2022年高三数学知识点精析精练函数方程不等式.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2022 高三数学学问点精析精练29：函数、方程、不等式函数是高中数学的重要内容,也是历年高考所占比例最大的的一部分内容；对函数内容 的考查一般都高于大纲的要求,高考试题中对函数内容的考查主要集中在函数的概念、性质,函数图象的变换等方面,并留意与方程、不等式、数列等内容相联系,进行综合考查,在考 查中突出函数的思想、数形结合的思想；特殊需留意的是在复习中必需加强对二次函数的再 学习,再熟识,从新的角度争论二次函数,加深对二次函数的懂得和把握；方程可看作函数值为零时的函数的解析式,而不等式就是函数的图象位于x 轴上方的情形； 在解决方程

2、、 不等式的有关问题时,可以从函数的角度去摸索、分析和解决；在解决函数的有关问题时,可以 借助方程、不等式的有关学问去懂得和解决；这是解决这类问题的一个重要的策略；一、对函数、方程、不等式的基本问题要娴熟把握 象函数有关的概念、基本性质、函数的图象及解不等式等问题都是基本问题,在高考试 题中一般都是中、低档题目,所以必需提高解决这类问题的精确性和娴熟性；【例 1】 （99 年全国）已知映射f:AB,其中集合 A=3, 2, 1,1,2,3, 4,集合 B 中的元素都是A 中元素在映射f 下的象,且对任意的aA,在 B 中和它对应的元素是 | a| ,就集合 B 中元素的个数是（）A.4 B.5

3、 C.6 D.7 分析：解决此题的关键有两个,一是要熟识映射的定义,二是精确懂得题意；依据映射的定义,可知对于集合A 中的每一个元素,在集合B 中都有唯独的元素和它对应；而依据题意,集合 B 是集合 A 的象集,由对应法就,不难得出集合B=1,2,3, 4,故应选 A；【例 2】 （99 年全国）如函数y=fx的反函数是y=gx,fa=b,ab 0,就 gb等于A.aB.a1 C.b 1 D.b分析：此题主要考查反函数的概念；gb是函数 y=fx当函数值为b 时的自变量的值,所以 gb= a,应选 A；【例 3】 2001 年全国春季 设函数 fx=xa a bb0,求 fx的单调区间,并证x

4、明 fx在其单调区间上的单调性；分析：解决有关概念问题,一般都可以从它的定义开头；这个函数的单调区间既可以利用图象来求,也可以利用定义域结合特殊值的方法来求；证明也有两种方法,一是利用单调性的定义,二是利用函数的导数证明；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全解法 1：函数 fx=xa a bb0的定义域为 （, b）b,+；函数 fx在（x, b）上是减函数,在 b,+上也是减函数；取 x1,x2b,+,且 x10,x2x10,x1+bx2+b0. fx1fx20,即 fx在b,+上是减函数；同理可证 fx

5、在（, b）上也是减函数；解法 2：f/x=xb xa ba2,明显,当 x b 时, f/x0 恒成立,试求 a 的取值范畴；分析：此题考查求函数的最值的方法,以及等价变换和函数思想的运用；当 a=1 时,2fx= x 1 2 2 x 1 2 2 2,2 x 2 x当且仅当 x 1, 即 x 2时等号成立,2 x 2而 21,也就是说这个最小值是取不到的；2解： 1当 a=1 时, fx= x 12,这时 f /x=112 ,当 x 1, 时, f /x0,说明函2 2 x 2x数 fx为增函数,所以当 x=1 时,取到最小值 f1=3.5. 2解法 1：fx0 恒成立,就是 x 2+2x+

6、a0 恒成立,而函数 gx=x 2+2x+a 在 1, 上增函数,所以当 x=1 时, gx取到最小值 3+a,故 3+a0,得： a3；解法 2：fx0 恒成立,就是 x 2+2x+a0 恒成立,即 a x 2 2x 恒成立,这只要a 大于函数 x 22x 的最大值即可；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全而函数 x22x 在 1,上为减函数,当 x=1 时,函数 x 22x 取到最大值 3,所以 a3；函数、方程不等式之间有着亲密的联系,在解题时要重视这种联系,要善于从函数的高 度懂得方程和不等式的问题

7、,也要善于利用方程和不等式的学问解决函数的问题；二、对函数、方程、不等式之间的联系要能敏捷运用【例 5】 （97 年全国）不等式组x0|的解集是3x|2xAx|0 x2 Bx|0 x2.5 3x2x6 Dx|0 x3 Cx|0 x2 时,有 f（x）0,于是有 a0,故 b0. 三、对二次函数的懂得和把握要更加深刻 二次函数的解析式有三种形式：2+bx+c （1）一般式： y=ax（2）顶点式： y=axm2+n,其中 m,n是抛物线的顶点；（3）两根式： y=axx1xx2,其中 x1、x2 是方程 ax 2+bx+c=0 的两根；【例 7】 已知二次函数 y= ax 2+bx+c；（1）对

8、于 x1,x2R,且 x1 x2,fx1 fx2,求证：方程 fx= 1 2 fx1+fx2有两个不相等的实根,且只有一个根属于 x1,x2；（2）如方程 fx= 1 2 fx1+fx2在x1,x2内的根为设 x=x0是 fx的对称轴方程,求证：x00x1x2. 设 gx= fx1 2fx1+fx2,就由于 gx1gx2= fx11 2fx1+fx2 fx21 2fx1+fx2 fx1 fx220fx1fx2,所以在 x1,x2上必有一个实根；4（2）由于 x1,m1 2,x2成等差数列,所以x1+x2=2m1. 由 2fm= fx1+fx2,得： a2m2x12x2 2+b2mx1x2=0,

9、将上式代入,得：b=a2m2x12x22,所以 x0=b2 2 m2 x 12 x 22 m2 x 122 x 22 m. 2 a2【例 8】 已知函数f x 3 x23x42 b9 b0在区间 b,1 b上的最大值为4求 b 的值 . 解: 由已知二次函数配方 , 得 f x 3 x 1 24 b 23.2（1）当 b 11 b , 即 1b 3 时,f x 的最大值为 4b 2+3=25. 2 2 2b 2 25 与 1 b 3 冲突4 2 2（2）当 1b ,即 0 b 1时,f x 在 b ,1 b 上递增,2 23 2f b b 25;2（3）当 1 1 b 时,即 b 3时,f x

10、 在 b ,1 b 上递增,2 2f 1 b b 296 1525, 解得 b 5 . 4 2四、留意数学思想的运用名师归纳总结 在解题思维的过程中, 既重视通性通法的演练, 又留意特殊技巧的作用, 同时将函数与方第 4 页,共 12 页程, 数形结合 , 分类与争论 , 等价与化归等数学思想方法贯穿于整个的解题训练过程当中. 【例 9】 设 函 数f x ax24 , x g x 4x1, 已 知x 4,0, 时 恒 有3f x g x ,求 a 的取值范畴 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全解: 由f x g x 得x24x4x1a

11、,令C:y2 x4 ,L:y4x1a , , 当中 , 渗透, 这或许是解题33从而只要求直线L 不在半圆 C下方时 , 直线 L 的 y 截距的最小值 . 当直线与半圆相切时,易求得a5a5舍去） . 3故a5, g x . 注：本例的求解的关键在于构造新的函数, 进而通过解几模型进行推懂得题着数形结合的数学思想方法, 显示明白题思维转换的敏捷性和流畅性. 仍须指出的是 : 数形结合未必肯定要画出图形, 但图形早已在你的心中了才能的提升 , 仍请三思而后行. 1 的正整数n 恒【例 10】 已知不等式n11n1211log aa12对于大于2n123成立,试确定a 的取值范畴 . 解: 构造

12、函数f n n11n121,易证f n 为增函数 . 2nn 是大于 1 的 正整数,名师归纳总结 f n f27.第 5 页,共 12 页12要使n11n1211log aa12对一切大于1 的正整数恒成立,2n123必需1 12log aa127, 312即log aa11,解得1a125.【例 11】 已知f x xx1x1.1求f x 的单调区间；（2）证明茶房任意xy0,有f xyf x f y .（3）如ab0,c a1；求证：f a f c 3b b4解: （1）对已知函数进行降次分项变形,得f x 1x11, fx 在区间,1 和,1上分别单调递增.- - - - - - -精

13、选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全（2）f x f xx1yy1xyxyxyxyxxyy1f xyxyxyxy1xy名师归纳总结 而xyxyxy,由1 知fxyxyf xy,在高考第 6 页,共 12 页fx fy fxy（3）ca1a1b240,b bba22acaa43.22a2f a f c f ac f33. 4注：函数与不等式证明的综合题在高考中常考常新,是既考学问又考才能的好题型备考中有较高的训练价值. 【例 12】 已知函数 fx=axaxa（a, a1 证明函数 fx的图象关于点P1 1 ,2 22 令 anfa f n ,对一切自然数n,先猜想使an成

14、立的最小自然数a,1n3 求证：1 n n41lg 3lgn .n . 解： 1关于函数的图象关于定点P 对称 , 可采纳解几中的坐标证法. 设 M x,y是 fx图象上任一点,就M 关于 P 1 1 ,2 2的对称点为M （ x, ya1xaaa1xaaaaxaax1y1axaxaaxaaf1x1y1 x,1y亦在 fx的图象上,故函数 fx的图象关于点P 1 1 2 2对称 .2将 fn、 f1n的表达式代入an的表达式,化简可得ann a 猜 a=3, 即3nn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全设 n=kk 时,3kk2那么 n=k+

15、1,3k13 3k13 k230又3 k2k122k223nn23k 3k2lg3 lg令 k=1,2, , n,得 n 个同向不等式,并相加得：n n1 lg 32lg12n,2故n n 41lg 3lg .函数与数列综合型问题在高考中频频显现,是历年高考试题中的一个重点名师归纳总结 【例 13】 已知二次函数f x ax2bx1 , a bR a0,设方程f x x 的两个实根为第 7 页,共 12 页x1和 x2.；（1）假如x 12x 24,如函数f x 的对称轴为x=x0,求证： x0 1；（2）假如|x 1| 2,|x2x 1| 2,求 b 的取值范畴 . 解:（1）设g x f

16、x xax2b1x1 且a0,由x 12x 24得g20,且 g40, 即4a2b10034ab12 .由34 a12 ,得a1,16 a4 b34242823b11,8a2a4 a故x0b1411；2a18（2）由x 1x210知x 1,x 同号 . a如0x 12,就x 2x 12,x2x 122,g24 a2 b10. 又|x 2x 1|2 ba2 144 得2 a1 b2 11a0,负根舍去）代入上式得2a2 b2 1132 b ,解得b1；4如2x 10,就x 22x 1,2g2 ,0即 4a2b+30. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学

17、问点大全同理可求得b7 . 4. 故当 0 x 1 2,b 1 , 当 2 x 1 0 时,b 7 .4 4【例 14】 对于函数 f x ,如存在 x 0 R , 使 f x 0 x 0 成立,就称 0x 为 f x 的不动2点；假如函数 f x x a , b c N 有且只有两个不动点 0,2,且 f 2 1,bx c 2（1）求函数 f x 的解析式；（2）已知各项不为零的数列 a n 满意 4 S n f 1 1,求数列通项 a ；a n（3）假如数列 a 满意 a 1 4, a n 1 f a n,求证：当 n 2 时,恒有 a n 3 成立 . 2解:依题意有 x a x ,化简

18、为 1 b x 2cx a 0, 由韦达定理 , 得bx c2 0 c , a 01 b,解得 c ,2 0 a , b 121 b2代入表达式 f x x,由 f 2 2 1 ,1 c x c 1 c 22得 c 3, 又 c N b N , 如 c 0, b 1, 就 f x x x 0 不止有两个不动点,2c 2 , b 2 , 故 f x x , x 1 .2 x 1 1 2（2）由题设得 4 S n a n 1 得 : 2 S n a n a n 2,（*）2 1 1a n且 a n 1, 以 n 1 代 得 : 2 S n 1 a n 1 a n 21（* ）由（ * ）与（ *

19、）两式相减得：名师归纳总结 解 得2ananan1a22 a n1,即a nan1a nan110,1,这 与a n1矛 盾 ,第 8 页,共 12 页nanan1或anan1,1以n1 代入*得:2a1a 1a2 1,a 10（ 舍 去 ） 或a 11, 由a 11, 如a na n1 得a 2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全a na n11,即a n是以 1 为首项, 1 为公差的等差数列,a nn ；（3）采纳反证法,假设a n3 n2,就由（ 1）知a n1f a nn2 a n22 a nan12an111a1111131, 即a

20、n1a n2,nN,有ana n2n224a na n1a ,而当n2时,a 22 a 12168 33;a n3,这与假设冲突,2 a 182故假设不成立,a n3. 证法 2：由a n1f a n得a n12 a n2,11f211 2211得a n1t ； , 第 10 页,共 12 页（ 3）试求满意ft=t 的整数 t 的个数,并说明理由. 解 （1）为求 f1的值,需令xy0,得f01.令xy1,f 22,f 12. 令x1,y1,f0f1f 1, 即f11. （ 2）令x1,f y1f y y2 即f y1f y y2当yN 时,有fy1 fy0. 0, f y1f y ,f11

21、可知,对一切正整数y 都有f y 当yN 时,fy1 fyy2fy 1y1y1于是对于一切大于1 的正整数 t,恒有 ftt. （ 3）由 及（ 1）可知f 31, 41. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全下面证明当整数t4时,f t t即tf4,f t220, 由 得f t f t1t20, 5 40,同理f 6f 50, ,ft1 ft20,ftft1 0 .将诸不等式相加得ftf414 ,t4,ftt. f 121且满意 x、y（ 1,1）综上,满意条件的整数只有t=1,2. 【例 17】 已知函数 f（x）在（ 1,1）上有定义,有

22、fx fy f x1yxy（1）证明： f（x）在（ 1,1）上为奇函数；名师归纳总结 （2）对数列x 11, 2x n12x n2,求fx n；第 11 页,共 12 页1xn（3）求证11212 n5 . 2f x 1f xf x nn解（1）令xy0,就 2f0f0,f00令yx 就f x fx f00,fxf x 为奇函数 . （ 2）f x 1f11,2f xn1f2x n2f1x nx nx nnf xnf x n2f xn,1xxnf x n12. 即 f x n是以 1 为首项, 2 为公比的等比数列f x nf xn2n1 .（3）112111111f x 1f xf x n22 2n 21121122112,n 2112nn2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全而2n52n122n122,n21112 n5. 2f x 1f x 2f x nn本例将函数、方程、数列、不等式等代数学问集于一题,是考查分析问题和解决问题能名师归纳总结 力的范例 . 在求解当中,化归出等比（等差）数列是数列问题常用的解题方法. 第 12 页,共 12 页- - - - - - -