2022年第五节函数的微分.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 第五节 函数的微分教学目的： 把握微分的定义,明白微分的运算法就,会运算函数的微分,会利用微分作近似 运算 教学重点：微分的运算 教学难点：微分的定义,利用微分作近似运算 教学时数： 2 一、微分的定义运算函数增量yfx 0xfx 0是我们特别关怀的； 一般说来函数的增量的运算是比较复杂的,我们期望寻求运算函数增量的近似运算方法；先分析一个详细问题,一块正方形金属薄片受温度变化的影响,其边长由x 变到x0x（图 2-1 ）,问此薄片的面积转变了多少？名师归纳总结 设此薄片的边长为x ,面积为 A ,就 A 是 x 的函数：Ax2；第 1 页,共

2、 6 页薄片受温度变化的影响时面积的转变量,可以看成是当自变量x图 2-1 自0x 取得增量x 时,函数 A 相应的增量A ,即Ax0x22 x 02x0xx2；从上式可以看出,A 分成两部分,第一部分2x0A是A 的线性函数,即图中带有斜线的两个矩形面积之和,而其次部分x2在图中是带有交叉斜线的小正方形的面积,当x0时,其次部分x2是比x 高阶的无穷小,即x20x；由此可见,假如边长转变很微小,即x 很小时,面积的转变量A 可近似地用第一部分来代替；一般地,假如函数yfx满意肯定条件,就函数的增量y 可表示为yAx0x,其中 A 是不依靠于x 的常数,因此Ax是x 的线性函数,且它与y 之差

3、yAx0x,是比x 高阶的无穷小； 所以,当A0,且x 很小时,我们就可近似地用Ax来代替y ；定义：设函数yfx在某区间内有定义,x0x及 x 0 在这区间内,假如函数的增量- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - yfx0xfx 0可表示为 y A x 0 x,其中 A 是不依靠于 x 的常数,而 0 x 是比 x 高阶的无穷小,那么称函数 y f x 在点0x 是可微的,而 A x 叫做函数 y f x 在点 x 相应于自变量增量 x 的微分,记作 dy ,即 dy A x；下面争论函数可微的条件；设函数 y f x 在点 x 可微,就按定义有式成立；式

4、两边除以 x ,得 yA 0 x；x x于是,当 x 0 时,由上式就得到yA lim x 0 x f x 0；因此,假如函数 f x 在点 0x 可微,就 f x 在点 x 也肯定可导（即 f x 0 存在）,且A f 0x；反之,假如 y f x 在点 x 可导,即lim y f x 0x 0 x存在,依据极限与无穷小的关系,上式可写成名师归纳总结 其中0 （当x0）；由此又有yfx0,0fx在点0x 也是可微的；x第 2 页,共 6 页xyfx0xx；因x0x,且不依靠于x ,故上式相当于式,所以由此可见,函数fx在点0x 可微的充分必要条件是函数fx在点0x 可导,且当f在点0x 可微

5、时,其微分肯定是y1；dyfx0x；当fx 00时,有lim x0ylim x0fxyxf10lim xdy0xx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而,当x0时,y 与 dy 是等价无穷小,这时有即 dy 是y 的主部； 又由于dyfxydy0dy,f0x0x 0x是x 的线性函数, 所以在的条件下,我们说 dy 是y 的线性主部（当0）；这是由式有lim x0ydy0,dy从而也有lim x 0 ydy dy0；式子 y dy 表示以 dy 近似代替 y 时的相对误差,于是我们得到结论：在 f 0x 0 的dy条件下,以微分 dy f x 0 x

6、近似代替增量 y f x 0 x f x 0 时,相对误差当x 0 时趋于零；因此,在 x 很小时,有精确度较好的近似等式y dy；函数 y f x 在任意点 x 的微分,称为函数的微分,记作 dy 或 df x,即dy f x x；评注：由微分的定义,我们可以把导数看成微分的商；例如求 sin x 对 x 的导数时就可以看成 sin x 微分与 x 微分的商,即d sin x cos xdx 2 x cos x；d x 1dx2 x函数在一点处的微分是函数增量的近似值,它与函数增量仅相差 x 的高阶无穷小；因此要会应用下面两个公式：fx 0yxdyffx 0fx,x；x 0x0作近似运算；二

7、、微分的几何意义名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 为了对微分有比较直观的明白,我们来说明微分的几何意义；在直角坐标系中,函数 y f x 的图形是一条曲线；对于某一固定的 x 值,曲线上有一个确定点 M x 0,y 0 当自变量 x 有微小增量 x 时,就得到曲线上另一点 N x 0 x,y 0 y . 从图 2-2 可知：MQ x,QN y；图 2-2 过 M点作曲线的切线 , 它的倾角为,就QP MQ tan x f x 0,即 dy QP；由此可见, 当 y 是曲线 y f x 上的 M点的纵坐标的增量时,dy

8、 就是曲线的切线上 M点的纵坐标的相应增量；当 x 很小时,y dy 比 x 小得多；因此在点 M 的邻近,我们可以用切线段来近似代替曲线段；三、基本初等函数的微分公式与微分运算法就d由dyf2xdx,很简单得到微分的运算法就及微分公式表（当du、v都可导）：,ddv,dCuC du,uvvduudvuvduuvduudv；vv微分公式表：dxx1dx,dsinxcosxdx,dcosxsinxdx,dtanx2 secxdx,dcotx2 cscxdx,dsec xsec xtanxdx,dcscxcscxcotxdx,daxaxlnadx,dexexdx,dlogaxx1adx,dlnx1

9、dx,lnxdarcsinx11x2dx,darccos x11x2dx,darctanx112dx,xdarccotx112dx；x注：上述公式必需记牢,对以后学习积分学很有好处,而且上述公式要从右向左背；例如：名师归纳总结 1dx2dx,1dxd1,dx1daxb,axdx1adax；第 4 页,共 6 页xx2xaln- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 复合函数微分法就与复合函数的 求导法就相应的复合函数的微分法就可推导如下：设 y f u 及 u x 都可导,就复合函数 y f x 的微分为dy y x dx f u x dx；由于 x dx

10、 du,所以,复合函数 y f x 的微分公式也可以写成dy f u du 或 dy y u du；由此可见, 无论 u 是自变量仍是另一个变量的可微函数,微分形式 dy f u du 保持不变；这一性质称为微分形式不变性；这性质表示,当变换自变量时（即设 u 为另一变量的任一可微函数时） ,微分形式 dy f u du 并不转变；例 1：已知 y 1 xe y,求 dy . y解：dy d 1 xe y = e ydx xe ydy,所以 dy ey1 xe例 2： 设 y a 2x ,利用微分形式不变性求 2dy ；2 2解 记 u a x ,就 y u ,于是1d y y u d u d

11、 u . 2 u又 d u u x d x 2 d x x ,故 d y 12 2 2 d x x 2 x2 d x .2 a x a x例 3： 填空题1名师归纳总结 如函数y2 f xx,其中 f 是可微的正值函数,就dy_；y1第 5 页,共 6 页 设函数yy x 由方程 2xyxy 确定,就dyx0_1d1lnf x2,解：由于函数可写为y1 ln e xfx2,所以dyf x2xx故dy2fx2f x2111fx21f x2dxx lny 可得,当x0时,x2 这是一个求隐函数微分的问题由方程2xyx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 在方程两端同时求微分,有名师归纳总结 代入x0,y1得2xyln 2 ydxxdy 0dxdy第 6 页,共 6 页故d yx0ln 2dxdxdyx l n 21 d x- - - - - - -