2022年高三数学知识点精析精练导数及其应用.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2022 高三数学学问点精析精练【复习要点】一、导数27：导数及其应用导数是中学限选内容中较为重要的学问,本节内容主要是在导数的定义,常用求等公式y.四就运算求导法就和复合函数求导法就等问题上对考生进行训练与指导. ,1.深刻懂得导数的概念,明白用定义求简洁的导数. y 表示函数的平均转变量,x它是 x 的函数,而 fx0表示一个数值, 即 fx=xlim0x知道导数的等价形式：lim x0fx0xfx0lim x x 0fxfx 0fx0. xxx02.求导其本质是求极限,在求极限的过程中,力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形

2、式,即导数的定义,这是顺当求导的关键. 3.对于函数求导,一般要遵循先化简,再求导的基本原就,求导时,不但要重视求导法就的应用,而且要特殊留意求导法就对求导的制约作用,在实施化简时,第一必需留意变换的等价性,防止不必要的运算失误 . 4.复合函数求导法就,像链条一样,必需一环一环套下去,而不能丢掉其中的一环 .必需正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的次序复合而成的,分清其间的复合关系 . 二、导数的应用利用导数求函数的极大小值,求函数在连续区间a,b上的最大最小值,或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的连续与延长,这种解决问题的方法使复杂问题变得简洁化,因而已逐步成为新高考的又一热

3、点 .本节内容主要是指导考生对这种方法的应用 . 1.fx在某个区间内可导,如 fx0,就 fx是增函数；如 fx0,就 fx . 2.求函数的极值点应先求导,然后令 y=0 得出全部导数为 0 的点, 导数为 0 的点不一定都是极值点,例如：y=x 3,当 x=0 时,导数是 0,但非极值点 ,导数为 0 的点是否是极值点,取决于这个点左、右两边的增减性,即两边的y 的符号,如转变符号,就该点为极值点；如不转变符号,就非极值点,一个函数的极值点不肯定在导数为 0 的点处取得,但可得函数的极值点肯定导数为 0. 3.可导函数的最值可通过 a,b内的极值和端点的函数值比较求得,但不行导函数的极值

4、有时可能在函数不行导的点处取得,因此,一般的连续函数仍必需和导数不存在的点的函数值名师归纳总结 进行比较,如y=|x|,在 x=0 处不行导,但它是最小值点. 第 1 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全【例题】【例 1】 已知曲线 C：y=x 33x 2+2x,直线 l:y=kx,且 l 与 C 切于点 x0,y0x0 0,求直线 l 的方程及切点坐标 . 解：由 l 过原点,知 k= y 0 x0 0,点x0,y0在曲线 C 上, y0=x0 33x0 2+2x0, x 0y 0=x0 23x0+2 x 0y=3x 26x+

5、2,k=3x0 26x0+2 又 k= y 0,3x0 26x0+2=x0 23x0+2 x 02x0 23x0=0,x0=0 或 x0= 323由 x 0,知 x0=2y0= 3 33 3 2+23=32 2 2 8k= y 0=1x 0 4l 方程 y=1x 切点 3 ,3 4 2 8【例 2】 求函数的导数：1y 11xx2yaxbsin2x 33yfx212 xcos解：名师归纳总结 1 解:y1x 12 xcosx21x1x2cosx2解：y=3, =axbsin2 x, =avby第 2 页,共 12 页12 xcos2x2cos 1x2cosx1x 12 x cosx1x1x22

6、 cos2xx1x2cosx1x 2xcosx1x2sin12 x2 cos2x 2 x2x1cosx1x1x2sinx1x22 2 c os xv=x,y=sin = xy=3=32 =32avby=32av by=32av by - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全=3axbsin 2 x 2ab sin2 x 3解法一：设y=f , =v ,v=x2+1,就图象过点 0,3,且在该点yx=y vvx=f 1v12x22=fx211x112x=xx1fx21,222解法二： y=fx21=fx21x21=fx211 x 2+121x2+12

7、=fx211x 2+1 12x22=xx1fx21 2【例 3】 已知二次函数fx满意： 在 x=1 时有极值；处的切线与直线2x+y=0 平行（1）求 fx的解析式；（2）求函数 gx=fx2的单调递增区间解：（1）设 fx=ax 2+bx+c,就 f x=2ax+bf 1,0即2ab0 ,解得a,1由题设可得：f0 2 ,b,2b,2f03 ,c.3c.3所以 fx=x22x3（2）gx=fx 2=x 42x列表：23,g x=4x 3 4x=4xx1x+1x ,1 1 1,0 0 0,1 1 1,+ f x 0 + 0 0 + fx 由表可得：函数gx的单调递增区间为1,0,1,+【例

8、4】 已知 fx=x 2+c,且 ffx=fx 2+1 1设 gx=ffx ,求 gx的解析式；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全2设 x=gx fx,试问：是否存在实数 1,0内是增函数 . ,使 x在 ,1内为减函数,且在解： 1 由题意得 ffx=fx 2+c= x 2+c 2+cfx 2+1= x 2+1 2+c,ffx =fx 2+1 x 2+c 2+c=x 2+1 2+c, x 2+c=x 2+1,c=1 fx=x 2+1,gx=f fx=fx 2+1= x 2+1 2+1 2 x=gx fx

9、=x 4+2 x 2+2 如满意条件的 存在,就 x=4x 3+22 x函数 x在 ,1上是减函数,当 x 1 时, x0 即 4x 3+22 x0 对于 x ,1恒成立22 4x 2, x 1, 4x2 4 22 4,解得 4 又函数 x在1,0上是增函数当 1x 0 时, x0 即 4x 2+22 x0 对于 x1,0恒成立22 4x 2, 1x0, 44x 20 22 4,解得 4 故当 =4 时, x在 ,1上是减函数,在 1,0上是增函数,即满意条件的 存在 . 【例 5】 已知 fx=ax 3+bx 2+cxa 0在 x= 1 时取得极值,且 f1=1. 1试求常数 a、b、c 的

10、值；2试判定 x= 1 是函数的微小值仍是极大值,并说明理由 . 解： 1 fx=3ax 2+2bx+cx= 1 是函数 fx的极值点,名师归纳总结 x= 1 是方程 fx=0,即 3ax2+2bx+c=0 的两根 . 第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全由根与系数的关系,得2 b0 13 ac12 3 a又 f1= 1, a+b+c=1 （ 3）由解得 a= 1, b 0 , c 3, 2 22fx= 1x 33x, 2 2fx= 32 x 232 = 2 3x1x+1 当 x 1 或 x1 时, fx0 当 1x1

11、时, fx0 函数 fx在 ,1和1,+上是增函数,在当 x=1 时,函数取得极大值 f1=1, 当 x=1 时,函数取得微小值 f1=1. 1,1上是减函数 . 【例 6】 在甲、乙两个工厂,甲厂位于始终线河岸的岸边 A 处,乙厂与甲厂在河的同侧,乙厂位于离河岸 40 km 的 B 处,乙厂到河岸的垂足 D 与 A 相距 50 km ,两厂要在此岸边合建一个供水站 C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米 3a 元和 5a元,问供水站 C 建在岸边何处才能使水管费用最省？解法一：依据题意知,只有点 C 在线段 AD 上某一适当位置,才能使总运费最省,设 C点距 D 点 x km,就BD

12、=40,AC=50x, BC=BD2CD22x2402又设总的水管费用为y 元,依题意有：y=3a50x+5ax24020 x50 y=3a+x5ax,令 y=0,解得 x=30 240在0,50上, y 只有一个极值点,依据实际问题的意义,名师归纳总结 函数在 x=30km 处取得最小值,此时AC=50x=20km 2,AC=5040cot第 5 页,共 12 页供水站建在A、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省. 解法二：设 BCD = ,就 BC=40,CD=40cot ,0 sin- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全设总的水管

13、费用为 f ,依题意,有f =3a5040cot +5a40=150a+40a53cos35cos. sinsinf =40a53cossinsin53cossin40 a2sin2令 f =0,得 cos =3sin =4,cot =3, 5依据问题的实际意义,当cos =3 时,函数取得最小值,此时 554AC=50 40cot =20km, 即供水站建在A、D 之间距甲厂20 km 处,可使水管费用最省【导数及其应用练习】一、挑选题1、y=e sinxcossinx,就 y0等于 A.0 B.1 C.1 D.2 2、经过原点且与曲线y=x9相切的方程是 x5A.x+y=0 或x+y=0

14、B.xy=0 或x+y=0 2525C.x+y=0 或x y=0 25D.xy=0 或x y=0 253、设 fx可导,且 f0=0, 又lim x 0fx =1,就 f0 xA.可能不是 fx的极值B.肯定是 fx的极大值C.肯定是 fx的微小值D.等于 0 4、设函数 fnx= n 2x21x nn 为正整数 ,就 fnx在 0,1上的最大值为 A.0 B.1 C. 122nnD.4nn2n1二、填空题5、如 fx0=2,lim k 0fx0kfx 0=_. . 2 k6、设 fx=xx+1x+2 x+n,就 f0=_. 7、函数 fx=log a3x2+5x2a0 且 a 1的单调区间

15、_. 8、在半径为R 的圆内,作内接等腰三角形,当底边上高为_时它的面积最大三、解答题名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全9、已知曲线C1:y=x2 与 C2:y= x 22,直线 l 与 C1、C2都相切,求直线l 的方程 . 10、求函数的导数1y=x 22x+3e 2x；2y= 31xx. . . 11、有一个长度为5 m 的梯子贴靠在笔直的墙上,假设其下端沿地板以3 m/s开墙脚滑动,求当其下端离开墙脚1.4 m 时,梯子上端下滑的速度. 12、求和 Sn=12+22x+32x2+ +n 2x n1

16、,x 0,n N*. 13、设 fx=ax3+x 恰有三个单调区间,试确定a 的取值范畴,并求其单调区间14、设 x=1 与 x=2 是函数 fx=alnx+bx2+x 的两个极值点 . 1试确定常数a 和 b 的值；2试判定 x=1,x=2 是函数 fx的极大值仍是微小值,并说明理由. 15、已知 a、b 为实数,且ba e,其中 e 为自然对数的底,求证：abba. 16、设关于 x 的方程 2x 2ax2=0 的两根为 、 ,函数 fx=4xax211求 f f 的值；2证明 fx是 , 上的增函数；3当 a 为何值时, fx在区间 , 上的最大值与最小值之差最小？参考答案一、 1.解析

17、： y=e sinxcosxcossinxcosxsinsinx,y0=e 010=1 答案： B 名师归纳总结 2.解析：设切点为x0,y0,就切线的斜率为k=y0,另一方面, y=x9=x42, 第 7 页,共 12 页x 0x55 故 yx0=k,即x 042y0x 0x 09或 x0 2+18x0+45=0 得 x01=3,x0 2=15, 5x0x 05对应有 y01=3,y02=1593, 1555因此得两个切点A3,3或 B 15,3, 5从而得 yA=343= 1 及 yB=1545 21, 525- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问

18、点大全由于切线过原点,故得切线：l A:y=x 或 l B:y=x . 25答案： A 3.解析：由 lim f 0 =1,故存在含有 0 的区间 a,b使当 xa,b,x 0 时 f 0 0,于是当x 0 x xxa,0时 f00,当 x0,b时, f00,这样 fx在 a,0上单增,在 0,b上单减 . 答案： B 4.解析： f2nx=2xn21x nn 3x 21xn1=n2x1 x n121 xnx,令 fnnx=0,得 x1=0,x2=1,x3=2n,易知 fnx在 x=22n时取得最大值,最大值fn22n= n 2222122n n=42nnn+1答案： D 二、5、解析：依据导

19、数的定义：0fx0=lim k0fx0kfx 0这时xk klim k 0fx0kfx 0lim k1fx 0kfx02k2fx0k1lim k 0fx0kfx011k22答案： 1 6 、 解 析 ： 设gx= x+1x+2 x+n, 就fx=xgx, 于 是f x=gx+xg x,f 0= g0+0 g0=g0=1 2 n=n！答案： n. 7、解析：函数的定义域是 x1 或 x 2, 3fx=3 x 2 log5 ax e2 .3x 2+5x2= 63 xx 51 x log2 a e, 如 a1,就当 x1 时, logae0,6x+50,3x1 x+20,fx0, 3函数 fx在 1

20、,+上是增函数,3x 2 时, fx 0.函数 fx在 ,2上是减函数 . 如 0a1,就当 x1 时, fx 0, fx在 1,+上是减函数,3 3当 x 2 时, fx0,fx在 ,2上是增函数答案： , 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全8、解析：设圆内接等腰三角形的底边长为 2x,高为 h,那么 h=AO+DO=R+ R 2 x 2,解得x 2=h2Rh,于是内接三角形的面积为2 3 4S=xh= 2 Rh h h 2 Rh h ,1从而 S 1 2 Rh 3h 4 2 2 Rh 3h 4 2

21、1 2 Rh 3 h 4 12 6 Rh 2 4 h 3 h 2 3 R 2 h 2 2 R h h 3令 S=0,解得 h= 3R,由于不考虑不存在的情形,所在区间 0,2R23 3 3h 0, R R ,2R 2 2 2S+ 0 S 增函数 最大值 减函数由此表可知,当 x= 3R 时,等腰三角形面积最大 . 23答案：R2三、9、解：设 l 与 C1相切于点 Px1,x1 2,与 C2 相切于 Qx2,x22 2 对于 C1：y=2x,就与 C1 相切于点 P 的切线方程为yx1 2=2x1xx1,即 y=2x1xx1 2 对于 C2：y= 2x2,与 C2 相切于点 Q 的切线方程为

22、y+x22 2= 2x2 2xx2,即y=2x22x+x2 2 4 两切线重合,2x1= 2x2 2且 x1 2=x2 24,解得 x1=0,x2=2 或 x1=2,x2=0 直线 l 方程为 y=0 或 y=4x4 10、解： 1留意到 y0,两端取对数,得名师归纳总结 lny=ln x22x+3+ln e 2x=ln x 22x+3+2x第 9 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全1yx 22x32x 22x2322x22x2yx 22x32xx2x3yx22 x22xe2y2x22x2 x 22x3e2xx2x3x2x32

23、x22x2两端取对数,得ln|y|=1ln|x|ln|1x|, 3两边解 x 求导,得1y11111x1x ,当下端移开1.4 m 时,y3xx3 1y11x y3x 1x31xx3x 1111、解：设经时间t 秒梯子上端下滑s 米,就 s=5259t2t0=147,又 s=1259t2192t=9t2519 t2, 23152所以 st0=97251 7152=0.875m/s 15912、解： 1当 x=1 时, Sn=12+22+32+ +n2=1nn+12 n+1, 6当 x 1 时, 1+2x+3x 2+ +nxn1=1n1 xn2nxn1, 1x 两边同乘以x,得： x+2x 2+

24、3x 2+ +nxn=xn1 xn1nxn2 1x 2两边对 x 求导,得名师归纳总结 Sn=12+22x 2+32x2+ +n 2x n1=1xn12xn2n22n1 xn1n2xn2. 第 10 页,共 12 页 1x313、解： fx=3ax2+1 如 a0,fx0 对 x ,+恒成立,此时fx只有一个单调区间,冲突如 a=0,fx=10,x ,+,fx也只有一个单调区间,冲突. 如 a0,fx=3ax+1a|x1a|,此时 fx恰有三个单调区间. 3|3|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全a 0 且单调减区间为 ,1a|和1a|,+,

25、3|3|单调增区间为 1, 1. 3 | a | 3 | a |a14、解： fx= +2bx+1 x1 由极值点的必要条件可知：f1=f2=0, 即 a+2b+1=0,且 a+4b+1=0, 2解方程组可得 a=2,b=1, 3 6fx=2ln x1x 2+x3 62 fx=2x11x+1, 3 3当 x0,1时, fx0,当 x1,2时, fx 0, 当 x2,+时, fx0, 故在 x=1 处函数 fx取得微小值 5 , 6在 x=2 处函数取得极大值 4 2ln2. 3 315、证法一： bae,要证 a bb a,只要证 bln aalnb, 设 fb= blnaaln bbe,就

26、fb=ln aa. bb ae,lna1,且 a 1, bfb0.函数 fb=blnaalnb 在e,+上是增函数,fbfa=alnaalna=0, 名师归纳总结 即 blnaalnb0, blnaalnb,abba. 第 11 页,共 12 页证法二：要证abba,只要证 bln aalnbe ab , 即证：lnalnb, ab设 fx=lnxxe,就 fx=1lnx 0, xx2函数 fx在e,+上是减函数,又eab, fafb,即lnalnb,a bb a. ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学问点大全16、解： 1f =a28a,f =a28a,f =f =4 16162设 x=2x2ax2,就当 x 时, x0, 22x 4xafx 4xax214xa x21 4 x21 x212x1222x2ax222x20x21x21函数 fx在 , 上是增函数3函数 fx在 , 上最大值f 0,最小值 f 0, |f f |=4,当且仅当f =f =2 时, f f =|f |+|f |取最小值4,此时 a=0,f =2 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 12 页