2022年角平分线的性质【教案】.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 教案标题学习必备欢迎下载角平分线的性质老师姓名数学同学姓名全国学科适用中学二适用范学问年级年级围1角平分线的画法、角平分线的性质; 目标2. 综合应用角的平分线的性质和判定解决相关问题. 才能.1 把握角平分线的性质; 教学目标 2 会用尺规作一个已知角的平分线. 目标情感 态度在利用尺规作图的过程中,培育同学动手操作才能与探究精 神, 体验数学中的美,激发学习爱好,从而培育同学勤于动脑和动手的良好品质. 价值观学问点角平分线的定义; 角平分线的性质; 角平分线的判定. （留意 ：学问点标注要与试题库中所给学问点一样）重点：利用尺规作已知角的平

2、分线角平分线的性质名师归纳总结 重难点难点：依据详细的条件,选用圆的一般方程解决有关的实际问题.第 1 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 学习必备欢迎下载第 2 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问讲解1、角平分线的定义从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个相等的角,这条射线叫做这个角的角平分线；2、角平分线的性质1、角平分线分得的两个角相等,都等于该角的一半；2、角平分线上的点到该角两边的距离相等；3.、角平分线的判定在角的内部,到该角两

3、边距离相等的点在该角的平分线上；例题讲解考点一 作角的平分线例 1 如图,已知点 C为直线AB上一点,过C作直线CM,使 CM AB 于 C ；【答 案】名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【规范解答】作法：1、以 C为圆心,适当的长为半径画弧,与 CA、CB分别交于点 D、E；2、分别以 D、 E 为圆心,大于 1DE 的长为半径画弧,使两弧交于点 M；23、作直线 CM；所以,直线 CM即为所求；【总结与反思】此题要求 “ 大于1 DE 的长为半径”的理由是： 半径假如小于 1DE ,就两弧无法

4、相交；2 2而半径假如等于 1DE ,就两弧交点位于 C点处,无法作出直线 CM；2在数学学习中, 不光要知道怎么做题,仍要知道为什么要这样做；此题属于作图题；在解决作图题时要求做到规范地使用尺规,规范地使用作图语言,规范地依据步骤作出图形,并且作图的痕迹要保留,不能擦掉；考点二 角平分线的性质角平分线上的点到角的两边的距离相等；角平分线性质的符号语言：名师归纳总结 P 在AOB 的平分线上第 4 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - PDOA 于 D , PEOB 于 E学习必备欢迎下载PDPEABC 的角平分线, DEAB ,DFAC

5、,垂足分别是E F ；连接 EF ,例 2 如图, AD 是交 AD 于点 G ；说出 AD 与 EF 之间有什么关系？证明你的结论；【答 案】 EFAD ,且EGFG .名师归纳总结 【规范解答】EFAD,且 EGFGE F第 5 页,共 16 页证明：AD 平分BACDEAB,DFAC ,垂足分别是DEDF在 RtDEA 和 Rt DFA 中DEDFADADRtDEARtDFA （HL）ADEADF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载在 DGE和 DGF中DE DFGDE GDFDG DGDGE DGF （SAS）EG FG ,DG

6、E DGF 90EF AD ,且EG FG ；【总结与反思】通过此题我们知道,证明两条线段相等,除了利用全等三角形的性质外,仍可以利用角平分线的性质；这样我们又多了一种证明线段相等的方法；在利用角平分线的性质时,“ 角平分线” 和“ 两个垂直” 这两个条件缺一不行；例 3 如图,D 是 ABC 的外角 ACE 的平分线上一点,DF AC 于 F ,DE BC 于 E ,且交 BC 的延长线于 E ；求证： CE CF ；【答 案】CE CF【规范解答】名师归纳总结 CD是ACE 的平分线,DFAC 于 F , DEBC 于 E第 6 页,共 16 页DECDFC90, DEDF在 RtDEC

7、和 Rt DFC 中DCDCDEDFRtDECRtDFC （HL）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - CECF学习必备欢迎下载【总结与反思】 利用角平分线的性质可以证明线段相等,所需要的条件；小结：运用角平分线的性质时应留意以下三个问题：而线段相等可能又是证明其他结论（1）这里的距离指的是点到角的两边的垂线段的长；（2）该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,不需要再用全等三角形的性质；（3）使用该结论的前提条件是图中有角平分线、有两个垂直；考点三 角平分线的判定到角的两边距离相等的点在角的平分线上；角平分线判定的符号语言：PD OA 于 D , PE

8、 OB 于 E且 PD PEP 在 AOB 的平分线上（或写成 OP 是 AOB 的平分线）例 4 如图, BE CF , DF AC 于 F , DE AB于E,BF和CE交于点D；求证： AD 平分 BAC ；【答 案】见规范解答名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【规范解答】在DFAC 于 F , DEAB 于 EDEBDFC90BDE 和CDF 中又AB于 EDEBDFCBDECDFBECFBDECDF （AAS）DEDFDFAC 于 F , DEAD 平分BAC ；【总结与反思】判定角的平

9、分线时如题目中只给出一个条件DEDF 或DFAC , DESAB,那么得出 AD 平分BAC 这一结论是错误的；PMN,试问点例 5 如图,F G 是 OA上两点,M N 是 OB 上两点,且FGMN ,SPFGP 是否在AOB 的平分线上？【答案】 P 在AOB 的平分线上；【规范解答】名师归纳总结 证明：过点P 作 PDOA 于 D, PEOB 于 E 第 8 页,共 16 页SPFG1FGPD ,SPMN1MNPE ,22而SPFGSPMN- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1FGPD1MNPE学习必备欢迎下载22又FGMN又PDPEPDOA 于

10、D, PEOB 于 E P 在AOB 的平分线上；【总结与反思】利用面积证明相关结论是一种常见方法；面积法有着其他方法所不具有的优势,比如它不要求考虑线段的位置关系；小结：角平分线的判定与角平分线的性质是互逆的；判定角的平分线要满意两个条件： “ 垂直”和“ 相等” ；如已知“ 垂直” 就设法证明“ 相等”,如已知“ 相等” 就设法证明“ 垂直”；考点四 角平分线的综合应用例 6 如图,在 ABC 中,C 90,AD 平分 BAC ,DE AB 于 E ,F 在 AC 上,BD DF ；求证： CF EB ；【答 案】 见规范解答【规范解答】名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,

11、共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - AD 平分BAC ,C90学习必备AB欢迎下载, DEDC DE在 Rt FCD 与 Rt BED 中DC DEDF BDRt FCD Rt BED （HL）CF EB ；【反思与总结】把握角平分线的性质和判定当然重要,但学会分析题目所给条件更是解决问题的关键；例 7 如图,已知在ABC 中, BDDC ,12；求证： AD 平分BAC ；【答案】 见规范解答名师归纳总结 【规范解答】 过点 D作 DEAB 于 E, DFAC 于 F 第 10 页,共 16 页故,BEDCFD90在BDE与CDF 中BEDCFD12BDCDBDEC

12、DF （AAS）DEDF- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 又DEAB 于 E,DF学习必备欢迎下载AC 于 F AD 平分 BAC ；【反思与总结】当题目中有角平分线这一条件时,解题经常过角平分线上的点向角的两边作垂线；当有垂线这一条件时,常作帮助线得到角的平分线；小结：用角平分线证明线段相等或角相等时,经常与证明三角形全等协作使用,证明时要先观察需证明的线段或角（或通过等量代换得到的线段或角）在哪两个可能全等的三角形中；名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下

13、载课后作业 （留意 ：题目可以来自试题库,但留意题目挑选要有层次性）A. 基础题自测1、到三角形三条边的距离都相等的点是这个三角形的（）A. 三条中线的交点B. 三条边的垂直平分线的交点【答C. 三条高的交点D. 三条角平分线的交点案】 D 【规范解答】 角平分线的性质：角平分线上的点到该角两边的距离相等；2、在 Rt ABC中,C90,AD 平分BAC ,交 BC 于点 D ,如BC32,且BD CD9:7,就点 D 到 AB 的距离为（）C. 14 D. 12 A. 18 B. 16 【答案】 C 【规范解答】A E C D B 过 D作 DE垂直于 AB,由于 BC=32,且 BD :

14、CD 9 : 7,所以 BD=18 , CD=14 ,又由于角平分线上的点到该角两边的距离相等,所以 D到 AB的距离为 14；3、如图,直线 l l 2 , l 表示三条相互交叉的大路,现要修建一个货物中转站,要求它到三条大路的距离都相等,就可供挑选的地址有（）A. 一处 B. 两处 C. 三处 D. 四处名师归纳总结 【答案】 D 第 12 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【规范解答】 由于到角的两边的距离相等的点在角的平分线上,所以可供挑选的地点可在这三条直线围成的三角形的内角平分线的交点处或这个三角形的外角平

15、分线的交点处,如图,可供挑选的地址有 P1、P2、P3、 P4 共四处,答案为四处；4、如图, ABC 中,C 90,点 O 为 ABC 的三条角平分线的交点,OD BC ,OE AC ,OF AB ,点 D E F 分别是垂足,且 AB 10 cm ,BC 8 cm ,CA 6 cm ,就点 O 到三边AB AC BC 的距离分别等于（） cmA. 2 、2、2 B. 3 、3、3 C. 4 、4、4 D. 2 、3、5 【答 案】 A 【规范解答】 角平分线上的点到该角两边的距离相等,所以设OD=OE=OF=r,由于6-r,r=2 ,所以点 O 到三边AB AC BC 的距离分别等于2cm

16、 ；B.中档题演练1、如图,已知BA CA 分别是DBC ,ECB 的平分线,BDDE ,CEDE ,垂足分_；别为D E ,就 DA与 EA有怎样的数量关系【答案】 DAEA名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 2、已知ABC 中,C90学习必备欢迎下载BD2CD ,点 D 到 AB 的距离等于, AD 平分A ,AD5.6 cm ,就 BC 的长为 _ cm；【 答 案】 16.8【规范解答】解 : 作 DEAB于点 E AD平分 A,DC AC,DEAB CDDE5.6 BD2CD11.2 BCBCCD16.8

17、 3、 8. 如图, BD 是ABC 的平分线,DEAB 于 E, DFBC 于 F,SABC362 cm ,AB18cm ,BC12cm ,就 DE的长是 _；【答案】12 5cm【规范解答】解：ABDCBD , DEAB ,DFBC9DEDFSABCSABDSCBD36118DE112DF22DE12 56DE36,C.难题我破解名师归纳总结 1. 如图, AB / CD ,B90,E 是 BC 的中点, DE 平分ADC ；求证： AE 平分DAB ；第 14 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【答案】 见规范解答学习必备欢迎下载

18、【规范解答】 证明：过点E 作 EFAD 于 F 180, AC 平分BAD ,CEAD , E 为DE 平分ADC ,ECDC , EFFDCEEF又CEBEEFBE又EFAF , BEABAE 平分DAB ；2如图,已知在四边形ABCD 中,BD垂足；求证：ABAD2AE；【答案】见规范解答【规范解答】名师归纳总结 证明：延长AB,过 C作 CHAB ,H为垂足AB12第 15 页,共 16 页AC 平分BAD ,且CEAD , CHCHCEECA290,又HCA190,HCAECA在ACH 与ACE 中,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - HCAECA学习必备欢迎下载名师归纳总结 HAEC90第 16 页,共 16 页ACACACHACE （AAS）AHAE- - - - - - -