2022年线性代数考试复习提纲、知识点、例题.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 线性代数考试复习提纲、学问点、例题一、行列式的运算（重点考四阶行列式）1、利用行列式的性质化成三角行列式行列式的性质可概括为五条性质、四条推论,即七种变形手段 （转置、交换、倍乘、提取、拆分、合并、倍加）；三个为 0【两行（列）相同、成比例、一行（列）全为 0】2、行列式按行（列）绽开定理降阶 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和,即Da A1a A i2.a A ini1,2,.,nDa A 1ia A 2i.a A nii1,2,.,n例 1、运算行列式2240413531232051二、解矩阵方程矩阵方程的标准形

2、式：AXBXAB1AXBC1如系数矩阵可逆,就X1 A BXBAX1 A CB切记不能写成X1 A B1C 或XCAB求逆矩阵的方法：1、待定系数法ABE或BAE2、相伴矩阵法A11 AA其中 A 叫做 A的相伴矩阵,它是 子式排在相同序数的列上的矩阵；A 的每一行的元素的代数余名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - A 11A 21.A n 1AA 12.A 22.A n2A1010B11.A 1 nA 2n.A nn3、初等变换法AE初等行变换E31X561416例 2、解矩阵方程5278910例 3、解矩阵方程XAX

3、B ,其中A1112010153三、解齐次或非齐次线性方程组设 A a ij m n,n 元齐次线性方程组 AX 0 有非零解 r A nn 元齐次线性方程组 AX 0 只有零解 r A n ；当 m n 时, n 元齐次线性方程组 AX 0 只有零解 A 0；当 m n 时, n 元齐次线性方程组 AX 0 有非零解 A 0；当 m n 时,齐次线性方程组肯定有非零解；定义：设齐次线性方程组 AX 0 的解 1,., t满意：（1）1,., t线性无关,（2）AX 0 的每一个解都可以由 1,., t线性表示；就 1,., t 叫做 AX 0 的基础解系；定理 1、设 A m n,齐次线性方

4、程组 AX 0,如 r A r n,就该方程组的基础解系肯定存在, 且每一个基础解系中所含解向量的个名师归纳总结 数都等于nr ；k 1 1.kn rn rk1,.,kn rR第 2 页,共 7 页齐次线性方程组的通解x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设Aa ijm n, n 元非齐次线性方程组AXB有解r A r A ；非齐次线性方程组的通解xk 11.唯独解r A r An ；很多解r A r A n ；无解r A r A ；kn rn r,k 1,.,k nrR例 4、求齐次线性方程组2x 1x22x3x 402x 1x2x3x 40的通解x

5、12x2x32x40例 5、求非齐次线性方程组x 1x 23x 3x413x 1x 23x 34x 44的通解；x 15x 29x 38x 40四、 含参数的齐次或非齐次线性方程组的解的争论例 6、当为何值时,齐次线性方程组xyz0xyz0有非零解,并求解；2xyz02x 1x2x 32例 7、已知线性方程组x 12x2x 3,问当为何值时, 它有唯独x 1x22x32解,无解,无穷多解,并在有无穷多解时求解；五、向量组的线性相关性1,2,.,s 线性相关1,2,.,ss2中至少存在一个向量能由其余向量线性表示；名师归纳总结 列1,2,.,s存在不全为 0 的数k1,k 2,.,k 使得k 1

6、1k220.kss0；第 3 页,共 7 页k 1行k k 2,.,k s1有非零解k20有非零解2.k ss- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - k 11,r21,2,.,ss1,2,.,ss2/,/,.,/k 20有非零解12s.ksr/,/,.,/s12s,.,s 线性无关中任意一个向量都不能由其余向量线性表示；列r1,1,2,.,ssk 1s如k 11k 22.k ss0,就k 1k 2.ks0；1k 20只有零解行k k 1 2,.,k s20只有零解.2,.,k ssk 1/,/,.,/k2012s.r/,/,.,/k ss12s1特别的,n

7、个n 维向量1,2,.,n线性相关1,2,.,n0或20；.n1n 个 n 维向量1,2,.,n线性无关1,2,.,n0或20；.n例 8、已知向量组1t,2,1,22, ,0,31, 1,1 ,争论 t使该向量组（1）线性相关（2）线性无关六、求向量组的秩,极大无关组,并将其余向量用极大无关组线性表示名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 设向量组A:1,2,.,s,如从 A中选出 r 个向量构成向量组A 0: i 1 , i 2 ,., i r 满意：（1）A 线性无关（2） A中的每一个向量都能由 A 线性表示,条件

8、（ 2）换一句话说 A的任意 r 1 个向量（如有的话）都线性相关,或者说从 A中向 A 任意添加一个向量（如有的话） ,所得的向量组都线性相关；就 A 叫做 A的极大线性无关向量组,简称极大无关组；向量组的极大无关组所含向量的个数叫做向量组的秩,记作r1,2,.,sr求向量组的秩的方法：（1）扩充法1（2）子式法2m n1,2,.,mn m.m最高阶非 0 子式的阶数就是矩阵的秩,也就是这个向量组的秩,并且这个子式的行（列）对应的原向量组的向量就是这个向量组的一个极大无关组；（3）初等变换法 例 9、设向量组同法二构成矩阵,对矩阵进行初等变换；11,2,1,3 ,24, 1, 5, 6 ,3

9、 1, 3, 4, 7 ,42,1, 2,3求（1）向量组的秩；（2）向量组的一个极大线性无关组,并把其余向量用这个极大名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 线性无关组线性表示；七、 相像矩阵的性质与矩阵可相像对角化问题1 P APB相像矩阵的性质 : 1、相像矩阵有相同的特点多项式,从而有相同的特点值,行列式,迹；特点值相同是两个矩阵相像的必要而非充分条件；2、 相像矩阵有相同的秩；秩相等是方阵相像的必要而非充分条件；3、 相像矩阵有相同的可逆性, 当它们可逆时,它们的逆矩阵也相像；4、如 A与 B相像,就A 与B 相

10、像, kN ,就A 与B 相像；P1APP1AP.P1APP1k A PBkP1APk1A 与2O相像nA 有 n 个线性无关的特点向量2p 1,p2,.,p ,且以它们为列向量组的矩阵 P使1 P AP,1,.,n分别为与p 1,p 2,.,p 对应的A 的特点值；如A 有 n 个 互 不 相 等 的 特 征 值1,2,.,n, 就A 一 定 与12O相像；nA 与相像对应于A 的每个特点值的线性无关的特点向量的个数等于该特点值的重数；名师归纳总结 nrEAk其中 k 为的重数第 6 页,共 7 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 124500例 1

11、0、设矩阵A2x2与B0y0相像421004（1） 求 x 与 y；（2）求可逆矩阵 P ,使 P AP 1 B ；0 0 1例 11、设 A 1 1 a,问 a 为何值时,矩阵 A能相像对角化；1 0 0例 12、设三阶矩阵 A的特点值为 1 1,2 2,3 3,对应的特点/ / /向量依次为 1 1,1,1 ,2 1,2,4,3 1,3,9 ,求矩阵 A；例 13、设三阶实对称矩阵 A的特点向值 1,1,1,与特点值 1对应的特点向量为 1 1,1,1 ,求 A；八、化二次型为标准型,并求所用线性变换的矩阵例 14、化二次型f x 1,x 2,x32 x 15x262 x 34x x 26x x310x x 为标准2型,并求所用可逆线性变换的矩阵；例 15、化二次型f x x 2,x32x x 22x x 36x x 为标准形,并求所用可逆线性变换的矩阵；名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 7 页