2022年高中数学必修基本初等函数常考题型：幂函数.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 幂函数【学问梳理】1幂函数的概念一般地,函数y x 叫做幂函数其中x 是自变量, 是常数2常见幂函数的图象与性质解析式yx y x2yx3y1yx12x图象定义域R R R x|x 00, 值域R 0, R y|y 00, 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数非奇非偶函数单调性在, 在,0上在 , 在,0上在 0, 上单调递减,在单调递减,在上单调递增0, 上单上单调递增0, 上单单调递增定点调递增1,1 调递减3幂函数的性质1全部的幂函数在区间0, 上都有定义,并且图象都过点1,12 0时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 特殊地,当 1时,幂函数

2、的图象下凸；当 0 1时,幂函数的图象上凸0, 上是增函数3 1其中幂函数的个数为第 1 页,共 6 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - A1 B2 C3 D4 2已知幂函数 ym 2 m 1 x m 2 2 m 3,求此幂函数的解析式,并指出定义域1 解析 为指数函数,中系数不是 1,中解析式为多项式,中底数不是自变量本身,所以只有是幂函数,应选 B. 答案 B 2 m 2 2 m 32 解ym m 1 x 为幂函数, m2m11,解得 m2 或 m 1. 当 m2 时, m22m3 3,就 yx 3,且有 x 0；当 m 1 时, m

3、2 2m30,就 yx0,且有 x 0.故所求幂函数的解析式为yx3,x|x 0或 y x0,x|x 0【类题通法】判定一个函数是否为幂函数的方法判定一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x 为常数 的形式,即函数的解析式为一个幂的形式,且需满意：1指数为常数； 2 底数为自变量； 3 系数为 1.反之,假设一个函数为幂函数,就该函数应具备这一形式,这是我们解决某些问题的隐含条件【对点训练】函数 fx 2 mm1m 2xm3是幂函数,且当x 0, 时, fx 是增函数,求fx 的解析式解：依据幂函数的定义得m 2m1 1.解得 m2 或 m 1. 当 m2 时, fx x3在0, 上是增

4、函数；当 m 1 时, fx x3 在0, 上是减函数,不符合要求故 fx x3. 题型二、幂函数的图象【例 2】1如图, 图中曲线是幂函数y x 在第一象限的大致图第 2 页,共 6 页象,已知 取 2,1 2,1 2, 2 四个值,就相应于曲线C1,C2,C3,C4的 的值依次为 A 2,2,1 2,2B2,1 2, 1 2, 2 名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C1 2, 2,2,1xm与 yD2,1 2, 2, 1 2如图是幂函数yn x 在第一象限内的图象,就A 1n0m1 Bn1,0m1 C 1n1 Dn1 解析 1令 x2

5、,就 222 1 221 222,故相应于曲线 C1,C2,C3,C4 的 值依次为 2,2, 1 2, 2.应选 B. 2此类题有一简捷的解决方法,在 0,1内取 x0,作直线 xx 0,与各图象有交点,就“点低 指数大 ”如图, 0m1 ,n 1. 答案 1B2B 【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原就1依据图象高低判定幂指数大小,相关结论为：在0,1上,指数越大,幂函数图象越靠近x 轴简记为指大图低 ；在 1, 上,指数越大,幂函数图象越远离 x 轴简记为指大图高 2依据图象确定幂指数 与 0,1 的大小关系,即依据幂函数在第一象限内的图象 类似于 y1x1 或 yx 2 或 y

6、x3来判定【对点训练】已知函数 ya x , yb x ,yc x 的图象如下图,就a,b,c 的大小关系为 Acba Babc 名师归纳总结 Cbca 由幂函数的图象特点知,Dcab 第 3 页,共 6 页解析：选 Ac0,b0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由幂函数的性质知, 当 x1,幂指数大的幂函数的函数值就大,就 ab.综上所述,可知 cb1 3,25 13 . 2幂函数 yx 1 在,0上是单调递减的,1 1又2 3 35 . x3函数 y123 为 R 上的减函数,又 42 3,2 32 3 2 4. 3 323 2又函数 y 2x

7、 在0, 上是增函数,且 4 3,2 2 2 33 3 2 3,3 3 2 4. 4 3 4 3【类题通法】比较幂值大小的方法1假设指数相同,底数不同,就考虑幂函数；2假设指数不同,底数相同,就考虑指数函数；3假设指数与底数都不同,就考虑插入中间数,使这个数的底数与所比较数的一个底数相同,指数与另一个数的指数相同,那么这个数就介于所比较的两数之间,进而比较大小【对点训练】名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 比较以下各题中两个幂的值的大小：133；2.3 ,2.4423322,32；30.316,60.35 . 53解：

8、 1yx4为0, 上的增函数,且2.32.4,2 3 ,332.3 32. 3y60.316x 为 R 上的偶函数,50.31 . 6又函数 yx 为 0, 上的增函数,且0.310.35,66660.31 0.35 ,即0.3150 时,是增函数；幂函数 yn x 当 n0 时,在第一象限内函数值随正确的命题为 ABCD- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解析：选 D yx1 不过 0,0点,错误,排除 A ；当 n0 时, yx 的图象为两条射 n线,错误,排除 C； yx2不是增函数,错误,排除 B；因此答案选 D. 13已知幂函数 fx 的图象过点 4,2,就 f 8_. 解析：设 fx x,就 42, 1 2,1即 fx x , f 11818 24 2. 答案：242 m 2 2 m 34函数 fx m m 1 x 是幂函数,且在 x0,时是减函数,就实数 m_. 解析：由 m2m11,得 m 0 或 m1,再把 m0 和 m1 分别代入 m2 2m30.9,11. 1.1 0.921332yx2为0, 上的减函数,又1.10.9,1 31 2,1313,即111.120.92. 33313,函数yx3为0 , 上的增函数,且444443323第 6 页,共 6 页14. 42名师归纳总结 - - - - - - -