2022年解圆锥曲线知识点习题教师版.docx
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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解圆锥曲线问题常用方法y例 1、1抛物线 C:y2=4x 上一点 P 到点 A3,42 与到准线的距离和最小,就点 P 的坐标为 _ 2 抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B4,1与到焦点F 的距离和最小 ,就点 Q 的坐标为;分析:(1) A 在抛物线外,如图,连PF,就PHPF,因而易发觉,当A、P、F 三点共线时,距离和最小;( 2)B 在抛物线内,如图,作QRl 交于 R,就当 B、Q、R 三点共线时,距离和最小;HPA QB解:(1)(2,2 )F连 PF,当A、P、 F 三点共线时,A
2、PPHAPPF最小,此时AF 的方程为4210x1即 y=22 x-1, 代入 y2=4x 得 P2,22 ,(注:另一交点为1,2,它为直线AF 与抛物线32的另一交点,舍去)( 2)(11,)过 Q 作 QR l 交于 R,当 B、Q、R 三点共线时,BQQFBQQR最小,此时Q 点的纵坐标4为 1,代入 y2=4x 得 x=1 , Q 411, 4点评:这是利用定义将“ 点点距离” 与“ 点线距离” 相互转化的一个典型例题,请认真体会;2 2例 2、F 是椭圆 x y 1 的右焦点, A1,1 为椭圆内肯定点,P 为椭圆 上一动点;4 3y( 1)PA PF 的最小值为 A P HF 0
3、 F x( 2)PA 2 PF 的最小值为分析: PF 为椭圆的一个焦半径,常需将另一焦半径 P F 或准线作出来考虑问题;解:(1)4-5 设另一焦点为 F ,就 F -1,0连 A F ,P FPA PF PA 2 a P F 2 a P F PA 2 a A F 4 5 当 P 是 F A 的延长线与椭圆的交点时 , PA PF 取得最小值为 4-5 ;( 2)作出右准线 l,作 PHl 交于 H,因 a 2=4,b 2=3,c 2=1, a=2, c=1, e= 1 ,2PF 1 PH , 即 2 PF PHPA 2 PF PA PH22当 A、P、H 三点共线时,其和最小,最小值为
4、ax A 4 1 3c y例 3、动圆 M 与圆 C 1:x+1 2+y 2=36 内切 ,与圆 C2:x-1 2+y 2=4 外切 ,求圆心 M 的轨迹方程;CM分析: 作图时, 要留意相切时的 “ 图形特点”:两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、DA 0 B 5 xM 、C 共线, B、 D、 M 共线);列式的主要途径是动圆的“ 半径等于半径”(如图中的名师归纳总结 第 1 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思MCMD);,ACMAMBDB即6MAMB2MAMB8(* )解:如图,MCMD点
5、 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为x2y211615点 评 : 得 到 方 程 ( * ) 后 , 应 直 接 利 用 椭 圆 的 定 义 写 出 方 程 , 而 无 需 再 用 距 离 公 式 列 式 求 解 , 即 列 出x12y2x12y24,再移项,平方, 相当于将椭圆标准方程推导了一遍,较繁琐!例 4、 ABC 中, B-5,0,C5,0, 且 sinC-sinB=3sinA,求点 A 的轨迹方程;5分析:由于sinA、sinB、 sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以2R(R 为外接圆半径) ,可转化为边长的关系;解: sinC-sinB=3sin
6、A 2RsinC-2RsinB=3 2RsinA 55ABAC3BC即ABAC6(* )点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点)5 2a=6, 2c=10 a=3, c=5, b=4 所求轨迹方程为x2y21(x3)916点评:要留意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明白轨迹(双曲线右支)例 5、定长为 3 的线段 AB 的两个端点在 y=x 2 上移动, AB 中点为 M ,求点 M 到 x 轴的最短距离;分析:(1)可直接利用抛物线设点,如设 Ax 1,x1 2,Bx 2, X 2 2,又设 AB 中点为 Mx 0y0用弦长公式及中点公式得出 y0关于 x0 的函数表达式,再用函
7、数思想求出最短距离;( 2)M 到 x 轴的距离是一种“ 点线距离”,可先考虑M 到准线的距离,想到用定义法;2-2y011解法一:设Ax 1,x1 2,Bx2,x22,AB 中点 Mx 0,y0 就x 1x222 x 12 x 229x 1x 22x02 x 1x2 22y 0由得 x1-x 2 21+x 1+x22=9 即x 1+x22-4x1x21+x 1+x22=9 由、得2x1x2=2x 0 2-2y0=4x0代入得2x02-8x0 2-4y01+2x 02=94y042 x 019x2,4y04x2924x21 9404x042 x 000291,5y05当 4x0 2+1=3 即
8、x02时,y0min5此时M2,542424第 2 页,共 10 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思法二:如图,2 MM 2 AA 2 BB 2 AF BF AB 3 yM BAMM 2 3, 即 MM 1 1 3,A1 0 M1 B1 x2 4 2A2 M2 B2MM 1 5, 当 AB 经过焦点 F 时取得最小值;M 到 x 轴的最短距离为 54 42 2例 6、已知椭圆 x y 1 2 m 5 过其左焦点且斜率为 1 的直线与椭圆及准线从左到右依次变于 A、B、m m 1C、 D、设 fm=
9、AB CD ,( 1)求 fm, (2)求 fm 的最值;分析:此题初看很复杂,对 fm 的结构不知如何运算,因 A、B 来源于“ 不同系统”,A 在准线上, B 在椭圆上,同样 C 在椭圆上, D 在准线上,可见直接求解较繁,将这些线段“ 投影” 到x 轴上,立刻可得防y Df m x B x A 2 x D x C 2 2 x B x A x D X C CF1 0 F2 xB2 x B x C x A x D 2 x B X C A2 2解 :( 1 ) 椭 圆 x y 1 中 , a 2=m , b 2=m-1 , c 2=1 , 左 焦 点 F1-1,0 就 BC:y=x+1, 代
10、入 椭 圆 方 程 即m m 1m-1x 2+my 2-mm-1=0 得m-1x 2+mx+1 2-m 2+m=0 2m-1x 2+2mx+2m-m 2=0 2 m设 Bx 1,y1,Cx 2,y2,就 x1+x2=- 2 m 5 2 m 1f m AB CD 2 x B x A x D x C 2 x 1 x 2 x A x C 2 x 1 x 2 2 2 m2 m 1( 2)f m 2 2 m 1 12 1 1 当 m=5 时,f m min 10 2当 m=2 时,f m max 4 22 m 1 2 m 1 9 3点评:此题因最终需求 x B x C,而 BC 斜率已知为 1,故可也用
11、“ 点差法” 设 BC 中点为 Mx 0,y0,通过将 B、 C坐 标 代 入 作 差 , 得 x 0 y 0k 0, 将 y0=x 0+1 , k=1 代 入 得 x 0 x 0 10, x 0 m, 可 见m m 1 m m 1 2 m 12 mx B x C2 m 1当然,解此题的关键在于对 f m AB CD 的熟悉,通过线段在 x 轴的“ 投影” 发觉 f m x B x C 是解名师归纳总结 第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思 此题的要点;【典型例题】例 1:已知 Pa,b 是直
12、线 x+2y-1=0 上任一点,求S=a22 b4a6 b13的最小值;分析:由此根式结构联想到距离公式,解: S=a22b3 2设 Q-2,3,就 S=|PQ|, 它的最小值即Q到此直线的距离t 消元后,它是一个一元二次函Smin|2231|3555点评:此题也可用代入消元的方法转化为二次函数的最小值问题(注:可令根式内为数)例 2:已知点Px,y 是圆 x 2+y 2-6x-4y+12=0上一动点,求y 的最值;xy 取得最值,设最值为 xk,就切解:设 O(0,0),就y 表示直线 OP的斜率,由图可知,当直线 xOP与圆相切时,线: y=kx, 即 kx-y=0 圆x-32+y-22=
13、1, 由圆心( 3,2)到直线kx-y=0 的距离为 1 得|3 k22|1 , M与点 Pk1k343ymin343,ymax343xx例 3:直线 l :ax+y+2=0 平分双曲线x2y21的斜率为1 的弦,求 a 的取值范畴 . 169分析: 由题意,直线l 恒过定点P0,-2,平分弦即过弦中点,可先求出弦中点的轨迹,再求轨迹上的点的连线的斜率即-a 的范畴;解:设 Ax1,y1,Bx2,y 2 是双曲线上的点,且AB的斜率为 1,AB的中点为Mx0,y0 就:2 x 12 y 111692 x 2y2 21169- 得x2116x22y2 19y22,0即x0y010169即 MX0
14、,y 0 在直线 9x-16y=0 上;由 9x-16y=0 1得 C16,9,D16,9第 4 页,共 10 页7777x2y2169名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思点 M的轨迹方程为9x-16y=0x1677 27时, l 过斜率为 1 的弦 AB的中点 M,而 k=-a 7kPD=29927,kPD2992777016160161677由图知,当动直线l 的斜率 k927,99,916161616a 的取值范畴为:927,99,27916161616点评:此题是利用代数运算与几何特点相结合的方
15、法而解得的,由图得知, 弦 AB中点轨迹并不是一条直线 (9x-16y=0),而是这条直线上的两条射线(无故点) ;再利用图形中的特别点(射线的端点C、D)的属性(斜率)说明所求变量a 的取值范畴;例 4:过 y2=x 上一点 A(4, 2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于 B、C两点;求证:直线BC的斜率是定值;分析:(1)点 A 为定点,点 B、C为动点,因直线 AB、AC的倾斜角互补,所以 kAB与 k AC相反,故可用“k 参数” 法,设 AB的斜率为 k,写出直线 AB的方程,将 AB的方程与抛物线方程联立,因 A 为已知交点,就方程有一根已知故用韦达定理简单解出点 B 坐
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