2022年线性代数知识点总结汇总.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数学问点总结1 行列式（一）行列式概念和性质1、逆序数： 全部的逆序的总数 2、行列式定义： 不同行不同列元素乘积代数和 3、行列式性质：（用于化简行列式）（1）行列互换（转置）,行列式的值不变（2）两行（列）互换,行列式变号（3）提公因式：行列式的某一行（列）的全部元素都乘以同一数 k,等于用数 k乘此行列式（4）拆列安排：行列式中假如某一行（列）的元素都是两组数之和,那么这个行列式就等于两个行列式之和；（5）一行（列）乘 k 加到另一行（列）,行列式的值不变；（6）两行成比例,行列式的值为 0；（二）重要行列式4、上（下）三角（主对角

2、线）行列式的值等于主对角线元素的乘积5、副对角线行列式的值 等于副对角线元素的乘积乘 6、Laplace绽开式：（A 是 m 阶矩阵, B 是 n 阶矩阵）,就7、n 阶（ n2）范德蒙德行列式名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 数学归纳法证明8、对角线的元素为 a,其余元素为 b 的行列式的值：（三）按行（列）绽开9、按行绽开定理：（1）任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和等于行列式的值（2）行列式中某一行（列）各个元素与另一行（列）对应元素的代数余子式乘 积之和等于 0（四）行列式公式10、行列式七大

3、公式：（1）|kA|=kn|A|（2）|AB|=|A| |B|（3）|AT|=|A|（4）|A-1|=|A|-1（5）|A*|=|A| n-1（6）如 A 的特点值 1、 2、 n,就（7）如 A 与 B 相像,就 |A|=|B|（五）克莱姆法就11、克莱姆法就：（ 1 ） 非 齐 次 线 性 方 程 组 的 系 数 行 列 式 不 为0 , 那 么 方 程 为 唯 一 解名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）假如非齐次线性方程组无解或有两个不同解,就它的系数行列式必为 0（3）如齐次线性方程组的系数行列式不为0

4、,就齐次线性方程组只有0 解；如果方程组有非零解,那么必有D=0；2 矩阵（一）矩阵的运算1、矩阵乘法留意事项：（1）矩阵乘法要求前列后行一样；（2）矩阵乘法不满意交换律； （因式分解的公式对矩阵不适用,但如 B=E,O,A-1,A*,fA时,可以用交换律）（3）AB=O不能推出 A=O或 B=O；2、转置的性质（ 5 条）（1）（A+B）T=AT+BT（2）（kA）T=kAT（3）（AB）T=BTAT（4）|A|T=|A|（5）（AT）T=A（二）矩阵的逆3、逆的定义：AB=E或 BA=E成立,称 A 可逆, B 是 A 的逆矩阵,记为 B=A-1 注： A 可逆的充要条件是 |A| 04、

5、逆的性质：（5 条）（1）（kA）-1=1/k A-1 k 0（2）（AB）-1=B-1 A-1（3）|A-1|=|A|-1（4）（AT）-1=（A-1）T（5）（A-1）-1=A名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、逆的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解（2）A 为数字矩阵：（A|E）初等行变换 （E|A-1）（三）矩阵的初等变换6、初等行（列）变换定义：（1）两行（列）互换；（2）一行（列）乘非零常数 c（3）一行（列）乘 k 加到另一行（列）7、初等矩阵： 单位矩阵 E 经过一次初等变换得到的矩阵；

6、8、初等变换与初等矩阵的性质：（1）初等行（列）变换相当于左（右）乘相应的初等矩阵（2）初等矩阵均为可逆矩阵,且Eij-1=Eij（i,j 两行互换）；Ei-1（c）=Ei（1/c）（第 i 行（列）乘 c）Eij-1（k）=Eij（-k）（第 i 行乘 k 加到 j）（四）矩阵的秩 9、秩的定义： 非零子式的最高阶数 注：（1）r（A）=0 意味着全部元素为 0,即 A=O（2）r（An n）=n（满秩） |A| 0 A 可逆；r（A） n|A|=0 A 不行逆；（3）r（A）=r（r=1、2、 、 n-1）r 阶子式非零且全部 r+1 子式均为 0；10、秩的性质：（7 条）（1）A 为

7、m n 阶矩阵,就 r（A） min（m,n）（2）r（A B） r（A） （ B）（3）r（AB）minr（A）,r（B）（4）r（kA）=r（A）（k 0）（5）r（A）=r（AC）（C是一个可逆矩阵）（6）r（A）=r（AT）=r（ATA）=r（AAT）（7）设 A 是 m n 阶矩阵, B 是 n s 矩阵, AB=O,就 r（A）+r（B） n名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 11、秩的求法：（1）A 为抽象矩阵：由定义或性质求解；（2）A 为数字矩阵： A初等行变换 阶梯型（每行第一个非零元素下面的元素

8、均为 0）,就 r（A）=非零行的行数（五）相伴矩阵12、相伴矩阵的性质：（8 条）（1）AA*=A*A=|A|E A*=|A|A-1（2）（kA）*=kn-1A*（3）（AB）*=B*A*（4）|A*|=|A| n-1（5）（AT）*=（A*）T（6）（A-1）*=（A*）-1=A|A|-1（7）（A*）*=|A| n-2 A（ 8）r（A*）=n （r（A）=n）；r（A*）=1 （r（A）=n-1）；（r（A） n-1）r（A*）=0 （六）分块矩阵 13、分块矩阵的乘法： 要求前列后行分法相同；14、分块矩阵求逆：3 向量（一）向量的概念及运算 1、向量的内积：（ , ） =T = T

9、2、长度定义：| |= 3、正交定义：（ , ） =T =T =a1b1+a2b2+ +anbn=04、正交矩阵的定义： A 为 n 阶矩阵, AAT=E A-1=AT ATA=E |A|= 1名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （二）线性组合和线性表示5、线性表示的充要条件：非零列向量 可由 1, 2, , s线性表示1非齐次线性方程组（ 1, 2, , s）（x1,x2, , xs）T= 有解；2r（ 1, 2, , s）=r（ 1, 2, , s, ）（系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩,用于大题第一步的检验）6、线

10、性表示的充分条件： （明白即可）如1, 2, , s 线性无关,1, 2, , s, 线性相关,就 可由1, 2, ,s线性表示；7、线性表示的求法：（大题其次步）设1,2, ,s线性无关, 可由其线性表示；（1,2, ,s| ）初等行变换 （行最简形 | 系数）行最简形：每行第一个非0 的数为 1,其余元素均为 0（三）线性相关和线性无关 8、线性相关留意事项：（1） 线性相关 =0（2）1,2 线性相关 1, 2 成比例9、线性相关的充要条件：向量组1,2, ,s 线性相关（1）有个向量可由其余向量线性表示；名师归纳总结 （2）齐次方程（1,2, ,s）（x1,x2, , xs）T=0有非

11、零解；第 6 页,共 15 页（3）r（1,2, ,s） s 即秩小于个数特殊地, n 个 n 维列向量1,2, ,n 线性相关（1） r（ 1, 2, ,n） n（2）| 1,2, ,n |=0（3）（ 1,2, ,n）不行逆- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 10、线性相关的充分条件：（1）向量组含有零向量或成比例的向量必相关（2）部分相关,就整体相关（3）高维相关,就低维相关（4）以少表多,多必相关推论： n+1 个 n 维向量肯定线性相关11、线性无关的充要条件向量组1,2, ,s 线性无关（1）任意向量均不能由其余向量线性表示；（2）齐次方程（

12、 1, 2, , s）（x1,x2, , xs）T=0只有零解（3）r（ 1, 2, , s）=s特殊地, n 个 n 维向量 1, 2, , n 线性无关r（ 1, 2, , n）=n | 1, 2, , n | 0 矩阵可逆12、线性无关的充分条件：（1）整体无关,部分无关（2）低维无关,高维无关（3）正交的非零向量组线性无关（4）不同特点值的特点向量无关13、线性相关、线性无关判定（1）定义法（2）秩：如小于阶数,线性相关；如等于阶数,线性无关【专业学问补充】（1）在矩阵左边乘列满秩矩阵（秩 秩矩阵,矩阵的秩不变；=列数）,矩阵的秩不变；在矩阵右边乘行满名师归纳总结 （2）如 n 维列向

13、量1, 2, 3 线性无关, 1, 2, 3 可以由其线性表示,第 7 页,共 15 页即（1, 2, 3）=（ 1, 2,3）C,就 r（1, 2, 3）=r（C）,从而线性无关；r（1,2,3）=3 r（C）=3 |C| 0- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （四）极大线性无关组与向量组的秩14、极大线性无关组不唯独15、向量组的秩 :极大无关组中向量的个数成为向量组的秩对比：矩阵的秩 :非零子式的最高阶数注:向量组1, 2, ,s 的秩与矩阵 A=（1,2, ,s）的秩相等16、极大线性无关组的求法（1） 1, 2, , s 为抽象的：定义法（2）

14、 1, 2, , s 为数字的：（ 1, 2, , s）初等行变换 阶梯型矩阵就每行第一个非零的数对应的列向量构成极大无关组（五）向量空间17、基（就是极大线性无关组）变换公式：如 1, 2, , n 与 1, 2, , n 是 n 维向量空间 V 的两组基,就基变换公式为（ 1, 2, , n）=（ 1, 2, , n）Cn n其中, C是从基 1, 2, , n 到 1, 2, , n 的过渡矩阵；C=（ 1, 2, , n）-1（ 1, 2, , n）18、坐标变换公式：向量 在基1, 2, , n与基1, 2, , n 的坐标分别为 x=（x1,x2, ,xn）T,y=（y1,y2,

15、, yn）T,即 =x1 1 + x2 2 + +xn n =y1 1 + y2 2 + +yn n,就坐标变换公式为 x=Cy或 y=C-1x；其中, C是从基 1, 2, , n 到 1, 2, , n 的过渡矩阵； C=（ 1, 2, , n）-1（ 1, 2, ,n）（六） Schmidt 正交化19、Schmidt 正交化设1,2,3 线性无关（1）正交化名师归纳总结 令1= 1第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）单位化4 线性方程组（一）方程组的表达形与解向量 1、解的形式：1一般形式 2矩阵形式： Ax=b；3

16、向量形式： A=（ 1, 2, , n）2、解的定义：如 =（c1,c2, , cn）T满意方程组 Ax=b,即 A =b,称 是 Ax=b的一个解（向量）（二）解的判定与性质 3、齐次方程组：（1）只有零解 r（A）=n（n 为 A 的列数或是未知数 x 的个数）（2）有非零解 r（A）n 4、非齐次方程组：（1）无解 r（A） r（A|b ）r（A）=r（A）-1（2）唯独解 r（A）=r（A|b ）=n（3）无穷多解 r（A）=r（A|b ） n 5、解的性质：（1）如1,2 是 Ax=0的解,就 k11+k22 是 Ax=0的解（2）如 是 Ax=0的解, 是 Ax=b 的解,就+ 是

17、 Ax=b的解名师归纳总结 （3）如1, 2 是 Ax=b的解,就1- 2 是 Ax=0的解第 9 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【推广】（1）设 1, 2, , s 是 Ax=b的解,就 k1 1+k2 2+ +ks s为Ax=b的解（当 ki=1）Ax=0的解（当 ki=0）（2）设 1, 2, , s是 Ax=b的 s 个线性无关的解, 就 2- 1, 3- 1, , s- 1为 Ax=0的 s-1个线性无关的解；变式： 1- 2, 3- 2, , s- 2 2- 1, 3- 2, , s- s-1（三）基础解系6、基础解系定

18、义：（1）1,2, ,s 是 Ax=0的解（2）1,2, ,s 线性相关（3）Ax=0的全部解均可由其线性表示基础解系即全部解的极大无关组注：基础解系不唯独；任意 n-r（A）个线性无关的解均可作为基础解系；7、重要结论：（证明也很重要）设 A 施 m n 阶矩阵, B 是 n s 阶矩阵, AB=O（1）B 的列向量均为方程 Ax=0的解（2）r（A）+r（B） n（第 2 章,秩）8、总结：基础解系的求法（1）A 为抽象的：由定义或性质凑n-r（A）个线性无关的解（2）A 为数字的： A初等行变换 阶梯型自由未知量分别取 1,0,0；0,1,0；0,0,1；代入解得非自由未知量得到基础解系

19、（四）解的结构（通解）9、齐次线性方程组的通解（全部解）设 r（A）=r,1,2, ,n-r 为 Ax=0的基础解系,就 Ax=0的通解为 k1 1+k2 2+ +kn-r n-r （其中 k1,k2, , kn-r 为任意常数）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 10、非齐次线性方程组的通解设 r（A）=r,1,2, ,n-r 为 Ax=0的基础解系, 为 Ax=b的特解,就 Ax=b的通解为 + k1 1+k2 2+ +kn-r n-r （其中 k1,k2, ,kn-r 为任意常数）（五）公共解与同解11、公共

20、解定义：假如 既是方程组Ax=0的解,又是方程组Bx=0的解,就称 为其公共解12、非零公共解的充要条件：方程组 Ax=0与 Bx=0有非零公共解有非零解 13、重要结论（需要把握证明）（1）设 A 是 m n 阶矩阵,就齐次方程ATAx=0与 Ax=0 同解, r（ATA）=r（A）（2）设 A 是 m n 阶矩阵, r（A）=n,B 是 n s 阶矩阵,就齐次方程 ABx=0与Bx=0同解, r（AB）=r（B）5 特点值与特点向量（一）矩阵的特点值与特点向量1、特点值、特点向量的定义：设 A 为 n 阶矩阵,假如存在数 及非零列向量 ,使得 A 属于特点值 的特点向量；2、特点多项式、特

21、点方程的定义：A = ,称 是矩阵| E-A|称为矩阵 A 的特点多项式（ 的 n 次多项式）；| E-A |=0 称为矩阵 A 的特点方程（ 的 n 次方程）；注:特点方程可以写为 |A- E|=0 3、重要结论：（1）如 为齐次方程 Ax=0的非零解,就 A =0 ,即 为矩阵 A 特点值 =0 的特点向量（2）A 的各行元素和为 k,就1,1, , 1T为特点值为 k 的特点向量；（3）上（下）三角或主对角的矩阵的特点值为主对角线各元素；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 4、总结：特点值与特点向量的求法（1

22、）A 为抽象的：由定义或性质凑（2）A 为数字的：由特点方程法求解5、特点方程法：（1）解特点方程 | E-A|=0,得矩阵 A 的 n 个特点值 1, 2, , n注： n 次方程必需有 n 个根 可有多重根,写作 1= 2= = s=实数,不能省略 （2）解齐次方程 （ iE-A）=0,得属于特点值 i的线性无关的特点向量, 即其基础解系（共 n-r（ iE-A）个解）6、性质：（1）不同特点值的特点向量线性无关（2）k 重特点值最多 k 个线性无关的特点向量1n-r（ iE-A） ki（3）设 A 的特点值为 1, 2, , n,就 |A|= i, i= aii（4）当 r（A）=1,即

23、 A= T,其中 , 均为 n 维非零列向量,就 A 的特点值为 1= aii=T =T , 2= = n=0（5）设 是矩阵 A 属于特点值 的特点向量,就AfAT1A-A*P-1AP（相（A）似）f1-|A| -1（）/P-1（二）相像矩阵7、相像矩阵的定义：设 A、B 均为 n 阶矩阵,假如存在可逆矩阵 作 AB 8、相像矩阵的性质P 使得 B=P-1AP,称 A 与 B 相像,记（1）如 A 与 B 相像,就 f（A）与 f（B）相像（2）如 A 与 B 相像, B 与 C相像,就 A 与 C相像名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - -

24、 - - - - - - （3）相像矩阵有相同的行列式、秩、特点多项式、特点方程、特点值、迹（即 主对角线元素之和）【推广】（4）如 A 与 B 相像,就 AB与 BA 相像, AT与 BT相像, A-1与 B-1相像, A*与 B* 也相像（三）矩阵的相像对角化 9、相像对角化定义：假如 A 与对角矩阵相像,即存在可逆矩阵P,使得 P-1AP= =,称 A 可相像对角化；注：A i=i i（ i 0,由于 P 可逆）,故 P的每一列均为矩阵A 的特点值i 的特点向量10、相像对角化的充要条件（1）A 有 n 个线性无关的特点向量（2）A 的 k 重特点值有 k 个线性无关的特点向量11、相像

25、对角化的充分条件：（1）A 有 n 个不同的特点值（不同特点值的特点向量线性无关）（2）A 为实对称矩阵 12、重要结论：（1）如 A 可相像对角化,就 的个数r（A）为非零特点值的个数, n-r（A）为零特点值（2）如 A 不行相像对角化, r（A）不肯定为非零特点值的个数（四）实对称矩阵 13、性质（1）特点值全为实数（2）不同特点值的特点向量正交（3）A 可相像对角化,即存在可逆矩阵 P 使得 P-1AP=（4）A 可正交相像对角化,即存在正交矩阵Q,使得 Q-1AQ=QTAQ=名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - -

26、 - 6 二次型（一）二次型及其标准形1、二次型：（1）一般形式（2）矩阵形式（常用）2、标准形：假如二次型只含平方项,即f（x1,x2, , xn）=d1x12+d2x22+ +dnxn2这样的二次型称为标准形（对角线）3、二次型化为标准形的方法：（1）配方法：通过可逆线性变换 x=Cy（C 可逆）,将二次型化为标准形；其中,可逆线性变换 及标准形通过先配方再换元得到；（2）正交变换法：通过正交变换 x=Qy,将二次型化为标准形 1y12+ 2y22+ + nyn2 其中, 1, 2, , n 是 A 的 n 个特点值, Q 为 A 的正交矩阵 注:正交矩阵 Q 不唯独, i 与 i 对应即

27、可；（二）惯性定理及规范形 4、定义：正惯性指数：标准形中正平方项的个数称为正惯性指数,记为 p；q；负惯性指数：标准形中负平方项的个数称为负惯性指数,记为 规范形： f=z12+ zp2-zp+12- -zp+q2称为二次型的规范形；5、惯性定理：二次型无论选取怎样的可逆线性变换为标准形,其正负惯性指数不变；注：（1）由于正负惯性指数不变,所以规范形唯独；（2）p=正特点值的个数, q=负特点值的个数, p+q=非零特点值的个数 =r（A）（三）合同矩阵 6、定义：A、B 均为 n 阶实对称矩阵,如存在可逆矩阵C,使得 B=CTAC,称 A 与 B 合同名师归纳总结 - - - - - -

28、-第 14 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7、总结： n 阶实对称矩阵 A、B 的关系（1）A、B 相像（ B=P-1AP）相同的特点值（2）A、B 合同（B=CTAC）相同的正负惯性指数 相同的正负特点值的个数（3）A、B 等价（ B=PAQ）r（A）=r（B）注：实对称矩阵相像必合同,合同必等价（四）正定二次型与正定矩阵8、正定的定义 二次型 xTAx,假如任意 x 0,恒有 xTAx0,就称二次型正定,并称实对称矩阵A 是正定矩阵；9、n 元二次型 xTAx 正定充要条件：（1）A 的正惯性指数为 n（2）A 与 E合同,即存在可逆矩阵（3）A 的特点值均大于 0C,使得 A=CTC或 CTAC=E（4）A 的次序主子式均大于0（k 阶次序主子式为前k 行前 k 列的行列式）10、n 元二次型 xTAx 正定必要条件：（1）aii0（2）|A| 011、总结：二次型 xTAx 正定判定（大题）（1）A 为数字：次序主子式均大于 0（2）A 为抽象：证 A 为实对称矩阵： AT=A；再由定义或特点值判定 12、重要结论：（1）如 A 是正定矩阵,就kA（k0）,Ak,AT,A-1,A*正定名师归纳总结 （2）如 A、B 均为正定矩阵,就A+B正定第 15 页,共 15 页- - - - - - -