2022年高中数学-必修四-三角函数最值与值域常考题型总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 三角函数最值与值域专题三角函数的最值问题是高考的一个重要内容, 要求把握求三角函数最值的常见方法；类型一 ：利用 sin x 1 , cos x 1 这一有界性求最值；例 1：求函数 y sin x 1的值域；2 sin x解：由 y sin x 1变 形 为 y 1sin x 2 y 1,知 y 1,就 有 sin x 2 y 1,2 sin x y 12 y 1 2 y 1 2 2 2 2| sin x | | | 1 | | 1 2 y 1 y 1 y 0,就此函数的值域是y 1 y 1 32y , 03例 2,假设函数 y a cos

2、x b 的最大值是 1,最小值是 7 ,求 a,b a 0, a b 1, a b 7 a 4,b 3a 0, a b 1, a b 7 a 4, b 3练习： 1,求函数 y 1 cos x 的值域（,3 1,+）3 cos x12,函数 y sin x 的定义域为 a,b,值域为 ,1 ,就 b-a 的最大值和最小值之和为 b 2A 4 B 2 C8 D 43 3类型二：y a sin x b cos x 型；此类型通常可以可化为 y a sin x b cos x a 2b x 2 求其最值或值域 ；例 1：求函数 y 3sin x 4cos x x 0, 的最值；23 4y 3sin

3、x 4cos x 5sin x ,cos ,sin解：5 5x , , y 3,522,求函数 y sin x sin x x R的最值；6 3解法 : y sin x cos x 2 sin x 2 sin x ,函数的最大值为 2 ,最小值6 6 6 4 12为 2 ；练习： 1,函数 y=3sinx+20 +5sinx+80 的最大值是： c A 、5 12 B、6 12 C、7 D、 8 2, 已知函数 f x sin 2 x,g x cos 2 x ,直线 x tt,0与函数 f x 、g x 的图像分别交于 M 、N 两点,就 | MN| 的最6 2大值是 3类型三：y a sin

4、 2x b sin x c a 0 型；此类型可化为 y at 2bt c a 0 在区间 1,1 上的最值问题；例 1：求函数 y cos 2x 3 sin x 1x R的最值解：y 1 sin 2x 3 sin x 1 sin x 3 2 92 4函数的最大值为 9 ,最小值为 5 2 34 4例 2：求函数 y cos 2 x 3 a sin x 1a R,x R的最大值；解：y cos 2x 3 a sin x 1 转化为 y sin 2x 3 sin x 2 配方得：1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - y

5、 sin x 3 a 2 3 a 222 4当 3 a 1,即 a 2 3时,在 sinx= 1,y max 3 a 12 3当 3 a 1 时,即 a 2 3时,在 sinx=1,y max 3 a 12 3当 1 3 a 1,即 2 3 a 2 3时,在 sin x 3 a 时,y max 3a 222 3 3 2 43 a 1 a 2 3 33 2 2 3 2 3综上：y max a 2 a 4 3 32 33 a 1 a 3练习： 函数 f x sin 2 x 2 cos x 在区间 2, 上的最大值为 ,1 就 的值是 d 3A 0 BCD3 2 2类型四：y a sin 2x b

6、sin x cos x c a 0 型；例：求函数 f x 5 3 cos 2x 3 sin 2x 4 sin x cos x x 7 的最值,并求取得最值时 x 的值；4 24解：f x 5 3 1 cos 2 x 3 1 cos 2 x 2 sin 2 x2 22 3 cos 3 x 2 sin 2 x 3 34 cos 2 x 3 36x 7, 2 2 x 3,2 cos 2 x 14 24 3 6 4 2 6 2f x 的最小值为 3 3 2 2,此时 x 7,f x 无最大值；24练习：已知：y 12 sin 2x2 3 sin x cos x 1,x R,求 y 的最大值及此时 x

7、 的集合解：y 12 sin 2x2 3 sin x cos x 1 1 cos24 x4 3sin 2 x 1 12 sin2 x6 54,当 sin2 x6 1 时,1 5 7y max 2 4 4此时, 2 x6 2 k2,即 x k6所以 y 的最大值为 7,此时 x 的集合为 x x k,k Z 4 6类型五：f x a sin x b型；此类型最值问题可考虑如下几种解法：转化为 a sin x b cos x c 再利用辅c cos x d助角公式求其最值；采纳数形结合法转化为斜率问题求最值；例：求函数 y sin x 的值域；cos x 2解法 1：将函数 ycos sinx x

8、2 变形为 y cos x sin x 2 y ,sin x 1 2 yy 2 由2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - | sinx | 2 |212 212 y ,解得：3y3,故值域是3,3x y 0 ,33331y解法 2：数形结合法：求原函数的值域等价于求单位圆上的点Pcosx, sinxy与定点 Q2, 0所确定的直线的斜率的范畴；作出如图得图象, 当过 Q 点的直线与单位圆相切时得斜率便是函数ysinx2得最值,由几何学问,Pcosx易求得过 Q 的两切线得斜率分别为3、3；结合图形可知,此函数OQ33的

9、值域是f3,3 32 sin；2的最值；3练习：求函数cos3ysin1y/2 即为单位圆上的点cos , sin 与定点 3 ,1 连线的斜率,由数形结合可知y/2 0 ,3/4, 2 3/2 cos3类 型 六 ： 含 有sinxcos x 与sinxcos x的 最 值 问 题 ； 解 此 类 型 最 值 问 题 通 常 令tsin xcos x,t212sinxcosx,2t2,再进一步转化为二次函数在区间上的最值问题；例： 求函数ysinxcosxsinxcosx 的最大值并指出当x 为何值时,取得最大值；解法 1：设 t=sinx +cosx,就t2sinx4t2,2sinxcos

10、x12t1 2y1 t21t1 t1 21ymax12；222解法 2：ysinxcosxsinxcosx1sin2x2sinx4,x4x4,2y1sin22 y2 sin1cos22 sinsin22 sin1ymax1222 x22t221,sinx2cos2的最大、最小值练习： 1, 求函数解：原函数可化为：ysinxcosx2sinxcos 4,令 sinxcosxt| |2,就sinxcosxyt2212t41t22322Z时 ,t22,2, 且 函 数 在 2,2 上 为 减 函 数 , 当t2时 , 即x2 k4kymin92 2；当t2时,即x2 k3kZ时,ymax92 22

11、422,函数fx1sinxcosxx的值域是 dA21,1,121B21,21sinxcos22C2,121D21,1,1212222类型七 :yasinxbx0x型转化为对号函数函数最值问题；sin例： 求函数y21sinx2x的最大、最小值2sinxsiny 11sinx11sinx111x1 sinx 0 sinx2sin3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - y 0, 当 sinx=1 时 Ymin=0, 当 1 sinx0 时 ,1 sinx+1 2, ymax=1/2 . 1sinx已知4x3,就函数y2s

12、in6xx的最大值与最小值的和为53cos当 0x4时,函数f x2 cosxsin2x的最小值 4 cos sinx练习： 1,已知x0,求函数y13sin2的最大值；3sin2,当0x2时,函数f x 1 cos2 x2 8cosx的最小值为 4 2sin2sin2 x2f x 1cos 2x8cos2xx8cosxtanx4xsin 2x2sinxcosxtantanx0,f 4,类型八： 条件最值问题；例 1：已知3sin22sin22sin,求ysin2sin2的取值范畴；解： 3sin22sin22sin,sin23sin2sin20sin213sin2sin0解得02sin23s

13、in2sin1y321 21 2 ysin2sin21sin2sin1sin222 3时,0sinsin22sin =0 时,ymin0；sin4max930sin24；92,sinxcosy2,就cos siny 的取值3设cos sinytsinxcosycos sinysinxy 2t 1,13sinxcosycos sinysinxy2t 1,13t1 1 , 3 3练习： 1,已知 Sinx+Siny=1 ,求 Siny cos2x 的最大值 3492,已知sinxsiny2,因式 cosx+cosy 的最大值为2A 2 B0 C14 D1414 D 24 名师归纳总结 - - -

14、- - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - cosxcosyt,sinxsiny2m112sinxsin 2cosxcos 222cosxyt212t 2 3 2,2, t2类型九：其他问题14,1422例 1： 函数yxcosxsinx在2,3的最小值为2yxcosxsinxyxsinx0,x2,32x,x2, yx ,3,y2ymax2,求函数yx1x的最大值和最小值,并指出当x 分别为何值时取到最大值和最小值；解： 定义域为0x1,可设xcos2x且021x1cos2sin2,02ycos2sin2sincos2sin402,443,2sin41

15、即1y242当44或43,即 = 0 或2此时 x=1 或 x=0,y=1；4当2,即4时,此时x1,y2,2当 x= 0 或 x= 1 时, y 有最小值 1；当x1时, y 有最大值2 ；2练习： 1,求ysinxcos 2x ,x0,2的最大值；ysinxcos2x2sin3xsin , x x0,2设sinxt0,1,y2 t3t y6 t210t6,t0,6,y0;t6,1, y0666y max6 92 假设不等式tanxtanx1a,x2,2的解集非空,就参数a 的取值范畴为令 tanx = m,就 mR,原不等式化为amm1即 am1m1而易知m的最小值为a15 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页