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2022年中考攻略专题3一元二次方程根的判别式应用探讨 .pdf

上传人：Q****o

文档编号：58186698

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1、【2013 年中考攻略】专题3：一元二次方程根的判别式应用探讨一元二次方程，就是只有一个未知数且未知数最高次数为2 的整式方程，其一般形式为 ax2+bx+c=0（a0）。在系数a 0 的情况下，=b2 4ac0 时，方程有2 个不相等的实数根；=b2 4ac=0 时，方程有两个相等的实数根；=b2 4ac 0；若方程有两个相等的实数根，则 =b2 4ac=0；若无实数根，则=b2 4ac 0。因此，=b2 4ac 称为一元二次方程根的判别式。根的判别式b24ac 的使用条件，是在一元二次方程中，而非别的方程中，因此，解题过程中要注意隐含条件a0。使用判别式之前一定要先把方程变化为一般形式，以

2、便正确找出 a、b、c 的值。一元二次方程根的判别式在初中数学中有着广泛的应用，也是中考必考内容，并占有一定的份量。锦元数学工作室将其应用归纳为直接应用和综合应用两方面，直接应用包括不解一元二次方程，判断（证明）根的情况、根据方程根的情况，确定待定系数的取值范围、限制一元二次方程的根与系数关系的应用；综合应用包括判断二次三项式是完全平方式时的待定系数、判断双曲线与直线的公共点个数、判断抛物线与直线（含x 轴）的公共点个数。下面通过近年全国各地中考的实例探讨其应用。一.不解一元二次方程，判断（证明）根的情况：典型例题：例 1：（2012 广西河池3 分）一元二次方程2x2x20+=的根的情况是【

3、】A有两个相等的实数根B有两个不相等的实数根C只有一个实数根D无实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】2x2x20+=中，a=1，b=2，c=2，22b4ac=241 2=40）有两个不相等的实数根【答案】D。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】把所给方程整理为一元二次方程的一般形式，根据根的判别式判断解的个数即可：A、整理得：2x+2x+1=0，0，原方程有2 个相等的实数根，选项错误；B、整理得：2xx+1=0，0，原方程没有实数根，选项错误；C、整理得：2x2x+1=0，0，原方程有2 个相等的实数根，选项错误；D、整理得：2xax+1=0，当a2时，2=a40，

4、原方程有2 个不相等的实数根，选项正确故选 D。练习题：1（2012 广东珠海6 分）已知关于x 的一元二次方程x2+2x+m=0（1）当 m=3 时，判断方程的根的情况；（2）当 m=3 时，求方程的根。2.（2011 福建福州4 分）一元二次方程x（x2）=0 根的情况是【】A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根3.（2011 福建福州4 分）一元二次方程x（x2）=0 根的情况是【】A、有两个不相等的实数根B、有两个相等的实数根C、只有一个实数根D、没有实数根4.（2011 内蒙古包头3 分）一元二次方程x2+x+14=0 的根的情况是【】A、有两

5、个不等的实数根B、有两个相等的实数根C、无实数根D、无法确定文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 H

6、Y4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8

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12、元二次方程2kx2k1x10有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是【】Ak12Bk12且 k0 C12 k12D12 k12且 k0【答案】D。【考点】一元二次方程定义和根的判别式，二次根式有意义的条件。【分析】由题意，根据一元二次方程二次项系数不为0 定义知：k0；根据二次根式被开方数非负数的条件得：2k+10；根据方程有两个不相等的实数根，得=2k+14k 0。三者联立，解得12 k12且 k0。故选 D。例 3：（2012 湖南常德3 分）若一元二次方程2x2xm0有实数解，则m 的取值范围是【】A.m1B.m1C.m4D.m12【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】由

13、一元二次方程有实数根，得到根的判别式大于等于0，列出关于m 的不等式，求出不等式的解集即可得到m 的取值范围：一元二次方程2x2xm0有实数解，=b24ac=224m0，解得：m1。m 的取值范围是m1。故选 B。例 4：（2012 江西南昌3 分）已知关于x 的一元二次方程x2+2xa=0 有两个相等的实数根，则 a 的值是【】A 1 B 1 CD【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 H

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20、S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7【分析】关于 x 的一元二次方程x2+2x a=0 有两个相等的实数根，=22+4a=0，解得a=1。故选 B。例 5：（2012 上海市 4 分）如果关于x 的一元二次方程x26x+c=0（c 是常数）没有实根，那么 c 的取值范围是。【答案】c 9。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】关于 x 的一元二次方程x26x+c=0（c 是常数）没有实根，=（6）24c

21、0，即 364c0，c9。例 6：（2012 湖北孝感12 分）已知关于x 的一元二次方程x2(m3)xm1 0(1)求证：无论m 取何值，原方程总有两个不相等的实数根；(2)若 x1、x2是原方程的两根，且|x1x2|22，求 m 的值和此时方程的两根。【答案】解：（1）证明：由关于x 的一元二次方程x2(m3)xm10 得=（m+3）24（m+1）=（m+1）2+4，无论 m 取何值，（m+1）24 恒大于 0，原方程总有两个不相等的实数根。（2）x1，x2是原方程的两根，x1+x2=（m+3），x1?x2=m+1。|x1x2|22，（x1x2）2=8，即（x1x2）2 4x1x2=8。（

22、m+3）2 4（m+1）=8，即 m2 2m3=0。解得：m1=3，m2=1。当 m=3 时，原方程化为：x22=0，解得：x1=2，x2=2。当 m=1 时，原方程化为：x24x2=0，解得：x1=2+2，x2=22。【考点】一元二次方程根的判别式和根与系数的关系。【分析】（1）根据关于x 的一元二次方程x2(m3)x m 10 的根的判别式=b24ac的符号来判定该方程的根的情况。（2）根据根与系数的关系求得x1x2和 x1?x2，由已知条件|x1x2|22平方后可以得到关于x1x2和 x1?x2的等式，从而列出关于m 的方程，通过解该方程即可求得m 的值，最后将 m 值代入原方程并解方程

23、。文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:

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29、10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7例 7：（2011 山东潍坊3 分）关于x的方程2x2kxk10的根的情况描述正确的是【】.Ak为任何实数，方程都没有实数根Bk为任何实数，方程都有两个不相等的实数根

30、Ck为任何实数，方程都有两个相等的实数根D根据k的取值不同，方程根的情况分为没有实数根、有两个不相等的实数根和有两个相等的实数根三种【答案】B。【考点】一元二次方程根的判别式。【分析】求出一元二次方程根的判别式的值，然后据此判别，从而得出答案：一元二次方程根的判别式为=（2k）24（k1）=4k24k+4=（2k1）2+30，不论 k 为任何实数，方程都有两个不相等的实数根。故选B。例 8：（2012 四川成都4 分）有七张正面分别标有数字3，2，1，0，l，2，3 的卡片，它们除数字不同外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，记卡片上的数字为a，则使关于x 的一元二次方程2x

31、2 a 1 xa a 30有两个不相等的实数根，且以x 为自变量的二次函数22yxa1 xa2的图象不经过点（1，0）的概率是。【答案】37。【考点】二次函数图象上点的坐标特征，一元二次方程根的判别式，解一元二次方程和一元一次不等式，概率公式。【分析】2x2 a1 xa a 30有两个不相等的实数根，0。2（a1）24a（a3）0，a 1。将（1，0）代入22yxa1 xa2得，a2+a 2=0，解得 a1=1，a2=2。可见，符合要求的点为0，2，3。P（符合要求）=37。练习题：1（2012 四川广安3 分）已知关于x 的一元二次方程（al）x22x+l=0 有两个不相等的实数根，则a 的

32、取值范围是【】文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D

33、7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:

34、CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J

35、6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8

36、HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y

37、8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6

38、ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7Aa 2 Ba2 Ca2 且 a lD a 2 2.（2012 山东日照4 分）已知关于 x 的一元二次方程(k2)2x2(2k1)x1=0 有两个不相等

39、的实数根，则k 的取值范围是【】(A)k34且 k2(B)k34且 k2(C)k 43且 k2(D)k43且 k23.（2012 四川泸州2 分）若关于 x 的一元二次方程x24x+2k=0 有两个实数根，则k 的取值范围是【】A、k2B、k2C、k 2 D、k 2 4.（2012 山东东营3 分）方程21k1 x1kx+=04有两个实数根，则k 的取值范围是【】A k 1 B k 1 C k1 D ka+c，则一元二次方程 ax2 bxc=0 有两个不相等的实数根；若b=2a 3c，则一元二次方程ax2bxc=0 有两个不相等的实数根；若 b24ac0，则二次函数y=ax2 bx

40、c 的图象与坐标轴的公共点的个数是2 或 3。其中正确的【】A、只有B、只有C、只有D、只有6.（2009 北京市 7 分）已知关于x的一元二次方程22x4xk10有实数根，k为正整数.（1）求k的值；（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2y2x4xk1的图象向下平移8 个单位，求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线1yxb bk2与此图象有两个公共点时，b的取值范围。一元二次方程根的判别式在初中数学中的应用除了上述内容外，还有许多其它应用，

41、由于近年中考涉及不多，本文不多详谈。例如，判断二次三项式能否在实数范围内因式分解。例 1：当 m 为何值时，关于x 的二次三项式mx22（m2）x（m5）能在实数范围内因式分解。例 2：如果关于x 二次三项式2x6xm在实数范围内不能分解因式，那么m 的取值范围文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文

42、档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM

43、7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S

44、3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY

45、4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L

46、7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ

47、7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10

48、K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7是。与平面几何相联系的问题。例 1：已知：关于 x 的方程24 ac x4bxac0?有两个相等的实数根，试判断以a，b，c 为三边的三角形的形状。例 2：已知 a、b、c 是三角形的三条边长，且关于 x 的方程2cb x2 ba xab0有两个相等的实数根，试判断三角形的形状。例 3：已知 a，b，c 是ABC 的三边，22x2 ab xcab0是关于 x 的一元二次方程，（1）若 ABC 是直角三角形，且C=90，试判断方程实根的个数；（2）若方程有两个相等的实数根，试求C 的度数。文档编码:CM

49、7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S

50、3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY4H4Y8L7E6 ZJ7O2P10K10D7文档编码:CM7C4J6S3R8 HY

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4.3 金币

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