2022年高一数学教案解斜三角形应用举例.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 课名师精编精品教案题：解斜三角形应用举例（2）教学目的：1 进一步把握利用正、余弦定懂得斜三角形的方法,明确解斜三角形学问在实际中有着广泛 的应用；2 娴熟把握实际问题向解斜三角形类型的转化；3 通过解斜三角形的应用的教学,连续提高运用所学学问解决实际问题的才能 教学重点： 1 实际问题向数学问题的转化；2 解斜三角形的方法 教学难点： 实际问题向数学问题转化思路的确定 授课类型： 新授课 课时支配： 1 课时 教 具：多媒体、实物投影仪教学方法 ：自学辅导法 在上一节学习的基础上,引导同学依据上节所总结的转化方法及解三角形的类型,自己 尝试求

2、解应用题 在解题的关键环节,老师应赐予准时的启示或点拨,以真正使同学解题能 力得到锤炼 教学过程 ：一、复习引入：上一节, 我们一起学习明白三角形问题在实际中的应用,解三角形问题的方法,把握了肯定的解三角形的方法与技巧 要求大家尝试用上一节所学的方法加以解决 二、讲解范例：明白了一些把实际问题转化为 这一节,连续给出几个例题,例 1 如图,是曲柄连杆机的示意图 当曲柄 CB0 绕 C点旋转时,通过连杆 AB的传递,活塞作直线往复运动 当曲柄在 CB0位置时,曲柄和连杆成一条直线,连杆的端点 A 在 AO处 设连杆AB长为 340 ,曲柄 CB长为 85 ,曲柄自 CB0按顺时针方向旋转 80

3、,求活塞移动的距离 即连杆的端点 A 移动的距离 A0A 精确到 1 分析：如下列图,由于A0AAOCAC,又知 AOCAB BC34085425,所以只要求出 AC的长, 问题就解决了在 ABC中,已知两边和其中一边的对角,可由正弦定理求出AC解：在ABC中,由正弦定理可得sin ABCsinC85sin800 .2462.AB340由于 BCAB,所以 A 为锐角,得A14 15B18O （ AC） 18O （ 14 15 8O ） 85 45由正弦定理,可得ACABsinB3400sin854 53443.mm .sinC.9848因此, AOAAOCAC ABBC） AC34O85 3

4、44 38O781（）答：活塞移动的距离约为 81评述：留意在运用正弦定理求角时应依据三角形的有关性质详细确定角的范畴 要求同学注意解题步骤的总结：名师归纳总结 用正弦定理求A内角和定理求 B 正弦定理求 AC求 AOA第 1 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例 2 如图,为了测量河对岸名师精编精品教案CD,现已测出CDaA、B 两点间的距离,在这一岸定一基线和 ACD , BCD , BDC , ADC,试求 AB的长分析：如下列图：对于 AB求解,可以在ABC中或者是ABD中求解,如在ABC中,由 ACB ,故需求出 AC、BC,再

5、利用余弦定理求解 而 AC可在 ACD内利用正弦定理求解, BC可在BCD内由正弦定理求解解：在ACD中,已知 CDa, ACD , ADC ,由正弦定理得ACa sin a sinsin 180 sin 在 BCD中,由正弦定理得BCsinasinasin所 以 用180sin在 ABC中,已经求得 AC和 BC,又由于 ACB ,余弦定理 , 就可以求得ABAC2BC22ACBCcos评述： 1 要求同学娴熟把握正、余弦定理的应用2 留意体会例 2 求解过程在实际当中的应用例 3 据气象台预报,距 S岛 300 的 A处有一台风中心形成,并以每小时 30 的速度向北偏西 30 的方向移动,

6、在距台风中心 270 以内的地区将受到台风的影响问： S岛是否受其影响 .如受到影响,从现在起经过多少小时 S岛开头受到台风的影响 .连续时间多久 .说明理由分析：设 B 为台风中心,就 B为 AB边上动点, SB也随之变化 S 岛是否受台风影响可转化为 SB27O 这一不等式是否有解的判定,就需表示 SB,可设台风中心经过 小时到达 B点,就在ABS中,由余弦定理可求 SB解：设台风中心经过 小时到达 B 点,由题意, SAB9O 3O 6O在 SAB中, SA3OO,AB3O, SAB6O ,由余弦定理得：SB 2SA 2 AB 22SAAB cos SAB3OO 2（ 3O）223OO3

7、Ot cos6O如 S 岛受到台风影响,就应满意条件SB 27O 即 SB 227O 2名师归纳总结 化简整理得21O19 O第 2 页,共 6 页解之得 5 6 56所以从现在起,经过56 小时 S 岛开头受到影响,5 6 小时后影响终止连续时间： 5 6 （ 56 ） 26 小时答： S 岛受到台风影响,从现在起,经过（56 ）小时,台风开头影响S 岛,且连续时间为 26 小时- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案例 4 假定自动卸货汽车装有一车货物,货物与车箱的底部的滑动摩擦系数为 0 3,油泵顶点B与车箱支点 A 之间的距离为 1

8、 95 米, AB与水平线之间的夹角为 6 20,AC长为 1 40 米,求货物开头下滑时 BC的长解：设车箱倾斜角为,货物重量为 mgf N mg cos当 mg cos mg sin 即 tan 时货物下滑当 tan 时,0 . 3 tan,arctan 0 . 3 16 42 BAC= 16 42 6 20 23 02 在 ABC中: BC2AB2AC22ABACcosBAC0210.787,BC3.281 .9521 .40221 .951 .40cos23三、课堂练习 ：1 海中有一小岛 B,四周 38 海里有暗礁,军舰由西向东航行到 A,望见岛在北 75 东,航行 8 海里到 C,

9、望见岛 B 在北 6O 东,如此舰不转变航向连续前进,有无触礁危急 .答案：不会触礁2 直线 AB外有一点 C,ABC6O ,AB2OO ,汽车以 8O 速度由 A向 B 行驶,同时摩托车以 5O公里的时速由 B 向 C行驶,问运动开头几小时后,两车的距离最小答案：约 1 3 小时四、小结 通过本节学习,要求大家进一步把握利用正、余弦定懂得斜三角形的方法,明确解斜三角形学问在实际中的广泛应用,娴熟把握由实际问题向解斜三角形类型问题的转化,逐步提高数学学问的应用才能五、课后作业 ：1已知在ABC中, sinAsinBsinC=3 24,那么 cosC的值为（）A1B1C2D24433分析：先用正

10、弦定理：aAbBcC可求出 abc=324,sinsinsin所以可设 a=3k,b=2k,c=4k,再用余弦定理：cosCa2b2c2可得cosC9k224k2216k2即cosC1.2ab3 kk4答案： A 2一货轮航行到M 处,测得灯塔S在货轮的北偏东15 相距 20 里处,随后货轮按北偏西30 的方向航行,半小时后,又测得灯塔在货轮的北偏东45 ,求货轮的速度名师归纳总结 解：如下列图,SMN=15 +30 =45 , SNM=180 45 30 =105第 3 页,共 6 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案 NSM=18

11、0 45 105 =30由正弦定理 MN 20sin 30 sin 105MN 10 6 2 10 6 2 1 20 6 2 2答：货轮的速度为 20 6 2 里/小时3 ABC中, a+b=10,而 cosC是方程 2x 23x2=0 的一个根,求ABC周长的最小值分析：由余弦定理可得 c 2 a 2 b 2 2 ab cos C,然后运用函数思想加以处理解：2 x 2 3 x 2 0 x 1 2 , x 2 12又 cosC是方程 2x 23x 2=0 的一个根 c o sC 12由余弦定理可得 c 2a 2b 22 ab 1 a b 2ab22 2就 c 100 a 10 a a 5 7

12、5当 a=5 时, c 最小且 c= 75 5 3此时 a b c 5 5 5 3 10 5 3 ABC周长的最小值为 10 5 34在湖面上高 h 米处,测得云的仰角为 ,而湖中云之影（即云在湖中的像）的俯角为 ,试证：云高为 h sin 米sin 分析：因湖而相当于一平面镜,故云 C与它在湖中之影 D 关于湖面对称, 设云高为 x=CM,就从 ADE,可建立含 x 的方程,解出 x 即可解：如下列图, 设湖面上高 h 米处为 A,测得云的仰角为 ,而 C在湖中的像 D 的俯角为 ,CD与湖面交于 M ,过 A 的水平线交 CD 于 E,设云高 CM=x就 CE=xh,DE=x+h 名师归纳

13、总结 AExh cot且AExh cot第 4 页,共 6 页xh cotxh cot解得xtantan tanhtan- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - si nc o sc o s名师精编精品教案s i nsi nc o sc o ss i nhhsi n 米A 正北,又过非常1c o sc o ssi n c o sc o s5在某定点A 测得一船初始位置B 在 A 的北偏西 1处,非常钟后船在 ,求 的大小 钟后船到达A 的北偏东 2处 如船的航向与程度都不变,船向为北偏东2 分析：依据题意画示意图,将求航向问题转化为解三角形求角问题解：如下列图

14、,在ABC中,由正弦定理可得：1BCAC1,即BC1sinACsin1sinsin在 ACD中,由正弦定理可得：CD2sinAC2,即CDsin22cossin1a+c=2b,AsinACsin依据题意,有BC=CD由、得：sin11sin22sinsin即sin1sin2sin2sin1sin1sincos2cossin2sin2sincos1即sinsin122cossin1sin2就tan2sin1sin22sin1A、B、C 的对边,设所以arctan2sin1sin22（12）sin16（1998 年全国高考题）在ABC中, a、b、c 分别是角C=3,求 sinB 的值解： a+c=2b, sinA+sinC=2sinB 名师归纳总结 由和差化积公式得2sinA2CcosAC4sinBcosBB si n23第 5 页,共 6 页222sinA2CcosB0,AC32 B32s i n B 即2224B130B2cos1sin224- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 于是sinB2sinBcosB2名师精编精品教案3133922448六、板书设计 （略）七、课后记：名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页