2022年高中数学上学期知识点总结.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第一章 集合与函数概念课时一：集合有关概念1.集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体,人们能意识到这些东西,并且能判定一个给定的东西是否属于这个整体；2. 一般的讨论对象统称为元素,一些元素组成的总体叫集合,简称为集；3. 集合的中元素的三个特性：（ 1）元素的确定性：集合确定,就一元素是否属于这个集合是确定的：属于或不属于；例：世界上最高的山、中国古代四大美女、教室里面全部的人 （2）元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯独的,不行重复的；例：由 HAPPY 的字母组成的集合 H,A,P,Y （3）元素的无序性 :集

2、合中元素的位置是可以转变的,并且转变位置不影响集合例： a,b,c 和a,c,b 是表示同一个集合3.集合的表示 ： 如： 我校的篮球队员,太平洋 ,大西洋 ,印度洋 ,北冰洋 （1）用大写字母表示集合：A= 我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 （2）集合的表示方法：列举法与描述法；1）列举法：将集合中的元素一一列举出来 a,b,c 2）描述法：将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合；x R| x-32 ,x| x-32 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 Venn 图:画出一条封闭的曲线,曲线里面表示集合；4、集合的分类 ：（1）有限集：含有有限个元素的集合（2）无限集

3、：含有无限个元素的集合 例： x|x2=5（3）空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系：（1）元素在集合里,就元素属于集合,即：aA A （2）元素不在集合里,就元素不属于集合,即：a 留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N 正整数集 N* 或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 课时二、集合间的基本关系 1.“ 包含” 关系子集名师归纳总结 （1）定义：假如集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素,我们说这两个集合有包含关系,称集合A 是集合 B 的子集；记作：AB（或 B）第 1 页,共 13 页留意：AB有两种可能（ 1）A 是 B 的一部分,；- -

4、 - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（2）A 与 B 是同一集合；反之 : 集合 A 不包含于集合 B, 或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B A 2“ 相等” 关系：A=B 55,且 55,就 5=5 实例：设 A=x|x2-1=0 B=-1,1 “ 元素相同就两集合相等”即： 任何一个集合是它本身的子集；A A 真子集 :假如 A B,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 A B或 B A 或如集合 A B,存在 x B 且 x A,就称集合 A 是集合 B 的真子集；假如 A B, B C ,那么 A C

5、假如 A B 同时 B A 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为规定 : 空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集；有 n 个元素的集合,含有 2n个子集, 2n -1 个真子集, 2n -1 个非空子集, 2n -2 个非空真子集课时三、集合的运算运算类型交集并集补集定义由全部属于A 且属于 B 的元由全部属于集合A 或属于集全集：一般,如一个集合汉语我们所讨论素所组成的集合,叫做A,B合 B 的元素所组成的集合,问题中这几道的全部元素,我们就称这个的交集 记作 AB（读作 A叫做A,B 的并集 记作：集合为全集,记作：U 交 B,即 AB=x|xA,AB（读作 A

6、并 B）,即设 S 是一个集合, A 是 S 的一个子集,且 xBAB =x|xA,或 xB 由 S 中全部不属于A 的元素组成的集合,叫做 S 中子集 A 的补集 （或余集）记作名师归纳总结 韦恩图示ABB ABC SACSA=x |xS , 且 xA 第 2 页,共 13 页S A 性质图 1图 2AU =A C uAC uB= C uAUB A A=A AUA=A A =AUB=BUA C uA U C uB= C uAB A B=BA AUBAUC uA=U A BA A BAUBB AC uA= - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢

7、迎下载课时四：函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如依据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx和它对应,那么就称 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 记作：y=fx ,xA（ 1）其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴A 叫做函数的定义域；（2）与 x 的值相对应的y 值叫做函数值,函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域函数的三要素：定义域、值域、对应法就3、区间的概念：（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间（2）无穷区间（3）区间的数轴表示 4 函数的表示方法：（1）解析法：明确函数的定义

8、域（2）图想像：确定函数图像是否连线,函数的图像可以是连续的曲线、直线、折线、离散的点等等；（3）列表法：选取的自变量要有代表性,可以反应定义域的特点；5、函数图象学问归纳 1定义：在平面直角坐标系中,以函数 y=fx , x A中的 x 为横坐标,函数值 y 为纵坐标的点 Px,y的集合 y=fx ,反过来,以满 C,叫做函数 y=fx,x A的图象 C 上每一点的坐标 x,y均满意函数关系2 画法足 y=fx的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点 x, y,均在 C 上 . A、描点法：B、图象变换法：平移变换；伸缩变换；对称变换；（3）函数图像变换的特点：1）函数 y=fx 关于 X 轴

9、对称 y=-fx 2）函数 y=fx 关于 Y 轴对称 y=f-x 3）函数 y=fx 关于原点对称 y=-f-x 2映射一般地,设 A、B 是两个非空的集合,假如按某一个确定的对应法就 f,使对于集合 A 中的任意一个元素 x,在集合 B 中都有唯独确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f：A B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射；记作“ f（对应关系）： A（原象）B（象）”对于映射 f：AB 来说,就应满意：1集合 A 中的每一个元素,在集合B 中都有象,并且象是唯独的；2集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个；3不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有

10、原象；课时五：函数的解析表达式,及函数定义域的求法 1、函数解析式子的求法（1）、函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应 法就,二是要求出函数的定义域 . （ 2）、求函数的解析式的主要方法有：1）代入法：2）待定系数法：3）换元法：4拼凑法：2定义域 ：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域；求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 1 分式的分母不等于零；2 偶次方根的被开方数不小于零；3对数式的真数

11、必需大于零；4指数、对数式的底必需大于零且不等于1. .那么,它的定义域是使各部分都有意义的x 的值组成5假如函数是由一些基本函数通过四就运算结合而成的的集合 . 6指数为零底不行以等于零,7实际问题中的函数的定义域仍要保证明际问题有意义 . 3、相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量和函数值的字母无关）；定义域一样 两点必需同时具 备 课时六：1值域 : 先考虑其定义域（1）观看法：直接观看函数的图像或函数的解析式来求函数的值域；2配方法：针对二次函数的类型,依据二次函数图像的性质来确定函数的值域,留意定义域的范畴；3代换法（换元法）：作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数的类型；

12、4分别常数法 课时七 1.分段函数（1）在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数；（2）各部分的自变量的取值情形（3）分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集补充：复合函数假如 y=fuu M,u=gxx A,就 y=fgx=FxxA 称为 f、 g 的复合函数；（4）常用的分段函数 1）取整函数：2）符号函数：3）含肯定值的函数：留意：映射是针对自然界中的全部事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的；所以函数是映射,而映射不一 定的函数 课时八函数的单调性 局部性质 及最值 1、增减函数（1）设函数 y=fx 的定义域为 I,假如对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两

13、个自变量 x 1,x2,当 x1x 2 fx1fx 2,那么就说 fx 在区间 D 上是增函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调增区间 . 时,都有（2）假如对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1,x2,当 x 1x 2 时,都有 fx1fx 2,那么就说 fx在这个 区间上是减函数 .区间 D 称为 y=fx 的单调减区间 . 留意：函数的单调性是函数的局部性质；函数的单调性仍有单调不增,和单调不减两种 2、 图象的特点 假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=fx在这一区间上具有 严格的 单调性, 在单调区 间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到

14、右是下降的 . 3、函数单调区间与单调性的判定方法 A 定义法：1 任取 x1,x 2D,且 x 1x 2；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 作差 fx 1fx2；3 变形（通常是因式分解和配方）；4 定号（即判定差 fx 1fx2的正负）；5 下结论（指出函数 fx 在给定的区间 D 上的单调性）B图象法 从图象上看升降 C 复合函数的单调性复合函数 fgx的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu的单调性亲密相关,其规律：“ 同增异减”留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调

15、性相同的区间和在一起写成其并集. 课时九：函数的奇偶性（整体性质）（1）、偶函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 fx=fx ,那么 fx 就叫做偶函数（2）、奇函数一般地,对于函数fx 的定义域内的任意一个x,都有 fx= fx ,那么 fx 就叫做奇函数（3）、具有奇偶性的函数的图象的特点 偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称利用定义判定函数奇偶性的步骤：1 第一确定函数的定义域,并判定其是否关于原点对称；如是不对称,就是非奇非偶的函数；如对称,就进行下面判定；2 确定 f x与 fx 的关系；3 作出相应结论：如 fx = fx 或 fxfx = 0

16、,就 fx 是偶函数；如 fx = fx 或 fxfx = 0 ,就 fx 是奇函数（4）利用奇偶函数的四就运算以及复合函数的奇偶性 1）在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数；奇函数的加减仍为奇函数；奇数个奇函数的乘除认为奇函数；偶数个奇函数的乘除为偶函数；一奇一偶的乘积是奇函数；2）复合函数的奇偶性：一个为偶就为偶,两个为奇才为奇；留意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件第一看函数的定义域是否关于原点对称,如不对称就函数是非奇非偶函数; .如对称,1再依据定义判定2由 f-xfx=0 或 fxf-x=1 来判定 ; 3利用定理,或借助函数的图象判定 . 课时十、函数最值及

17、性质的应用 1、函数的最值1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值2 利用图象求函数的最大（小）值名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3 利用函数单调性的判定函数的最大（小）值：假如函数 y=fx 在区间 a,b 上单调递增,在区间b,c上单调递减就函数y=fx 在 x=b 处有最大值fb ；假如函数 y=fx 在区间 a,b 上单调递减,在区间b,c上单调递增就函数y=fx 在 x=b 处有最小值fb ；2、函数的奇偶性与单调性奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原

18、点对称的区间上有相反的单调性；3、判定模糊单调性时也可以用作商法,过程与作差法类似,区分在于作差法是与0 作比较,作商法是与1 作比较；4、肯定值函数求最值,先分段,再通过各段的单调性,或图像求最值；5、在判定函数的奇偶性时候,如已知是奇函数可以直接用f0=0 ,但是 f0=0 并不肯定可以判定函数为奇函数；（高一阶段可以利用奇函数f0=0 ）；指数、对数、幂函数学问归纳学问要点梳理学问点一：指数及指数幂的运算1. 根式的概念的 次方根的定义：一般地,假如,那么 叫做 的 次方根,其中当 为奇数时 ,正数的 次方根为正数,负数的 次方根是负数,表示为；当 为偶数时 ,正数的 次方根有两个,这两

19、个数互为相反数可以表示为 . 负数没有偶次方根,0 的任何次方根都是 0. 式子 叫做根式,叫做根指数,叫做被开方数 . 2.n 次方根的性质：1 当为奇数时,；当为偶数时, 23. 分数指数幂的意义：；留意： 0 的正分数指数幂等与0,负分数指数幂没有意义. 4. 有理数指数幂的运算性质：1 2 3学问点二：指数函数及其性质名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 指数函数概念 ：一般地,函数学习必备欢迎下载是自变量,函数的定义域为. 叫做指数函数,其中2. 指数函数函数性质：函数函数指数函数叫做指数函数名称定义且

20、图象定义域值域过定点在图象过定点,即当时,. 奇偶性上是增函数非奇非偶在上是减函数单调性函数值的变化情形变化对图象的影在第一象限内,从逆时针方向看图象,逐步增大；在其次象限内,从逆时针方向响看图象,逐步减小 . 学问点三：对数与对数运算1. 对数的定义1 如,就叫做以为底的对数,记作,即,叫做底数,叫做真数 . 2 负数和零没有对数. 3对数式与指数式的互化：其中. 2. 几个重要的对数恒等式：,. . 3. 常用对数与自然对数：常用对数：,即；自然对数：4. 对数的运算性质名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 假如,

21、那么学习必备欢迎下载加法：减法：数乘： 换底公式：学问点四：对数函数及其性质1. 对数函数定义一般地,函数叫做对数函数,其中是自变量,函数的定义域. 2. 对数函数性质：函数函数对数函数叫做对数函数名称定义且图象定义域值域过定点在图象过定点,即当时,. 奇偶性上是增函数非奇非偶在上是减函数单调性函数值的变化情形变化对图在第一象限内,从顺时针方向看图象,逐步增大；在第四象限内,从顺时针方向名师归纳总结 象的影响看图象,逐步减小 . 第 8 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点五：反函数1. 反函数的概念设函数的定义域

22、为,值域为,从式子中解出,得式子. . 假如对于在中的任何一个值,通过式子,在中都有唯独确定的值和它对应,那么式子表示是的函数,函数叫做函数的反函数,记作,习惯上改写成2. 反函数的性质1 原函数 与反函数 的图象 关于直线 对称 .2 函数 的定义域、值域分别是其反函数 的值域、定义域 . 3 如 在原函数 的图象上,就 在反函数 的图象上 . 4 一般地, 函数 要有反函数就它必需为单调函数 .3. 反函数的求法1 确定反函数的定义域,即原函数的值域；2 从原函数式改写成中反解出；. 3 将,并注明反函数的定义域学问点六：幂函数1. 幂函数概念形如的函数,叫做幂函数,其中为常数 . 2.

23、幂函数的性质1 图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限,第四象限无图象. 幂函. 当 其中互质,和数是偶函数时,图象分布在第一、二象限 图象关于轴对称 ；是奇函数时,图象分布在第一、三象限 图象关于原点对称 ；是非奇非偶函数时,图象只分布在第一象限. 2 过定点：全部的幂函数在都有定义,并且图象都通过点. 3 单调性：假如,就幂函数的图象过原点,并且在上为增函数. 假如,就幂函数的图象在上为减函数,在第一象限内,图象无限接近轴与轴. 4 奇偶性：当为奇数时,幂函数为奇函数,当为偶数时,幂函数为偶函数 ,如为奇数为奇数时,就是奇函数,如为奇数为偶数时,就是偶函数,如为偶数为奇数时,就是非奇非

24、偶函数. ,其图象在直线下方,如,其图5 图象特点：幂函数,当时,如名师归纳总结 第 9 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 象在直线上方,当时,如学习必备欢迎下载上方,如,其图象在直线下,其图象在直线方. 高中数学必修 4 学问点第一章 三角函数正角 : 按逆时针方向旋转形成的角1、任意角 负角 : 按顺时针方向旋转形成的角零角: 不作任何旋转形成的角2、角的顶点与原点重合,角的始边与x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,就称为第几象限第 10 页,共 13 页角第一象限角的集合为k360k36090 ,k其次象限角的集合为k3609

25、0k360180 ,k第三象限角的集合为k360180k360270 ,k第四象限角的集合为k360270k360360 ,k终边在 x轴上的角的集合为k180 ,k终边在 y 轴上的角的集合为k18090 ,k终边在坐标轴上的角的集合为k90 ,k名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载3、与角 终边相同的角的集合为 k 360 , k4、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度5、半径为 r 的圆的圆心角 所对弧的长为 l ,就角 的弧度数的肯定值是 lr6、弧度制与角度制的换算公式：2 360 ,1,1 180 57.

26、3 1807、如扇形的圆心角为 为弧度制,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,就 l r,C 2 r l ,1 1 2S lr r 2 28、 设 是 一 个 任 意 大 小 的 角 ,的 终 边 上 任 意 一 点 的 坐 标 是 ,x y , 它 与 原 点 的 距 离 是r r x 2y 20,就 sin y, cos x, tan yx 0yr r x9、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正,其次象限正弦为正,P T第三象限正切为正,第四象限余弦为正10、三角函数线： sin, cos, tanO M A x11、同 角 三 角 函 数 的 基 本 关 系：1 s

27、in 2cos 21 sin 21 cos 2,cos 21 sin 2；2 sintan sin tan cos ,cos sincos tan12、函数的诱导公式：1 sin 2ksin, cos 2kcoscos, tan 2 ktantank2 sinsin, coscos, tan3 sinsin, cos, tantan4 sinsin, coscos, tantan口诀：函数名称不变,符号看象限5 sin2cos, cos2sin 6 sin2cos, cos2sin口诀：正弦与余弦互换,符号看象限13、的图象上全部点向左（右）平移 个单位长度,得到函数 y sin x 的图象；

28、再将函数y sin x 的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的 1 倍（纵坐标不变）,得到函数y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的 倍（横坐标不变）,得到函数 y sin x 的图象名师归纳总结 第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载数 y sin x 的图象上全部点的横坐标伸长（缩短）到原先的 1 倍（纵坐标不变）,得到函数y sin x 的图象；再将函数 y sin x 的图象上全部点向左（右）平移 个单位长度,得到函数y sin x 的图象；再将函

29、数 y sin x 的图象上全部点的纵坐标伸长（缩短）到原先的 倍（横坐标不变）,得到函数 y sin x 的图象14、函数 y sin x 0, 0 的性质：振幅：；周期：2；频率：f 1；相位：x；初相：2函数 y sin x,当 x x 时,取得最小值为 y min；当 x x 时,取得最大值为 y max,就1y max y min,1y max y min,x 2 x 1 x 1 x 22 2 215、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：性 质函数ysinxycosxytanx图象定义域RRx xk2,k名师归纳总结 值域当xk1,11时,1,1上 是R2 k2k当x2 kk时,最值ymax1；当x2 k2ymax1；当x2 k既无最大值也无最小值周期性k时,ymink时,ymin1奇函数22奇偶性奇函数偶函数单调性在 22,2k2在 2k,2kk在k2,k2增函数；在2 k,2k第 12 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 对称性k上是增函数；在学习必备欢迎下载kk上是增函数第 13 页,共 13 页k上是减函数2k2,2k3对称中心k2,0对称中心k,0k2k上是减函数对称中心k,0k对称轴xk2k2对称轴 xkk无对称轴- - - - - - -