2022年高中数学立体几何知识点总结2.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学之立体几何平面的基本性质公理 1 假如一条直线上的两点在一个平面内,在这个平面内 . 那么这条直线上全部的点都公理 2 假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线 . 公理 3 经过不在同始终线上的三个点,有且只有一个平面. . 依据上面的公理,可得以下推论. 推论 1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面. 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面. 空间线面的位置关系共面 平行没有公共点1 直线与直线相交有且只有一个公共点 异面 既不平行,又不相交 直

2、线在平面内有很多个公共点2 直线和平面 直线不在平面内 平行没有公共点 直线在平面外 相交有且只有一公共点 3 平面与平面 相交有一条公共直线 很多个公共点 平行没有公共点异面直线的判定 证明两条直线是异面直线通常采纳反证法 . 有时也可用定理“ 平面内一点与平面外一点的连线,与平面内不经过该点的直线是异面直线”. 线面平行与垂直的判定 1 两直线平行的判定 定义：在同一个平面内,且没有公共点的两条直线平行 . 假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那 , =b, 就 a b. 么这条直线和交线平行,即如 a ,a平行于同始终线的两直线平行,即如 垂直于同一平面的两直线

3、平行,即如a b,b c, 就 a c. a , b ,就 a b 两平行平面与同一个平面相交,那么两条交线平行, 即如 , , =b, 就 a b 假如一条直线和两个相交平面都平行,那么这条直线与这两个平面的交线平行,即如 =b,a ,a ,就 a b. 2 两直线垂直的判定名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1. 定义：如两直线成90 角,就这两直线相互垂直. 2. 一条直线与两条平行直线中的一条垂直,b, 就 ac 也必与另一条垂直 . 即如 b c,a3. 一条直线垂直于一个平面,就垂直于这个平面内的任意一条直

4、线 . 即如 a ,b ,ab.4. 假如一条直线与一个平面平行,那么这条直线与这个平面的垂线垂直 . 即如 a ,b , 就 ab. 5. 三个两两垂直的平面的交线两两垂直,即如 , , , 且 =a, =b, =c,就 ab,b c,c a. 3 直线与平面平行的判定 定义：如一条直线和平面没有公共点,就这直线与这个平面平行 . 假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,面平行 . 即如 a ,b ,a b, 就 a . 就这条直线与这个平两个平面平行,其中一个平面内的直线平行于另一个平面,即如 ,l ,就 l . 假如一个平面和平面外的一条直线都垂直于同一平面,那么这条直线和这 个平

5、面平行 . 即如 ,l , l ,就 l . 那么过这两 在一个平面同侧的两个点, 假如它们与这个平面的距离相等,个点的直线与这个平面平行,即如 等距,就 AB . A , B , A、B 在 同侧,且 A、B 到两个平行平面外的一条直线与其中一个平面平行,也与另一个平面平行,即如 ,a ,a , a ,就 . 假如一条直线与一个平面垂直, 就平面外与这条直线垂直的直线与该平面平行,即如 a ,b , ba,就 b . 假如两条平行直线中的一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面 或在这个平面内 ,即如 a b,a ,b 或 b 4 直线与平面垂直的判定定义：如一条直线和一个平面内的任何

6、一条直线垂直,就这条直线和这个平面垂直 . 假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面 . 即如 m , n ,mn=B,l m,l n, 就 l . 假如两条平行线中的一条垂直于一个平面,那么另一条也垂直于同一平面 .即如 l a,a , 就 l . 一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,如 ,l ,就 l . 它也垂直于另一个平面, 即假如两个平面相互垂直, 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 另一个平面,即如 ,a = , l , l a,

7、 就 l . 假如两个相交平面都垂直于第三个平面,就它们的交线也垂直于第三个平面,即如 , , 且 a = , 就 a . 5 两平面平行的判定 定义：假如两个平面没有公共点, 那么这两个平面平行, 即无公共点 . 假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平 行,即如 a,b , ab=P,a ,b , 就 . 垂直于同始终线的两平面平行 平行于同一平面的两平面平行. 即如 a, a, 就 . . 即如 , , 就 . 一个平面内的两条直线分别平行于另一平面内的两条相交直线,就这两个平面平行,即如 a,b ,c,d ,a b=P,a c,b d, 就 . 6 两平面垂直的

8、判定定义：两个平面相交, 假如所成的二面角是直二面角,那么这两个平面互相垂直,即二面角 a =90 . 假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,如 l ,l ,就 . 那么这两个平面相互垂直, 即一个平面垂直于两个平行平面中的一个,也垂直于另一个 . 即如 , ,就 . 直线在平面内的判定 1 利用公理 1：始终线上不重合的两点在平面内,就这条直线在平面内 . 2 如两个平面相互垂直,就经过第一个平面内的一点垂直于其次个平面的直线在第一个平面内,即如 ,A , AB ,就 AB . 3 过一点和一条已知直线垂直的全部直线,都在过此点而垂直于已知直线 的平面内,即如 Aa,a b,A ,b ,就

9、a . 4 过平面外一点和该平面平行的直线,都在过此点而与该平面平行的平面 内,即如 P ,P , , Pa,a ,就 a . 5 假如一条直线与一个平面平行,那么过这个平面内一点与这条直线平行的直线必在这个平面内,即如a ,A , Ab,b a, 就 b . 存在性和唯独性定理 1 过直线外一点与这条直线平行的直线有且只有一条；2 过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条；3 过平面外一点与这个平面平行的平面有且只有一个；4 与两条异面直线都垂直相交的直线有且只有一条；5 过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；6 过平面的一条斜线且与该平面垂直的平面有且只有一个；名师归纳总结 - - - -

10、 - - -第 3 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 7 过两条异面直线中的一条而与另一条平行的平面有且只有一个；8 过两条相互垂直的异面直线中的一条而与另一条垂直的平面有且只有一 个. 射影及有关性质1 点在平面上的射影自一点向平面引垂线,垂足叫做这点在这个平面上的 射影,点的射影仍是点 . 2 直线在平面上的射影自直线上的两个点向平面引垂线,过两垂足的直线 叫做直线在这平面上的射影 . 和射影面垂直的直线的射影是一个点；直线 . 不与射影面垂直的直线的射影是一条3 图形在平面上的射影一个平面图形上全部的点在一个平面上的射影的集 合叫做这个平面图形在该平面上的射

11、影 . 当图形所在平面与射影面垂直时,射影是一条线段；当图形所在平面不与射影面垂直时,射影仍是一个图形 . 4 射影的有关性质 从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中：i 射影相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段也较长；ii 相等的斜线段的射影相等,较长的斜线段的射影也较长；iii 垂线段比任何一条斜线段都短 . 空间中的各种角 等角定理及其推论定理如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,角相等 . 推论如两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 或直角 相等. 异面直线所成的角并且方向相同, 就这两个就这两组直线所成的锐角1 定义： a、b 是两条异面直线,经过空间任意一点O,分别引直

12、线a a,b b, 就 a 和 b 所成的锐角 或直角 叫做异面直线 a 和 b 所成的角 . 2 取值范畴： 0 90 . 3 求解方法 依据定义,通过平移,找到异面直线所成的角 ；解含有 的三角形,求出角 的大小 . 直线和平面所成的角名师归纳总结 1 定义和平面所成的角有三种：第 4 页,共 7 页i 垂线面所成的角的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ii垂线与平面所成的角直线垂直于平面,就它们所成的角是直角. iii一条直线和平面平行,或在平面内,就它们所成的角是0 的角

13、. 2 取值范畴 0 903 求解方法 作出斜线在平面上的射影,找到斜线与平面所成的角 . 解含 的三角形,求出其大小 . 二面角及二面角的平面角1 半平面直线把平面分成两个部分,每一部分都叫做半平面. 2 二面角条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角. 这条直线叫做二面角的棱, 这两个平面叫做二面角的面, 即二面角由半平面一棱一半平面 组成 . 如两个平面相交,就以两个平面的交线为棱形成四个二面角 . 二面角的大小用它的平面角来度量, 通常认为二面角的平面角 的取值范畴 是 0 1803 二面角的平面角以二面角棱上任意一点为端点,分别在两个面内作垂直于棱的射线,这两条射线所组成的角叫做

14、二面角的平面角. 二面角的平面角具有以下性质：i 二面角的棱垂直于它的平面角所在的平面,即AB平面 PCD. ii 从二面角的平面角的一边上任意一点 异于角的顶点 作另一面的垂线,垂足必在平面角的另一边 或其反向延长线 上. iii 二面角的平面角所在的平面与二面角的两个面都垂直,即平面 PCD ,平面 PCD . 找 或作 二面角的平面角的主要方法 . i 定义法ii 垂面法4 求二面角大小的常见方法先找 或作 出二面角的平面角 ,再通过解三角形求得 的值 . 利用面积射影定理S=S cos其中 S 为二面角一个面内平面图形的面积,上的射影图形的面积, 为二面角的大小 . S 是这个平面图形

15、在另一个面利用异面直线上两点间的距离公式求二面角的大小 . 空间的各种距离点到平面的距离名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1 定义 面外一点引一个平面的垂线,这个点和垂足间的距离叫做这个点 到这个平面的距离 . 2 求点面距离常用的方法：1 直接利用定义求 找到 或作出 表示距离的线段；抓住线段 所求距离 所在三角形解之 . 2 利用两平面相互垂直的性质. 即假如已知点在已知平面的垂面上,就已知点到两平面交线的距离就是所求的点面距离 . 3 体积法其步骤是： 在平面内选取适当三点, 和已知点构成三棱锥； 求出此三棱锥

16、的体积V 和所取三点构成三角形的面积S；由 V=1 S h,求出 h 即 3为所求 . 这种方法的优点是不必作出垂线即可求点面距离 适的三棱锥以便于运算 . . 难点在于如何构造合4 转化法将点到平面的距离转化为 平行 直线与平面的距离来求 . 直线和平面的距离1 定义一条直线和一个平面平行,这条直线上任意一点到平面的距离,叫 做这条直线和平面的距离 . 2 求线面距离常用的方法 直接利用定义求证 或连或作 某线段为距离,然后通过解三角形运算之 . 将线面距离转化为点面距离,然后运用解三角形或体积法求解之 . 作帮助垂直平面,把求线面距离转化为求点线距离 . 空间几何体的三视图和直观图 1 三

17、视图：正视图：从前往后侧视图：从左往右俯视图：从上往下2 画三视图的原就：长对齐、高对齐、宽相等3 直观图：斜二测画法（角度等于45 或者 135）4 斜二测画法的步骤：（1）.平行于坐标轴的线依旧平行于坐标轴；（2）.平行于 y 轴的线长度变半,平行于 x 轴的线长度不变；（3）.画法要写好；空间几何体的表面积与体积（一 ）空间几何体的表面积名师归纳总结 1 棱柱、棱锥的表面积：2各个面面积之和rl 2 r 23 圆锥的表面积：Srl4r2第 6 页,共 7 页2 圆柱的表面积S4 圆台的表面积Srlr2Rl2 R5 球的表面积SR2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 6 扇形的面积公式S 扇形n R21lr（其中 l 表示弧长, r 表示半径）3602注：圆锥的侧面绽开图的弧长等于地面圆的周长（二）空间几何体的体积名师归纳总结 1 柱体的体积VVS 底hS 上S 下S 下h2 锥体的体积V1S 底4h3 R第 7 页,共 7 页33 台体的体积1（3S 上4 球体的体积V3- - - - - - -