2022年解直角三角形及应用举例.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解直角三角形及应用举例（专题讲座）解直角三角形一、学问点（一）目标点 1、熟记直角三角形中各元素间的关系,并能娴熟地运用它们解直角三角形；2、利用解直角三角形的有关学问解决简洁的实际问题及特别四边形、等腰三角 形等有关问题；（二）要点1、解直角三角形的依据：在Rt ABC中, C90 , A、B、C 所对的边分别是,就：（1）三边之间关系：；（2）锐角之间关系：AB90 ；（3）边角之间的关系： sinA ,cosA,tgA,ctgA,sinB ,cosB,tgB,ctgB ；（ 4）面积公式：,（为边上的高）；2

2、、直角三角形的解法；直角三角形的解法按除直角外已知二个元素（至少一个边）的不怜悯形,可大致分为四种类型（设C90 , A、B、C 所对的边分别是）；（1）已知一条直角边和一个锐角（如,A）,其解法为：B90 A,（或）；（ 2）已知斜边和名师归纳总结 一个锐角（如,A）,其解法为：B90 A,（或第 1 页,共 10 页）；（3）已知二直角边（）,其解法为：；由 tgA- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本求出 A,B90 A；（ 4）已知斜边和一条直角边（如和）,其解法为,由 sinA ,求出 A,B90 A；3、解直角三角

3、形时正确挑选关系式的要领：（1）如求边,一般用未知边比已知边（即未知边放在分子）,去查找已知角的某个三角函数；（2）如求角,一般用已知边比已知边（斜边放在分母）,去查找未知角的某个三角函数；（3）选择关系式时要尽量利用原始数据,以防止“ 累积误差” 和“ 一错再错” ；（三）重难点重点：直角三角形的解法；难点：挑选简便方法解直角三角形；二、考点（一）命题方向分析1、考查解直角三角形的定义,主要以判定题和填空题形式显现；目的是懂得直角三角形的概念,并留意在已知两个元素至少有一个是边；2、考查解直角三角形,主要显现在运算题中；目的要求画出草图,由直角三角形的五个元素之间的关系进行运算；留意：（1）

4、书写 不要写成；（2）在运算中尽量用原始数据,以免“ 累积误差” 和“ 一错再错” ；（3）在运算过程中如同时可选用两个公式运算时,法运算的公式；为简便,要选用乘法运算的公式而不选用除3、一般考查解直角三角形,由于题目本身学问限制（不准查表）,因此考题中 仍以给特别角或特别值为多；所以要求同学把握一个角为 30 的直角三角形和一个角为 45 的等腰三角形三边的比值关系,对解有关直角三角形的问题尤为 重要,期望教者赐予留意；（二）热点考题举例例 1、在 Rt ABC中, C90 ,解这个直角三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - -

5、- - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解：在 Rt ABC中,sinA, A45 ,B90 A45 ,解法一：；解法二： AB,解法三： cosA,说明：敏捷挑选关系式,使运算简便；例 2、（1）在 ABC中,已知 C90 ,AC3,A 的平分线 AD6,解这个三角形；（ 2）在 ABC中,已知 C90 ,如 AD是 BC边中线, AC,ADC60 ,求这个三角形的面积；解：（ 1）如下列图,ABC为 Rt , C90 ,在 Rt ACD中,cosCADCAD30 ；名师归纳总结 AD是A 的平分线, CAB2CAD60 ； AB 2AC,第 3 页,共 10 页又tg CAB, BC

6、AC tg CAB 3 tg60 9；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本（2）在 Rt ACD中, ctg CDA, CDAC ctg CDA tg60 3,AD是 BC边中线, BC2CD6,（平方单位）；说明：对于较复杂的问题, 题设条件中没有直接给出解直角三角形的二个已知元素（至少有一个是边） ,而是需要通过其他条件运用学过的有关几何、代数学问,先求出这个直角三角形的二个元素（至少有一个是边） ,然后再解这个直角三角形；解这类题目要仔细分析题意,细心观看图形；例 3、在 Rt ABC中, AB3O ,解这个直角三角形

7、；解：在 Rt ABC中,解此方程组,得：,又；说明：这个题目没有直接给出一个已知元素（除直角外）,所以先要设法求出直角三角形的二个元素； 由已知 AB3O ,和隐含条件 AB9O , 求得A、B,再由,联立求得,最终求出；例 4、在 Rt ABC中,C9O ,解这个三角形；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解法一：,解关于的二元一次方程组：,得,查表得锐角 A26 34 ,B9O 26 34 63 26 ；解法二：,查表得锐角 A26 34 ,B9O 26 34 63 26 ；,；说

8、明：这两种解求法得的值相差不多,但它们谁更接近精确数呢？应当说解法一中的值更为精确,这是由于解法一中的求 都是用的题设条件的原始数据；而解二中求,用的是查表求得的 A,然后再经查表求 sinA ,产生了累计误差,因此挑选关系式时仍要留意防止不必要的误差,挑选关系式通常遵循二条挑选原就：一是应当尽量选可以直接应用原始数据的关系式；二是应当设法挑选便于计算和查表的关系式；解直角三角形应用举例一、学问点（一）目标点1、把握把实际问题转化为数学问题并用解直角三角形的学问去解决的方法；2、明白仰角、俯角、坡角、坡度等概念,并懂得它们的意义；（二）要点名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共

9、 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本有关的概念：仰角和俯角： 如图,它们都是在同一铅垂面内视线和水平线间的夹角,其中视线在水平线上的叫仰角； 视线在水平线下方的叫俯角；角；坡度和坡角：如图 叫做仰角, 叫做俯如图,坡面的铅直高度h 与水平宽度 l 的比叫做坡度；通常用i 表示,即；坡角是坡面与水平面的夹角, 通常用字母 表示,坡度与坡角的关系是： i tg ,坡度越大,就坡角越大,坡面就越陡；2、应用解直角三角形的学问解决实际问题,应留意以下几个环节：（1）分析题 意,先依据已知条件画出它的平面或截面示意图；（2）假如图形不是直角三角 形,

10、可添加适当的帮助线把它们分割成一些直角三角形和矩形,把实际问题转化 为解直角三角形；（ 3）把可解的直角三角形纳入基本类型,确定合适的边角关 系；细心推理运算；（ 4）依据题目中已知数据的精确度进行近似运算,逐步写 出解答并注明单位；（三）重难点重点： 1、用解直角三角形的方法解简洁的测量问题；2、把解等腰三角形的问题转化为解直角三角形的问题；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本难点： 1、将测量距离的实际问题转化为解直角三角形的问题；2、选用恰当的方法运算本课题中例题所要求的长度；二、

11、考点（一）命题方向分析1、考查应用解直角三角形的学问去解决某些简洁的实际问题是本章的重点和难点之一,在重视理论联系实际的今日,这类题在中考中常以中档题的面孔显现；目的是：（ 1）明白某些实际问题中的仰角、俯角、坡度等概念；（2）会将实际问题转化为数学问题；（3）会通过引适当的帮助线使之转化为解直角三角形的 运算问题而达到解决实际问题； 2 、考查实习作业中的测量倾斜角和测量底部可以到达的物体高度的问题； 由于学问本身的限制, 所以不能考全过程, 而常以填空题形式考测量工具和测量步骤及公式,而以填写实习报告的形式考运算；近年来,由于实习作业不仅能达到理论联系实际的目的,仍能培育同学三大数学能力,

12、因此,又成为中考内容的热点；教者应留意要带领同学实际操作,通过制作 工具和测量, 不仅巩固同学所学学问, 也提高同学分析和解决简洁的实际问题能 力、动手操作才能和用数学语言表达实习过程与实习结果的才能,从而增强同学 用数学的意识；（二）热点考题举例例 1、如图,已知ABC中, A30 , BC60 , BC2,求 AC；解：在 ABC中, ABC180 , A30 , BC150 ,又BC60 ,解方程组,得 B105 , C45 ；过 B 作 BDAC于 D,就 DBC45 ,在 Rt BDC中,BDDCBC sin45 ；在 Rt ADB中,ADBD ctg30 名师归纳总结 ,ACADD

13、C；第 7 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本说明：尽管原ABC不是直角三角形；但通过作高线,即可把原三 角形变成两个直角三角形；由已知条件可将 Rt BDC变成可解Rt ,求出 BD和 DC,从而另一 Rt BDA也可解,因而问题得以解决；例 2、如图,在等腰三角形ABC中,底边 BC为 5, 是底角且 tg ,求 AC；解：作 ADBC于 D,在 Rt ADB中, tg 5,BD, 又BC；, 5k, 得 kACAB；,设 AD2k,BD5k,就 AB说明：作等腰三角形 ABC底边上的高 AD,就构造出

14、直角三角形； 由于只有在 Rt中,才有 三角函数为各边之比 , 所以 tg 正确；应是在 Rt ADB中,tg名师归纳总结 , 然后再用设 k 方法,求出腰长 AC；第 8 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本例 3、一艘船以 32.2 海里小时的速度向正北航行,在 A处观察了灯塔 S在船的北偏东 20 ,半小时后,航行到 B处,在 B处看灯塔在船的北偏东 65 ,求灯塔 S 和 B处的距离；（精确到 0.1 海里）解：依题意作简图 , 如图,作 BEAD于 E；AB32.2 16.1（海里）,A 在 Rt

15、AEB中,sin20 , BEAB sin20 5.5062 （海里）；在Rt BES中, BSA65 20 45 , sin45 ,BS7.8 （海里）；答：灯塔 S 和 B 处的距离约为 7.8 海里；说明：画简图时,先应确定正北方向,然后按已知条件确定各角；由于ABS是斜三角形,所以需适当添加帮助线,构造可解直角三角形；此题中的帮助线 BE是联系 Rt AEB和 Rt BES的桥梁,为了得到可解Rt BES,需先求出 BE的长；例 4、如图,一水坝横断面为等腰梯形 ABCD,斜边 AB的坡度为 1,坡面 AB的水平宽度为 3 米,上底 AD宽为 4 米,求坡角 B,坝高 AE和坝底 BC的宽（精确到 0.1 米）；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 立身以立学为先,立学以读书为本解：,坡面 AB的水平宽度为 3米,即 BE3米, AE3（米）； BC 2BEAD6414.4 （米）；答：坡角 B为 30 ,坝高 AE为 3 米,坝底宽约为 14.4 米；名师归纳总结 说明：应用问题尽管题型千变万化, 但关键是设法化归为解直角三角形来解；� 第 10 页,共 10 页- - - - - - -