2022年初中数学奥林匹克中的几何问题：第二章塞瓦定理及应用 .pdf

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1、第二章塞瓦定理及应用习题 A 1对ABC及点 O，由塞瓦定理可得3AFFB，34AFAB又对ADC与截线 FOC，由梅涅劳斯定理得4AOOD，45AOAD，故3 4 34 5 5AFOABDSS，由此可知25BDOFABDSS又14ABDABCSS，所以2 115410BDOFABCSS2在ABC中由题设及塞瓦定理有1BDCEAFDCEAFB又有BDCD，DCD B，CEAE，EAE C，AFBF，FBF A，故1CDBFAED BF AE C由塞瓦定理之逆知AD，BE，CF 三线共点3由割线定理有AF AFAE AE，即AFE AEAAF同理，BDF BFBBD，CED CDCCE三式相乘并

2、适当交换位置，有BDCEAFD CE AF BDCEAFBBDCEAF由塞瓦定理知1BDCEAFDCEAFB，再由塞瓦定理之逆知AD，BE，CF 三线共点4设ABC的边 BCa，CAb，ABc，周长为 2s，过顶点A，B，C 且平分ABC周长的直线分别交 BC，CA，AB于点D，E，F，则由 BDCDa，cBDbCD，求得1()2BDabcsc，1()2CDcabsb同理C Es，AEsbCD，BFsaCE 故有1BDCEAFDCEAFB由塞瓦定理之逆，知AD，BE，CF 共点5令3B A Ca，3ABC，3ACB，由角平分线性质有QXAQXRAR，BYBRYPBP，PZCPZQCQ由正弦定理

3、，有sinsinBRAR，sinsinCPBP，sinsinAQCQ，于是1QXBYPZBRCPXRYPZQAR CQ由塞瓦定理之逆，值PX，QY，RZ三线共点6令3BAC，3ABC，3ACB，由平分线性质有EXAEFXAF，FYBFYDBD，DZCDZECE设ABC的外接圆半径为R，由正弦定理有2sin3sin(60)8sinsin(60)sin(60)sin(60)RAFR，sinsin(60)sin(60)子啊AEF中，由余弦定理及公式222sin()sinsinsinsincos()xyxyxyxy，求得8sin(60)sin(60)sin(60)EFR由sinsinsin(60)AE

4、AFEFAFEAEF，知 sinsinAFE，sinsinAEF，故sinsinAEAF同理，sinsinBFBD，sinsinCDCE于是1EXFYDZXFYDZE，由塞瓦定理之逆，知DX，EY，FZ三线共点7 由正弦定理，有 sinsinEAEAAAA EAE，sinsinA FA AFAAFAF 两式相除并注意AEAF，有 sinsinAA EAA F，则sinsinEAAEAA AFA F，即sinsinCAAEAA ABA F同理sinsinABBFBB BCB D，sinsinBCCDCC CAC E三式相乘，得sinsinsinsinsinsinCAAABBBCCEAFBDCA

5、ABB BCC CAA FB DC E由于DA EB，FC 共点于 O，则上式右边等于1，从而左边亦等于1由塞瓦定理之逆，知AA，BB，CC 共点8设AD，BE，CF 分别与 B C，C A，A B垂直于D，E，F，且AD，BE，CF 共点于P A G，BH，CL 分别与 BC，CA，AB垂直于 G，H，L又锐角HB A与ACP 的两边分别垂直，故HB AACP，同理，B A GPCB，从而sinsinsinsinHB AACPB A GPCB类 似 地 有sinsinsinsinGA CCBPA C LPBA，sinsinsinsinLC BBAPPBAPAC 三 式 相 乘 并 适 当 整

6、 理，有sinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinsinGA CLC BHB AACPCBPBAPB A GA C LC B HPCBPBAPAC由ABC重AP，BP，CP 共点及角元形式的塞瓦定理，知上式右边等于1，从而左边也等于1，也等于 1 由塞瓦定理之逆，知 A G，BH，C L 三线共点9设PBCx，则40ABPx，由sin80sinsin101sin 20sin(40)sin30 xx，求得20 x10设ACDx，则50BCDx，由sin10sin 40sin1sin 70sin10sin(50)xx，求得30 x11设MBAx，则70MAC，由sin20s

7、in20sin(70)1sin60sin10sinxx，及sin20sin 40sin80sin(70)sin60sin(70)sin60sin2sin 402sin 40 xxx，求得30 x12连AP，设P ACx，则110BAPx对ABC及点P，有sin(1 10)sin20s in2 01s ins in20s in 1 0 xx，求得80 x此时80APC过M作EMAP交 PC 于E，则梯形APEM为等腰梯形，有PMAE 又50ANENBCBCN，18050AEPAMPMABABM，则A NA E，故 PMAN 13设NCBx，则20ACNx，由sin 20sin30sin(20)1

8、sin100sin10sinxx，求的10 x14设ACDx，则40BCDx，由sin10sin 40sin1sin 70sin 20sin(40)xx，求得30 x15设MBCx，则50ABMx，由sin60sinsin101sin40sin(50)sin20 xx及1sin60sin(50)sin60sin4sin 20sin40sin80sin(50)2sin 202sin 20 xxx，求得30 x15设PAcx，80PABx，由sin(80)sin40sin101sinsin30sin 20 xx及4sin10sin50sin70sin(80)sin30sin(80)sinsin50

9、sin50 xxx，求得30 x 分别在APC，BPC，ABC中 由 正 弦 定 理，有si n 4 0s i n 4 0si n 1 0s i n 1 0CAAP，sin20sin40BPPC，sin301sin802cos10ABCB 故.1CAABBPCABP ABAPPCCBAPPC CB17连BP，设ABPx，则40PBCx，对ABC及点P有sin 20sin(40)sin301sin80sinsin10 xx，求得20 x连 PQ，设APQy，则70QPCy 对APC及点 Q 有sin60sin(70)sin101sin20sinsin20yy，求得40y此时，40APQPABBA

10、P，故B，P，Q 共线18 设A B Px，则50PBCx 对ABC及点P有sin 60sin(50)sin101sin 20sinsin 40 xx 求得20 x，即有20PBQ连 PQ，设Q P Cy，则110BPQy 对B CP及点 Q 有sin(110)sin101sinsin20yy，求得30y，即有80BPQ又18080BQPPBQBPQ，故 BPBQ 19 连DI，IC，由 ABAC及I为 内 心，知20BCIIBCIBD 又 由BDBI，知80BDI设DCIx，则40IDCx，对BCD及点I有sin80sin20sin1sin(40)sin 20sin 20 xx，文档编码:C

11、B10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I

12、10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE

13、4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I1

14、0S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4

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16、7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档

17、编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C

18、4C1I10求得10 x故30BCD为所求20设过A，B，C 分别与 BC，CA，AB平行的直线交成A B C，则A，B，C 分别为 B C，C A，A B的中点又设过2A，2B，2C 与1AA，1BB，1CC 平行的直线al，bl，cl 分别与 B C，C A，A B交于2A，2B，2C，则有221180A A BCA A；而由BACA，2BACA，21A BAACA，知21BA ACA A，有21BA ACA A从而222180A A BBA A，即2A，2A，A三点共线故有22212221B ACAA CBAA CA BBAAC（因12BAA C，12ACBA）=同 理，221C BCB

19、uuB AB A，121ACA CvvC BC B于是由塞瓦定理知al，bl，cl 共点11111,u v uvAABBCC 共点21 因 G HB C，有G AG EB DE D，HAHFCDFD 即EDBDGAGE，FDCDHAHF 又 A BA C，ADBC，则 BDCD 于是EDFDGAHAGEHF即1DEGAHFEGAHFD由塞瓦定理，即得结论22令 BCa，CAb，ABc，则2bSL，2cMN由SLDMND，得LDLSbNDMNc同理，NFaMFb，MEcLEa在MNL中，有1LDNFMENDMFLE由塞瓦定理之逆，知MD，NE，LF共点，故 MS，NT，LU 共点23设AEXXF

20、E，AFXXEF，XAEa，XAF在AEF中，AX，EX，FX交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有sinsinsin1sinsinsin，即12sinsin()sinsin令YEF，YED，FBY，YBD，EFZ，DFZ，ECZ，DCZ 同理，有12sinsinsinsin，12sinsin()sinsin注意到AP，BP，CP 交于一点，由角元形式的塞瓦定理，有12sinsinsinsin1sinsinsinsin，由此即证24令21CCP，42CC P，13BB P，64BB P，35AA P，56AA PAA，BB，CC 共线332211446655sinsinsinsin1 sin3 s

21、in511sin2 sin4 sin6sinsinsinAPAP ACPCP CBPBPBCPCP CBPBP BAPAP A而142536APAPBPBPCPCP，则25CP CAP A，36AP ABPB，321414651APCPBPCP CBPBCPBPAP又由条件易知，15BPAP，26CPBP，34APCP 由此即证注：此题也可以应用梅涅劳斯定理证分别延长AB和A B，CB 和 C B，AC 和 A C 得交点M，N，G（交点可无穷远处）由15APBP，有15BPAP 同理，34APCP，62BPCP 直线B AM截ABC，由梅涅劳斯定理，有36361APCPBMMAPCPB同理，

22、52251BPCPAGGCP BP A，14141BPAPCNNBPA PC三式相乘并注意15BPAP，34APCP，62BPCP，得1BMAGCNMAGCNB由梅涅劳斯定理之逆，知M，N，G 共线又点M，N，G 分别是A B C和ABC对应所在直线的交点，利用笛沙格逆定理可得A B C和ABC对应顶点的连线A A，B B，C C 共点25设PA与 BC 相交于D，对ABC应用塞瓦定理，有1AFBDCEFBD CEA又由梅涅劳斯定理，点F，E，D共线的充要条件是1AF BDCEFB DCEA从而转证BDDBD CDC即可因ACCD，1802DPADPC，这表明DPCCPD，即 PC 时DPD的

23、平分线，且PCPB，PB是DPD的外角平分线，由此即证得结论文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:C

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25、10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE

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28、 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R

29、7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档

30、编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I1026设1AA，1BB，1CC 交边 BC，CA，AB于2A，2B，2C 由1122sin()sin()ABAACASBAABBA CSCAC，22sin()sin()CBBCCB AABA，22sin()sin()ACACAC BBCB，三式相乘即证习题 B 1设直线AD，BE，CF 交 BC，CA，AB于A，B，C 过D作O的切线交AB，AC 于M，N 由 MNB C，知A MDA BA，AD NAA C，则MDADDNB AA AAC，即B AMDACDN连OM，ON，设O的半径为 r 则B，D，O，F；C

31、，D，O，E分别四点共圆由FODB，EODC，则1122MODFODB，1122NODEODC 而t a nt a n2M DBM O Dr，tantan2D NCNODr，则11tantan22MDD NBC，即11tantan22BAA CBC同理，11tantan22CBB ACA，11tantan22ACC BAB，则1BACBACA CB AC B由塞瓦定理之逆，有AA，BB，CC 三线共点即AD，BE，CF 三线共点2设BD交圆于M，N，连ME，MH，MF，NH，NE，NF，NG，EH，FG 由B MEB E N，BMFBFN，有EMBEENBN，MFBFFNBN而BEBF，则EM

32、MFENFN，即EMENMFFN同理，NHHMGNGM于是NHEMHMENMFGNGMFN对圆内接四边形HEMN 和 GFMN 分别应用托勒密定理，有HMENENEMHEMN，GMFNMFGNFGMN，所以MHEMNHEMHEMNMFGNMFGNFG MN，由此得NHEMFGHEMFGN，即1N H E M F GH E M F G N 由塞瓦定理的推论，知BD，GE，HF三线共点同理，AC，GE，HF三线共点因GE 与HF交点唯一，故AC，BD，HF，GE 四线共点3设ABC的内心为I，则I是000A B C的垂心令2BAC，2ABC，2BCA（）由11BIAIBA，有101090()ABA

33、A A B，即1110IAI BI A，有012A BIA BISS同理，102ACISA CIS，故012A BICA BICSS同理，012B CIABCIASS，012C AIBC AIBSS三式相加即证（）令0100C BC A，0200A CA B，0300B AB C，则01011C BBA，02021A CBA，03031B AAC对000AB C应用塞瓦定理，有0000001C BA CB ABACBAC，即3121231111，从而1 23123(1)(1)(1)，00012312312233 121()()ABCA B CS S（*）又由平均值不等式，有312312311,

34、28 即0001 2 3124ABCA B CS S，亦即0004ABCSA B CS，等号当且仅当000A B C为正三角形123()时成立注：其中（*）是三角形与其内接三角形的关系公式4 延长AP交 BC 于 Q，由塞瓦定理有1AFCEFBEA 由B P AC P A，知B P QC P Q 又P BB QP CQ C，过A作AMPB交直线PF于M，作 ANPC交直线PE于 N，有AMAFPBFB，PCCEANEA，于是得AMAN 有1 8 01 8 0P A MB P AC P AP A N，有P A MP A N，得B P FC P E5连EF交直线 AC 于K令BAF，DAE，BAC

35、DAC，由文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1

36、 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q

37、1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B

38、4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB

39、10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I1

40、0文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4

41、F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10

42、S7U1 ZE4F8C4C1I10,sinsinsinsinFBAFBCACABFABC，有sinsinFBAFBCAC同理，sinsinDEAEDCAC又sin()sin()AFKAEKSKFAF KESAE 对EFC及点 G 应用塞瓦定理，有1FBCDKEBCDEKF，得sinsin()sinsin()，即 sinsin()0 由此可得，即证6连DI，IC，设DCIx，则40IDCx，对BCD及点I应用角元形式的塞瓦定理，有sin80sin20sin1sin(40)sin20sin20 xx，求得10 x，故30BCD为所求7由2211111ABACACBC，111111ACBCACB C

43、ACBC，及21111B CB A C A，21111C AC B AB，注意应用塞瓦定理，1111111ACB A C BABBCC A，从而111111111111111111111111ACB A C BA BBCC AACBC B A C A C B ABAB B C C AA B B C C AA B BC C A8设直线AD与 BC 交于P过P作 l 的垂线交 l 于H设圆的圆心为 O，由OADPAH，有AHHPADDO由OCBPHB有BHHPBCCO，即AHBHADBC注意 PDPC，有1AHBCPDHB CP DA由塞瓦定理之逆，知AC，BD，PH共点，直线PH重合于EF，点H

44、与F重合又 O，D，P，C 共圆，且直径为OP，又90PHO，知H也在此圆上故DFPDOPCOPCFP 9设直线1AA 交 BC 于X，直线1BB 交 CA 于Y，1CC 交AB于Z，由塞瓦定理的逆定理，只要证明.1BXCYAZXCYA ZB设中心为1A 的正方形边长为，顶点P，Q 分别在边AB和 AC 上，顶点 S，T在 BC上，且 S在B，T之间因AX过正方形 QPST 的中心，若AX截 PQ 边两段为u，v，则它截 ST边两段 为v，u，则cotcot1cotcot1BXuBXuBTBSaaBaBXCvXCvSCTCaaCaC 同 理，cot1cot1CYCYAA，cot1cot1AZA

45、ZBB故有1BXCYAZXCYAZB10作高AH，连BE，CD，则AH，BE，CD 交于一点，即ABC的垂心对ABC应用塞瓦定理，有1ADBHCEDBHCEA由MDFMGE，有BECBDCSGMGEBE CEMDDFSBD CD由AHEG，有H GC HA EA C，即A CH GH C 由2ABCAB CDSAC BE，有A BC DH GA CB EH GH对DBG，考察点A，M，H，有1()DABHGMDABHBE CEDA BHCEBEADBHCEABHGMDABHGBD CDHCAE BEDBHCEA，由梅涅劳斯定理之逆即证11设H关于边 BC，CA，AB的对称点分别为A，B，C，则

46、A，B，C 均在外接圆O上下证D，E，F满足要求 设直线 AO，BO，CO与 BC，CA，AB的交点为D，E，F 由于DADH，有 ODDHODDAR（R为O半径）同理，OEEHOFFHR 由2BAOACBCAA，有B O DC O 又O BO C，OBDOCD，则O B DO C，有 BDCD 同理，CEAE，AFBF对ABC及点H应用塞瓦定理，有1BDCEAFD CE AF B，即1BDCEAFCDBFAED CE AF BDBFAEC再由塞瓦定理之逆，知AD，BE，CF 共点D，E，F满足要求12连AD交BF于 G，连BD交AE于H，连 GN，HM由DA BCDBCFB，知A，F，G，N

47、 四点共圆，有180AFBANG又90AFB，则90ANG，即 GNAB 且 GNAB，有LNDGNAGA同理，BHBMHDML在ABD中，1AOBHDGAOBMLNOBHDGAAOMLNA由塞瓦定理之逆，知AE，BF，OD 三线共点文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB

48、10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I1

49、0文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4

50、F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10S7U1 ZE4F8C4C1I10文档编码:CB10R7V10B4S4 HX7Q1I10