2022年高二理科数学圆锥曲线单元测试.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高二年单元考试试卷（圆锥曲线）一、挑选题（ 60 分）2 2x y1已知双曲线 C : 2 1 a 0 的一个焦点为 5,0 ,就双曲线 C 的渐近线方程a 16为（）A. 4 x 3 y 12 B. 4 x 41 y 0C. 16 x 9 y 0 D. 4 x 3 y 02平面直角坐标系中,已知 O 为坐标原点, 点 A 、B 的坐标分别为 1,1 、3,3 . 如动点 P 满意 OP OA OB ,其中、R ,且 1 ,就点 P 的轨迹方程为A. x y 0 B. x y 02 2C. x 2 y 3 0 D. x 1 y

2、 2 523抛物线 y 2 px p 0 上横坐标为 6 的点到焦点的距离是 10,就焦点到准线的距离是（）A. 4 B. 8 C. 16 D. 324椭圆 mx 2y 21 的离心率是 3,就它的长轴长是（）2A. 1 B. 1 或 2 C. 2 D. 2 或 4 5 设 经 过 点 2, 1 的 等 轴 双 曲 线 的 焦 点 为 F F 2, 此 双 曲 线 上 一 点 N 满 足NF 1 NF ,就 NF F 的面积为（）A. 2 B. 3 C. 2 D. 36抛物线有如下光学性质：由焦点的光线经抛物线反射后平行于抛物线的对称轴；反名师归纳总结 之,平行于抛物线对称轴的入射光线经抛物线

3、反射后必过抛物线的焦点. 已知抛物线第 1 页,共 15 页y24x 的焦点为 F ,一条平行于 x 轴的光线从点M3,1射出,经过抛物线上的点A反射后,再经抛物线上的另一点B射出,就直线AB的斜率为（）A. 4B. 4 3C. 4D. 163397已知点F F 是椭圆x22y22的左、右焦点,点P 是该椭圆上的一个动点,那么PF1PF2的最小值是（）A. 2B. 2 2C. 0D. 1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2 2x y8椭圆 2 2 1（a b 0）上存在一点 满意 F, F为椭圆的左焦点,a b 2为椭圆的右顶点,就椭

4、圆的离心率的范畴是（）A. 0, 1B. 0, 2C. 1 ,1 D. 2 ,12 2 2 22 25 1 x y9把离心率 e 的曲线 C : 2 2 1 a 0, b 0 称之为黄金双曲线如以2 a b原点为圆心,以虚半轴长为半径画圆 O ,就圆 O 与黄金双曲线 C （）A. 无交点 B. 有 1 个交点 C. 有 2 个交点 D. 有 4 个交点10 已知,就方程是 与 在同一坐标系内的图形可能是 ）A B C D 11设直线yk x1与抛物线y24x 相交于、两点,抛物线的焦点为F,如F2 F,就 k 的值为（）3 2D. 3 3A. 2 3B. 2 2C. 332212已知椭圆和双

5、曲线有共同焦点是它们的一个交点,且,记椭圆和双曲线的离心率分别为,就的最大值是（）A. B. C. 2D. 3二、填空题 20 分 名师归纳总结 13已知 是抛物线的焦点,是 上一点,的延长线交轴于点如为第 2 页,共 15 页的中点,就_相交于两点, 如14抛物线的焦点为F,其准线与双曲线为等边三角形,就_ - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 15已知椭圆学习必备欢迎下载的渐近线与椭圆有四个离心率为,双曲线交点,以这四个交点为顶点的四边形面积为16,就椭圆的方程为 _ 16设椭圆C:x2y21ab0的左右焦点为F 1,F ,过F 作 x 轴的垂线与 C

6、 相a2b2交 于A B 两 点 ,F B 与 y 轴 相 交 于 D , 如A DF B, 就 椭 圆 C 的 离 心 率 等于 .三、解答题17（10 分）设命题 p ：方程x2k43y211表示双曲线；命题q：斜率为 k 的直线2kl 过定点P2,1 ,且与抛物线y2x 有两个不同的公共点 如 pq 是真命题, 求 k 的取值范畴18（12 分）（1）已知椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为4,求椭圆的标准方程；（ 2）已知双曲线过点4,3 , 且渐近线方程为y1x , 求该双曲线的标准方程；219（12 分）已知双曲线C：x2y21的离心率为3 ,点 3 , 0 是双曲线的一a

7、2b2个顶点；1 求双曲线的方程；2 经过双曲线右焦点F2 作倾斜角为30 的直线 l ,直线 l 与双曲线交于不同的A, B两点,求 AB的长；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载220（12 分）过抛物线 C x 2 py p 0 的焦点 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A B 两点,当点 A 的纵坐标为 1 时,AF 2 .（ 1）求抛物线 C 的方程；（ 2）如直线 l 的斜率为 2,问抛物线 C 上是否存在一点 M ,使得 MA MB ,并说明理由 . 21（12 分）已知椭圆 C 过

8、点A1,3,两个焦点为1,0 , 1,0 .2（ 1）求椭圆 C 的方程；（ 2）E F 是椭圆 C 上的两个动点,假如直线AE 的斜率与 AF 的斜率之和为2,证明：直线 EF 恒过定点 . 22（12 分）已知椭圆 C 的离心率为3,点 A , B , F 分别为椭圆的右顶点、上2顶点和右焦点,且SABF132（ 1）求椭圆 C 的方程；名师归纳总结 （ 2）已知直线 l ： ykxm 被圆 O：x2y24所截得的弦长为2 3 ,如直线 l 与第 4 页,共 15 页椭圆 C 交于 M , N 两点,求MON 面积的最大值- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -

9、- - 学习必备 欢迎下载参考答案1D 【解析】 由题得 c=5, 就a22 c169,即 a=3, 所以双曲线的渐近线方程为y4x,3即 4x3y0,应选 D2C 【解析】设P x y , 就x2y3 ,y3x2y,y6x因此x2yy6x13, 选 C.x03B 【解析】横坐标为6 的点到焦点的距离是10,该点到准线的距离为10,抛物线的准线方程为,应选 B4D 【解析】 把椭圆mx2y21方程转化为：x2y2111m分两种情形：11时椭圆的离心率3.2m就：113解得： m=1 4进一步得长轴长为 4m 14m1 m1时椭圆的离心率3,就：长轴长为 22应选： D 点睛：在椭圆和双曲线中,

10、焦点位置不确定时,勿忘分类争论5D 名师归纳总结 【 解 析 】 设 等 轴 双 曲 线 方 程 为x2y22 ,因 为 过 点2 , 1, 所 以第 5 页,共 15 页2 213N FN F23 , F F6- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 从而NF12 |NF22 |2NF 1学习必备F F2欢迎下载NF212|NF 2122 |2NF 1242NF NF 212NF 1NF 26S1 2NF 1NF 23, 选 D.6A 【解析】令 y=1, 代入 y 24 x ,得 x 1,即 A（1 1,）, 由抛物线的光学性质可知,直线 AB4 4经过焦

11、点 F1,0, 所以 直线 AB 的斜率为 k 1 0 4,应选 A11 34【答案】 A 22 2 x 2【解析】椭圆 x 2 y 2,即为 y 1,就椭圆的 a 2, b 1,就由 OP 为 PF F 222的中线,即有 PO 1PF 1 PF 2,就 PF 1 PF 2 2 PO ,可设 P x y ,就 xy 21,2 22 2即 有 PO x 2y 2x 21 x 1 x 1, 当 x 0 时 , 取 得 最 小 值 1 , 就2 2PF 1 PF 2 的最小值为 2 ,应选 A.8C 【解析】设P x y,就由F2得xc yxa y0xcxa2 y0,由于2 xy21,所以xa或x

12、ab2c22 a ca a2 2 ee102 ab2a b c 的方程 a b c 的方程或不等0e11e1,选 C.2点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范畴问题其关键就是确立一个关于或不等式,再依据a b c 的关系消掉 b 得到a c 的关系式,而建立关于式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范畴等.9D 名师归纳总结 【 解 析 】 由 题 意 知5 21c a, 所 以b2c2162 5151, 因 为第 6 页,共 15 页baa42b2511,所以1,所以 ba ,所以圆 O 与黄金双曲线 C 的左右两支各有2a2a- - - - - - -精选学习资料 - - -

13、- - - - - - 学习必备 欢迎下载个交点,即圆 O 与黄金双曲线 C 由 4 个交点,应选 D.10 A 【解析】 方程 即,表示抛物线,方程 表示椭圆或双曲线,当 和 同号时,抛物线开口向左,方程 表示椭圆,无符合条件的选项,当 和 异号时,抛物线 开口向右,方程 表示双曲线,应选 A.11 B 【 解 析 】 设Mx y 1,N x 2,y 2, 因 为 F2 F, 所 以 由 抛 物 线 定 义 得x 112x2,y 14x2x 14x 2,2y 22 y 14x y22x 12,y 12 2kx 1y 112 2 3,选 B.12 A 【解析】如图,设椭圆的长半轴长为,双曲线的

14、半实轴长为,就依据椭圆及双曲线的定义：,设 ,就,在 中依据余弦定理可得到化简得：名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载该式可变成：,应选点睛：此题综合性较强, 难度较大, 运用基本学问点结合此题椭圆和双曲线的定义给出与、的数量关系,然后再利用余弦定理求出与的数量关系,最终利用基本不等式求得范畴；13【解析】 如下列图, 不妨设点 M位于第一象限, 设抛物线的准线与 轴交于点,作 与点,与点,由抛物线的解析式可得准线方程为,就,在直角梯形 中,中位线,由抛物线的定义有：,结合题意,有,故点睛 :抛物线

15、的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离 进行等量转化假如问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简洁化14【解析】由抛物线可知焦点,准线,由于为等边三角形,设AB与 y 轴交于M,FM=P,即,填；【点睛】名师归纳总结 对于圆锥曲线要先定位,再定量, 此题的抛物线焦点是在y 轴正半径； 所以求出抛物线的焦第 8 页,共 15 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -

16、- 点坐标与准线方程,学习必备欢迎下载B 点坐, 再由等边三角形,可解的再把准线方程与双曲线组方程组算出P,15【解析】由题意,双曲线 的渐近线方程为 以 这 四 个 交 点 为 顶 点 的 四 边 形 的 面 积 为16 , 故 边 长 为4 ,在 椭 圆上,椭圆方程为：故答案为：163 3【解析】试题分析： 连接AF ,OD AB.,O为F 1F 2的中点, D 为BF 的中点, 又ADF B ,AF1AB. AF 12AF 2. 设AF22 n,F 1F 23 n, n, 就AF1ecF 1F 23 n3aAF 1AF 23 n3考点：椭圆离心率.名师归纳总结 - - - - - - -

17、第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【方法点晴】 此题考查的是椭圆的几何性质（离心率问题） ,属于中档题 . 此题的切入点就在原点 O 上,利用平行关系,推出 D点也是中点,从而思路豁然开朗 . 解析几何的中心思想就是数形结合,善于抓图像的性质,是解好解析几何题的关键所在,特殊是小题 . 离心率问题是重点题型,主要思路就是想方设法去建立 a、c 的等或者不等的关系即可 .17【解析】 试题分析：（1）命题 p 中式子要表示双曲线,只需1,对于命题 q：直线与抛线有两上不同的公共点,即设直线ykx2k与抛物线方程组方程组,只需,解出两个不等

18、式（组）中k 的范畴,再求出交集；试题解析：命题真,就的方程为,解得或,命题为真,由题意,设直线,即联立方程组,整理得要使得直线与抛物线有两个公共点,需满意,解得 且如 是真命题,就所以 的取值范畴为名师归纳总结 18（1）（2）x2y21的值,进而求出,可得椭圆的标准方程第 10 页,共 15 页4【解析】试题分析： （1）由已知,先确定（ 2）由已知可得双曲线焦点在轴上且,将点代入双曲线方程,可求出- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载,即得双曲线的标准方程试题解析：（ 1）由椭圆的离心率为,短轴一个端点到右焦点的距离为4,得2y2,

19、即（ 2）试题分析：由双曲线渐近线方程可知双曲线方程可设为1 4x,代入点4,3 得1,所以双曲线方程为x2y214考点：双曲线方程及性质2 219（1）x y1（2）16 33 6 5【解析】试题分析： （1）由椭圆过点 3 ,0 得 a,再由离心率求 c,最终依据勾股数求 b;（2）先依据点斜式写出直线 l 方程,再与双曲线联立方程组,消 y 得关于 x 的一元二次方程,结合韦达定理,利用弦长公式求 AB的长2 2试题解析：（ 1）由于双曲线 C：x2 y2 1 的离心率为 3 ,点 3 , 0 是双曲线的一个a b2 2顶点,所以 a 3, c 3, b 6,即 x y1（2）经过双曲线

20、右焦点 F2作倾斜角为 303 6的 直 线 l：y 3x 3 与 双 曲 线 联 立 方 程 组 消 y 得35 x 26 x 27 0, x 1 9, x 2 3,由弦长公式解得 AB 1 1x 1 x 2 16 35 3 5点睛：有关圆锥曲线弦长问题的求解方法涉及弦长的问题中,应娴熟地利用根与系数关系,设而不求法运算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题,可考虑用圆锥曲线的定义求解 . 涉及中点弦问题往往利用点差法名师归纳总结 20（1）C:x24y ；（2）存在点M6,9 ,M6,9.第 11 页,共 15 页【解析】【试题分析】 （1）运

21、用抛物线的定义建立方程p12求出p2；（2）借助题设2条件 MAMB 建立方程x 1x 0x 2x 0160,再运用根与系数的关系得到方程- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2x 0 4 kx 0 12 0,通过对判别式的争论发觉有解,即所设的点存在：解：（1）由抛物线的定义可得 p 1 2 p 2,故抛物线方程为 x 24 y ；22（ 2）假设存在满意题设条件的点 M x 0 , y 0,就设直线 AB y kx +1 代入 x 4 y 可得2x 4 kx 4 0, 设 A x y 1 , B x 2 , y 2,就 x 1 x 2

22、 4 , k 1 x 2 x ；因 为M A 1 x , 0 x 1 y , 0 y M B 2 , x,2 x 就 y 由 y M A 可得 B：x 1 x 0 x 2 x 0 y 1 y 0 y 2 y 0 0,即x 1 x x x 1 1 x 0 x x x 0,也即 2 x 1 x 0 x 2 x 0 16 0 0,所以162 2x 0 4 kx 0 12 0,由于判别式 16 k 48 16 4 3 0,此时 x 0 2, x 0 6,就存在点 M 2,1 , M 6,9,即存在点 M x 0 , y 0 满意题设；2 2x y21 1 1；2 证明见解析 .4 3【解析】 试题分析

23、：1 由题意得到 a,b 的值即可确定椭圆方程；2 设出直线方程,联立直线与椭圆的方程,结合韦达定理分类争论即可证得题中的结论 .试题解析：名师归纳总结 （1）由题意可得：a24,b23,就椭圆 C 的方程为x2y221第 12 页,共 15 页43（2）设E x y 1,F x 2,y2,直线 EF 方程为 ykxb ,x2y21,得：3 44k2x28kbx4 b21203ykxb38kb2,x x24b2412,由韦达定理：x 1x24k3k2由题意可知y 13y232,即kx 1x 1b13kx 22b3 2222x 11x21x1- - - - - - -精选学习资料 - - - -

24、 - - - - - 学习必备欢迎下载12x 111,1,9 4kx 1b3x21kx 2b3x 112x222即2k2x x2bk1x 1x212 b0202k242 b412bk138 kb212b3k224 k02k24b212bk18kb12b34k28b224k274kb6b4k208b224k274kb6 b4k208k24k6b4k224k2708 k24k6b2k92 k304b2k92b2k30bk9或bk32429kx19 4恒过定点当bk9时,直线 EF 方程ykxk242422当bk3时,直线 EF 方程ykxk3 2k x13 2恒过定点3与 A 点重合,22不合题意

25、舍去,综上所述,直线EF 恒过定点1,9.x或 y24点睛： 1解答直线与椭圆的题目时,经常把两个曲线的方程联立,消去建立一元二次方程, 然后借助根与系数的关系, 并结合题设条件建立有关参变量的等量关系名师归纳总结 2涉及到直线方程的设法时, 务必考虑全面, 不要忽视直线斜率为0 或不存在等第 13 页,共 15 页特殊情形22（1）x2y21（2）当t3,即k2时,MON 面积取到最大值142【解析】 试题分析： 利用离心率可以得出a c 的关系, 化为a b 的关系, 再利用ABF 的面- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载积列出 a

26、 b c 的方程, 借助 a 2b 2c 解出 2a b,写出椭圆方程, 联立方程组, 化为关于 x的一元二次方程,利用设而不求思想,借助根与系数关系,利用弦长公式表示出弦长 MN ,写出面积,利用换元法和配方法求出最值 .试题解析：名师归纳总结 （ 1）由题意,椭圆C 的焦点在x 轴上,设椭圆标准方程为x2y21 ab0,就第 14 页,共 15 页a2b2e2c2a22b23,所以a242 b ,即a2 b ,可得c3 b ,a2a412 k 4 x x 2SABF1AFOB1ac b13,22212b3 b b13b213,b1,a2,222所以椭圆 C 的方程为x2y214（2）由题意

27、知,圆心O 到直线 l 的距离为 1,即1mk21,所以m2由x2y21,消去 y ,得14k22 x8kmx42 m10, 4ykxm ,16 4 k2m2148k20,所以k0,x 22x 1设Mx y 1,N x 2,y2,就x 1x218km,x x24 m24,4 k4k212所以MN1k2x 1x 221k21k218km2244m244k14 k21k24 4k222 m11k24 3k4 3 k22k21,k4k214k141所以MON 的面积为SMON1MN12 3k22k21,24k1- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 令t4k211,t2t11学习必备欢迎下载1就S23t4131124,4时,2t3923,即kt所以当MON 面积取到最大值2【点睛】求椭圆的标准方程一边采纳待定系数法,即列出两个关于a b c 的方程,再借助名师归纳总结 a2b22 c ,解方程组求出a b ；最值和范畴问题、定点定值问题、存在性问题时直线与.第 15 页,共 15 页圆锥曲线位置关系中常见的考题,也是高考高频考点,此题为最值问题,先设出直线与曲线的焦点坐标,设而不求,联立方程组,利用根与系数关系,表示弦长和面积,最终求最值- - - - - - -