 m-1 时,圆 C1与圆 C2内含 .例 4（ 12 分）已知点P（ 0,5）及圆 C：x2+y2+4x-12 y+

16、24=0.3 ,圆 x2+y2+4x-12 y+24=0 可（ 1）如直线 l 过 P 且被圆 C截得的线段长为43 ,求 l 的方程；（ 2）求过 P 点的圆 C 的弦的中点的轨迹方程.解（1）方法一如下列图, AB=43 , D是 AB的中点, CDAB,AD=2名师归纳总结 化为（ x+2）2+（y-6 ）2=16,圆心 C（ -2 , 6）,半径 r =4,故 AC=4 2第 6 页,共 8 页在 Rt ACD中,可得 CD=2. 设所求直线的斜率为k,就直线的方程为y-5= kx , - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 即 kx- y+5=0.

17、由点 C 到直线 AB 的距离公式：2 k65 =2 ,得 k=3 . 42 8k21 2此时直线 l 的方程为 3x-4 y+20=0. 4又直线 l 的斜率不存在时,此时方程为x=0. 6就 y2-12 y+24=0, y 1=6+23 , y2=6-23 , y2-y 1=43 , 故 x=0 满意题意 .所求直线的方程为3x-4 y+20=0 或 x=0. 方法二设所求直线的斜率为ky-5=kx, 即 y=kx+5,联立直线与圆的方程y2kx2512y24, 0xy4 x8消去 y 得（ 1+k2） x2+4-2 k x-11=0 设方程的两根为x1, x2,x1x2x 22 k4 4

18、1k2x1111k2由弦长公式得1k2| x1- x 2|= 1k2x1x 224x1x 243,将式代入,解得k=33x-4y+20=0. 4又 k 不存在时也满意题意,此时直线方程为x=0.所求直线的方程为x=0 或 3x-4 y+20=0. （ 2）设过 P 点的圆 C 的弦的中点为D（x, y）,CDPD,即 CD PD =0,（ x+2, y-6 ） x, y-5=0,x2+y2+2x-11 y+30=0. 3. 求过点 P（4,-1 ）且与圆 C：x2+y2+2x-6 y+5=0 切于点 M（ 1, 2）的圆的方程 .解 方法一设所求圆的圆心为A（ m, n ,半径为 r ,名师归

19、纳总结 就 A, M, C三点共线,且有| MA|=| AP|= r第 7 页,共 8 页由于圆 C：x2+y2+2x-6 y+5=0 的圆心为 C（ -1 , 3- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - n223名师归纳总结 就m111, 1第 8 页,共 8 页 m1 2n2 2m42n12r解得 m=3, n=1, r =5 ,所以所求圆的方程为 x-32+ y-12=5.方法二由于圆 C： x2+y2+2x-6 y+5=0 过点 M（ 1, 2）的切线方程为2x- y=0,所以设所求圆Ax2+y2+2x-6 y+5+2 x- y=0,由于点 P（ 4,-1 ）在圆上,所以代入圆A解得=-4,所以所求圆的方程为x2+y2-6 x-2 y+5=0. 4. （ 2022全国文 , 10）如直线xy=1 与圆 x2+y 2=1 有公共点,就abA. a 2+b 21 B. a2+b2 1C.111 D.11a2b2a2b 2答案D（5. 能够使得圆x2+y2-2 x+4y+1=0 上恰有两个点到直线2x+y+c=0 距离等于 1 的 c 的一个值为A.2 B.5C.3D.35答案C- - - - - - -